2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第三章 第3節(jié) 三角函數(shù)圖像與性質(zhì) 理（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第三章 第3節(jié) 三角函數(shù)圖像與性質(zhì) 理（含解析） 1．(xx·陜西，2,5分)函數(shù)f(x)＝cos的最小正周期是(　　) A. B．π C．2π D．4π 解析：選B　∵T＝＝π，∴B正確． 2．(xx·北京，14,5分)設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正周期為________． 解析：∵f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝f，∴x＝和x＝均不是f(x)的極值點，其極值應(yīng)該在x＝＝處取得，∵f＝－f，∴x＝也不是函數(shù)f(x)的極值點，又f

2、(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，∴x＝－＝為f(x)的另一個相鄰的極值點，故函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2×＝π. 答案：π 3．(xx·天津，15,13分)已知函數(shù)f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在閉區(qū)間上的最大值和最小值． 解析：(1)由已知，有 f(x)＝cos x·－cos2x＋ ＝sin x·cos x－cos2x＋ ＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ＝sin 2x－cos 2x ＝sin. 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因為f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)． f＝

3、－，f＝－，f＝. 所以，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為－. 4．(xx·福建，16,13分)(本小題滿分13分) 已知函數(shù)f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－. (1)若0＜α＜，且sin α＝，求f(α)的值； (2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間． 解析：解法一： (1)因為0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝. 所以f(α)＝－＝. (2)因為f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ＝sin 2x＋－ ＝sin 2x＋cos 2x ＝sin， 所以T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ

4、＋，k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. 解法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ＝sin 2x＋－ ＝sin 2x＋cos 2x ＝sin. (1)因為0＜α＜，sin α＝，所以α＝， 從而f(α)＝sin＝sin＝. (2)T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. 5．(xx·重慶，17,13分)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－≤φ<的圖象關(guān)于直線x＝對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π. (1)求ω和φ的值； (2)若f＝，求cos的值．

5、 解析：(1)因f(x)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，所以f(x)的最小正周期T＝π，從而ω＝＝2. 又因f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，所以 2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….因－≤φ<得k＝0， 所以φ＝－＝－. (2)由(1)得f＝sin ＝， 所以sin ＝. 由<α<得0<α－<， 所以cos ＝＝＝. 因此cos＝sin α ＝sin ＝sincos＋cossin ＝×＋× ＝. 6. (xx新課標(biāo)全國Ⅰ，5分)函數(shù)f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的圖像大致為(　　) 解析：選C　本題主要考查數(shù)形結(jié)合思想，以及對問題

6、的分析判斷能力．首先知函數(shù)為奇函數(shù)，排除B.其次只需考慮x∈[0，π]的情形，又當(dāng)x∈[0，π]時，f(x)≥0，于是排除A.∵f(x)＝(1－cos x)sin x，∴f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x＝1－cos2x＋cos x－cos2x＝－2cos2x＋cos x＋1，令f′(x)＝0，則cos x＝1或cos x＝－，結(jié)合x∈[－π，π]，求得f(x)在[0，π]上的極大值點為π，靠近π，可知C對． 7．(xx山東，5分)將函數(shù)y＝sin(2x ＋φ)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則φ的一個可能取值為(　　) A.

7、 B. C．0 D．－ 解析：選B　本題考查三角函數(shù)的圖象變換、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本方法，考查運算求解能力，考查方程思想．把函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象向左平移個單位后，得到的圖象的解析式是y＝sin ，該函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是＋φ＝kπ＋，k∈Z，根據(jù)選項檢驗可知φ的一個可能取值為. 8．(xx湖北，5分)將函數(shù)y＝cos x＋sin x(x∈R)的圖象向左平移m(m＞0)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，意在考查考生對三角函

8、數(shù)變形以及圖象平移等知識的掌握．y＝ cos x＋sin x＝2＝2sin的圖象向左平移m個單位后，得到y(tǒng)＝2sin的圖象，此圖象關(guān)于y軸對稱，則x＝0時，y＝±2，即2sin ＝±2，所以m＋＝＋kπ，k∈Z，由于m>0，所以mmin＝，故選B. 9．(xx新課標(biāo)全國Ⅰ，5分)設(shè)當(dāng)x＝θ時，函數(shù)f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，則cos θ＝________. 解析：本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、兩角差的三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的化簡運算及求最值的方法，意在考查考生利用兩角差的三角函數(shù)公式進行化簡、運算和轉(zhuǎn)化的能力．先利用asin x＋bcos x的結(jié)構(gòu)通過構(gòu)造進行合并化簡為一個函

9、數(shù)，然后討論函數(shù)f(x)取到最值的條件，并利用誘導(dǎo)公式求解．f(x)＝sin x－2cos x＝ ＝sin (x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，當(dāng)x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時函數(shù)f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時函數(shù)f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－. 答案：－ 10．(xx江西，5分)函數(shù)y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T為________． 解析：本題考查三角恒等變換以及三角函數(shù)的周期性，意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力以及運算能力．y＝sin 2x＋2 sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin(2x－)＋，所以該函數(shù)的最小正周期T＝＝π

