2022春八年級數(shù)學下冊 18 平行四邊形 18.2 特殊的平行四邊形 18.2.1 矩形（第2課時）學案 （新版）新人教版

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1、2022春八年級數(shù)學下冊 18 平行四邊形 18.2 特殊的平行四邊形 18.2.1 矩形（第2課時）學案 （新版）新人教版 學習目標 1.經(jīng)歷探索矩形判定定理的過程,掌握矩形的判定定理.(重點) 2.使學生能應用矩形定義、判定等知識,解決簡單的證明題,發(fā)展學生的演繹推理能力.(重點、難點) 一、合作探究 1.什么叫做平行四邊形?什么叫做矩形? 2.矩形有哪些性質? 3.矩形與平行四邊形有什么共同之處?有什么不同之處? 4.歸納矩形的判定方法(學生進行) (1)定義:是平行四邊形,并且有一個角是　　　　.? (2)對角線的關系:是平行四邊形,并且　　　　　　　　　　.?

2、 (3)角的關系:是四邊形,并且有　　　　　個角是直角.? 二、自主學習 【例1】下列各句判定矩形的說法是否正確? (1)有一個角是直角的四邊形是矩形; (　　　　) (2)四個角都相等的四邊形是矩形; (　　　　) (3)對角線相等的四邊形是矩形; (　　　　) (4)兩組對邊分別平行,且對角線相等的四邊形是矩形. (　　　　) 【例2】已知?ABCD的對角線AC,BD相交于點O,△AOB是等邊三角形,AB=4 cm,求這個平行四邊形的面積. 分析:首先根據(jù)△AOB是等邊三角形及平行四邊形對角線互相平分的性質判定出ABCD是矩形,再利用勾股定理計算邊長,從而得到面積值.

3、 解:∵四邊形ABCD是　　　　? ∴AO=　　　　　,BO=　　　　　.? ∵AO=BO, ∴AC=BD. ∴?ABCD是　　　　　(　　　　　　　　　　的平行四邊形是矩形).? 在Rt△ABC中, ∵AB=4 cm,AC=　　　　　,? ∴BC=　　　　　　　　　　(cm).? ∴S=8. 三、跟蹤練習 1.判斷題: (1)有四個角是直角的四邊形是矩形; (　　　　) (2)對角線相等且互相垂直的四邊形是矩形; (　　　　) (3)對角線相等,且有一個角是直角的四邊形是矩形; (　　　　) (4)對角線互相平分且相等的四邊形是矩形; (　　　　) (5)一組

4、鄰邊垂直,一組對邊平行且相等的四邊形是矩形. (　　　　) 2.已知:如圖ABCD的對角線AC,BD相交于點O,且∠OAD=∠ODA. 求證:四邊形ABCD是矩形. 3、已知:如圖,?ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點E,F,G,H.求證:四邊形EFGH是矩形. 四、變式演練 1.如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24 cm,BC=26 cm,動點P從點A出發(fā)沿AD方向向點D以1 cm/s的速度運動,動點Q從點C開始沿著CB方向向點B以3 cm/s的速度運動.點P,Q分別從點A和點C同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點隨之停止運動. (1)經(jīng)

5、過多長時間,四邊形PQCD是平行四邊形? (2)經(jīng)過多長時間,四邊形PQBA是矩形? 2.如圖,O是矩形ABCD的對角線的交點,E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD上的點,且AE=BF=CG=DH. (1)求證:四邊形EFGH是矩形; (2)若E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點,且DG⊥AC,OF=2 cm,求矩形ABCD的面積. 五、達標檢測 1.已知下列命題中:(1)矩形是軸對稱圖形,且有兩條對稱軸;(2)兩條對角線相等的四邊形是矩形;(3)有兩個角相等的平行四邊形是矩形;(4)兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形,其中正確的有(　　) 　　　　

6、　　　　　　　　　　　　 A.4個 B.3個 C.2個 D.1個 2.如圖,在四邊形ABCD中,點E,F,G,H分別是AD,BD,BC,CA的中點,若四邊形EFGH是矩形,則四邊形ABCD需滿足的條件是(　　) A.AB⊥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=DC 3.如圖,四邊形ABCD中,AC=8,BD=6,且AC⊥BD,連接四邊形ABCD各邊中點得到四邊形EFGH,下列說法不正確的是(　　) A.四邊形EFGH是矩形 B.四邊形EFGH的周長是7 C.四邊形EFGH的面積是12 D.四邊形ABCD的面積是48 4.如圖所示,△ABC繞AC的中點O順時

