2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)1 第4講 二次函數(shù)與冪函數(shù)習(xí)題 理 新人教A版(I)

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)1 第4講 二次函數(shù)與冪函數(shù)習(xí)題 理 新人教A版(I) 一、填空題 1.二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋t圖象的頂點(diǎn)在x軸上，則t的值是________. 解析　二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4. 答案?。? 2.若a＜0，則0.5a，5a，5－a的大小關(guān)系是________(按從小到大). 解析　5－a＝，因?yàn)閍＜0時(shí)，函數(shù)y＝xa單調(diào)遞減，且＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a. 答案　5a＜0.5a＜5－a 3.二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0，1)，對稱軸為x＝2，最小值為－1，則它的解析式是________. 答案　y＝(x－2)2－1 4.函數(shù)y＝－x(x≥0)的最大值為________. 解析　令＝t，則x＝t2(t≥0)， 則y＝－t2＋t＝－＋， 當(dāng)t＝時(shí)，ymax＝. 答案　 5.當(dāng)α∈時(shí)，冪函數(shù)y＝xα的圖象不可能經(jīng)過第________象限. 解析　當(dāng)α＝－1，1，3時(shí)，y＝xα的圖象經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)α＝時(shí)，y＝xα的圖象經(jīng)過第一象限. 答案　二、四 6.(xx·蘇北四市模擬)若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c滿足f(x1)＝f(x2)，則 f(x1＋x2)＝________. 解析　∵f(x1)＝f(x2)且f(x)的圖象關(guān)于x＝－對稱，∴x1＋x2＝－. ∴f(x1＋x2)＝f＝a·－b·＋c＝c. 答案　c 7.(xx·南京師大附中調(diào)研)“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝x2－4ax＋3在區(qū)間[2，＋∞)上為增函數(shù)”的________條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”). 解析　函數(shù)f(x)＝x2－4ax＋3在區(qū)間[2，＋∞)上為增函數(shù)，則滿足對稱軸－＝2a≤2，即a≤1，所以“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝x2－4ax＋3在區(qū)間[2，＋∞)上為增函數(shù)”的充分不必要條件. 答案　充分不必要 8.已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)＞0的解集是(0，4)，且f(x)在區(qū)間 [－1，5]上的最大值是12，則f(x)的解析式為________. 解析　設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(x)＞0的解集是(0，4)，可知f(0)＝f(4)＝0，且二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸方程為x＝2，再由f(x)在區(qū)間[－1，5]上的最大值是12，可知f(2)＝12，即解得 ∴f(x)＝－3x2＋12x. 答案　f(x)＝－3x2＋12x 二、解答題 9.已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]. (1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求f(x)的最值； (2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4，6]上是單調(diào)函數(shù). 解　(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]， ∴f(x)在[－4，2]上單調(diào)遞減，在[2，6]上單調(diào)遞增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1， 又f(－4)＝35，f(6)＝15， 故f(x)的最大值是35. (2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，故a的取值范圍是(－∞，－6]∪[4，＋∞). 10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請根據(jù)圖象： (1)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的增區(qū)間； (2)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式； (3)若函數(shù)g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1，2])，求函數(shù)g(x)的最小值. 解　(1)f(x)在區(qū)間(－1，0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增. (2)設(shè)x＞0，則－x＜0，函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x， ∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)， ∴f(x)＝ (3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，對稱軸方程為x＝a＋1， 當(dāng)a＋1≤1，即a≤0時(shí)，g(1)＝1－2a為最小值； 當(dāng)1＜a＋1≤2，即0＜a≤1時(shí)，g(a＋1)＝－a2－2a＋1為最小值； 當(dāng)a＋1＞2，即a＞1時(shí)，g(2)＝2－4a為最小值. 綜上，g(x)min＝ 能力提升題組 (建議用時(shí)：20分鐘) 11.設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，且f(m)≤f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 解析　二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，則a≠0，f′(x)＝2a(x－1)＜0，x∈[0，1]， 所以a＞0，即函數(shù)的圖象開口向上，又因?yàn)閷ΨQ軸是直線x＝1.所以f(0)＝f(2)，則當(dāng)f(m)≤f(0)時(shí)，有0≤m≤2. 答案　[0，2] 12.(xx·北京東城區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋b(1＜a＜3)，且x1＜x2，x1＋x2＝1－a，則下列說法正確的是________(填序號). ①f(x1)＜f(x2)；②f(x1)＞f(x2)；③f(x1)＝f(x2)；④f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系不能確定. 解析　f(x)的對稱軸為x＝－1，因?yàn)?＜a＜3， 則－2＜1－a＜0，若x1＜x2≤－1，則x1＋x2＜－2， 不滿足x1＋x2＝1－a且－2＜1－a＜0；若x1＜－1， x2≥－1時(shí)，|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a＞0(1＜a＜3)， 此時(shí)x2到對稱軸的距離大，所以f(x2)＞f(x1)； 若－1≤x1＜x2，則此時(shí)x1＋x2＞－2，又因?yàn)閒(x)在[－1，＋∞)上為增函數(shù)，所以f(x1)＜f(x2). 答案　① 13.對于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”；a*b＝設(shè)f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且關(guān)于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則m的取值范圍是________. 解析　由題意得f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝ 即f(x)＝ 如圖所示，關(guān)于x的方程f(x)＝m恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則0＜m＜. 答案　 14.(xx·雅安診斷)已知函數(shù)f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，且f(0)·f(1)>0. (1)求證：－2<<－1； (2)若x1、x2是方程f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根，求|x1－x2|的取值范圍. (1)證明　當(dāng)a＝0時(shí)，f(0)＝c，f(1)＝2b＋c，又b＋c＝0， 則f(0)·f(1)＝c(2b＋c)＝－c2<0與已知矛盾，因而a≠0， 則f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－(a＋b)(2a＋b)>0， 即<0，從而－2<<－1. (2)解　x1、x2是方程f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根， 則x1＋x2＝－，x1x2＝－， 那么(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＋4×＝·＋＋ ＝＋. ∵－2<<－1，∴≤(x1－x2)2<， ∴≤|x1－x2|<，即|x1－x2|的取值范圍是.