10、. 答案：π 11．(xx陜西，12分)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b. (1)求f(x)的最小正周期． (2)求f(x)在上的最大值和最小值． 解：本題主要考查向量的數(shù)量積和三角恒等變換的方法以及三角函數(shù)的有界性，意在考查考生應(yīng)用向量和三角工具解決問題的能力． f(x)＝·( sin x，cos 2x) ＝cos xsin x－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x ＝cos sin 2x－sincos 2x ＝sin. (1)f(x)的最小正周期為T＝＝＝π， 即函數(shù)f(x)的最小正周期為π. (2)∵0≤x≤，

11、∴－≤2x－≤.由正弦函數(shù)的性質(zhì)，知 當(dāng)2x－＝，即x＝時，f(x)取得最大值1. 當(dāng)2x－＝－，即x＝0時，f(x)取得的最小值－. 因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是－. 12．(xx湖南，12分)已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2. (1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值； (2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合． 解：本小題主要考查兩角差的正、余弦公式，二倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)單調(diào)性，考查三角恒等變形能力和運算求解能力．屬中檔題． f(x)＝sin＋cos ＝sin x－cos x＋cos x＋sin x

12、 ＝sin x， g(x)＝2sin2＝1－cos x. (1)由f(α)＝得sin α＝.又α是第一象限角，所以cos α>0. 從而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝. (2)f(x)≥g(x)等價于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1. 于是sin≥. 從而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z. 故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合為. 13．(xx新課標(biāo)全國，5分)已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　　) A．[，] B．[，] C．(0，]

13、 D．(0,2] 解析：函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋)的圖像可看作是由函數(shù)f(x)＝sin x的圖像先向左平移個單位得f(x)＝sin(x＋)的圖像，再將圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到的，而函數(shù)f(x)＝sin(x＋)的減區(qū)間是[，]，所以要使函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上是減函數(shù)，需滿足解得≤ω≤. 答案：A 14．(xx湖南，5分)函數(shù)f(x)＝sin x－cos(x＋)的值域為(　　) A．[－2,2] B．[－， ] C．[－1,1] D．[－， ] 解析：因為f(x)＝sin x－cos x＋sin x＝(

14、 sin x－cos x)＝sin(x－)，所以函數(shù)f(x)的值域為[－， ]． 答案：B 15．(xx天津，13分)已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)＋2cos2x－1，x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－，]上的最大值和最小值． 解：(1)f(x)＝sin 2x·cos ＋cos 2x·sin ＋sin 2x·cos－cos 2x·sin ＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)．　 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因為f(x)在區(qū)間[－，]上是增函數(shù)，在區(qū)間[，]上是減函數(shù)．又f(－)

15、＝－1，f()＝，f()＝1，故函數(shù)f(x)在區(qū)間[－，]上的最大值為，最小值為－1. 15．(2011山東，5分)若函數(shù)f(x)＝sinωx(ω>0)在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減，則ω＝(　　) A．3 B．2 C. D. 解析：由于函數(shù)f(x)＝sinωx的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，根據(jù)已知并結(jié)合函數(shù)圖像可知，為這個函數(shù)的四分之一周期，故＝，解得ω＝. 答案：C 16．(2011安徽，5分)已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實數(shù)，若f(x)≤|f()|對x∈R恒成立，且f()>f(π)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　

16、) A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z) C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z) 解析：因為當(dāng)x∈R時，f(x)≤|f()|恒成立，所以f()＝sin(＋φ)＝±1，可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－.因為f()＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ，故sinφ<0，所以φ＝2kπ－，所以f(x)＝sin(2x－)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 所以x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)． 答案：C 17．(2011江蘇，5分)設(shè)定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)y＝6cosx的圖象與y＝

17、5tanx的圖象交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為P1，直線PP1與函數(shù)y＝sinx的圖象交于點P2，則線段P1P2的長為________． 解析：設(shè)P(x0，y0)，則由消去y0得，6cosx0＝5tanx0?6cos2x0＝5sinx0，即6sin2x0＋5sin x0－6＝0，解得sinx0＝－(舍去)或，∵PP1⊥x軸，且點P、P1、P2共線，∴|P1P2|＝sinx0＝. 答案： 18．(2011浙江，4分)函數(shù)f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是__________． 解析：f(x)＝＝－sin 4x，故其最小正周期為＝. 答案： 19．(xx廣東，14分)已知

18、函數(shù)f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝時取得最大值4. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的解析式； (3)若f(α＋)＝，求sinα. 解：(1)T＝. (2)由題設(shè)可知A＝4且sin(3×＋φ)＝1， 則φ＋＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)． ∵0<φ<π，∴φ＝. ∴f(x)＝4sin(3x＋)． (3)∵f(α＋)＝4sin(2α＋)＝4cos2α＝， ∴cos2α＝. ∴sin2α＝(1－cos2α)＝. ∴sinα＝±. 20．(xx安徽，5分)動點A(x，y)在圓x2＋y2＝1上繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周．已知時間t＝0時，點A的坐標(biāo)是(，)，則當(dāng)0≤t≤12時，動點A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．[0,1] B．[1,7] C．[7,12] D．[0,1]和[7,12] 解析：由已知可得該函數(shù)的最小正周期為T＝12， 則ω＝＝， 又當(dāng)t＝0時，A的坐標(biāo)為(，)， ∴此函數(shù)為y＝sin(t＋)，t∈[0,12]， 可解得此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,1]和[7,12]． 答案：D