7、針旋轉180°得△CDA,添加一個條件　　　　,使四邊形ABCD為矩形.? 5.若順次連接四邊形各邊中點所得到的四邊形是矩形,則原四邊形必須滿足的條件是　　　　.? 6.用兩張對邊平行的紙條交叉重疊放在一起,則四邊形ABCD為　　　　;兩張紙條互相垂直時,四邊形ABCD為　　　　.? 7.如圖,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC,使點B落在OA邊上的點E處分別以OC,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標系. (1)求點D,E的坐標; (2)F為坐標系內(nèi)一點,且以C,D,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形,則點F的坐標為　　　　(直

8、接寫出所有的結果);? (3)點P是y軸上一動點,且以1個單位/秒的速度從點A向下運動.設點P運動的時間為t秒.求當t為多少時,△PCD是以CD為腰的等腰三角形? 8.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,點E,F在邊BC上,DE∥AB,AF∥DC,且AE∥DF. (1)AD與BC有何數(shù)量關系?請說明理由. (2)當四邊形ABCD滿足條件　　　　　　時,四邊形AEFD是矩形(說明理由).? 9.如圖,四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°. (1)求證:四邊形ABCD是矩形.

9、 (2)若DF⊥AC,∠ADF∶∠FDC=3∶2,則∠BDF的度數(shù)是多少? 參考答案 一、合作探究 1.由兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形;有一個角是直角的平行四邊形叫矩形, 2.矩形四個角都是直角;矩形的對角線相等;并且具有平行四邊形的所有性質. 3.矩形是特殊的平行四邊形,一般的平行四邊形不具有矩形的性質. 4.(1)直角　(2)對角線相等　(3)三個 二、自主學習 略 三、跟蹤練習 略 四、變式演練 1.解:(1)設經(jīng)過t s,四邊形PQCD為平行四邊形,即PD=CQ,所以24-t=3t, 解得t=6; (2)設經(jīng)過t's,四邊形PQBA

10、為矩形,即AP=BQ,所以t'=26-3t',解得t'=. 2.分析:(1)證明四邊形EFGH對角線相等且互相平分;(2)根據(jù)題設求出矩形的邊長CD和BC,然后根據(jù)矩形面積公式求得. (1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD.∵AE=BF=CG=DH,∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,∴四邊形EFGH是矩形; (2)解:∵G是OC的中點,OG⊥AC,∴CD=OD.∵F是BO中點,OF=2 cm,∴BO=4 cm.∵四邊形ABCD是矩形,∴DO=BO=4 cm,∴DC=4 cm,DB=8 cm,∴CB==4 cm,∴S矩形ABC

11、D=4×4=16(cm2). 五、達標檢測 1.C　2.A　3.B　4.∠B=90°　5.對角線互相垂直 6.平行四邊形;矩形 7.解:(1)依題意可知,折痕CD是四邊形BCED的對稱軸, ∴在Rt△COE中,CE=BC=AO=10,OC=AB=8, ∴OE=6,∴E(0,6). ∴AE=10-6=4. 在Rt△DAE中,AE2+AD2=DE2, 又∵DE=BD, ∴AD2+42=(8-AD)2, ∴AD=3. ∴D(3,10). (2)(11,4),(-5,16),(5,-10); (3)由(1)可知BD=5,所以CD==5, ①當PD=CD=5時,AP==

12、2, ∴t=2, ②當PC=CD=5時,OP=. ∴AP=AO-AP=10-或AP=AO+OP=10+, ∴t=10-或10+. 8.(1)AD=BC. 理由如下: ∵AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,AE∥DF, ∴四邊形ABED、四邊形AEFD和四邊形AFCD都是平行四邊形. ∴AD=BE=EF=FC, ∴AD=BC. (2)AB=CD. 理由如下: ∵四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形, ∴DE=AB,AF=DC. ∵AB=DC,∴DE=AF, 又∵四邊形AEFD是平行四邊形, ∴四邊形AEFD是矩形. 9.(1)證明:∵AO=CO,BO=DO, ∴四邊形ABCD是平行四邊形, ∴∠ABC=∠ADC, ∵∠ABC+∠ADC=180°, ∴∠ABC=∠ADC=90°, ∴四邊形ABCD是矩形; (2)解:∵∠ADC=90°,∠ADF∶∠FDC=3∶2, ∴∠FDC=36°, ∵DF⊥AC, ∴∠DCO=90°-36°=54°, ∵四邊形ABCD是矩形, ∴CO=OD, ∴∠ODC=∠DCO=54°, ∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=18°.