2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第3講 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用習(xí)題 理 新人教A版(I)

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第3講 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用習(xí)題 理 新人教A版(I) 一、填空題 1.(xx·蘭州診斷)已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|a－b|＝________. 解析　|a－b|＝＝＝＝. 答案　 2.(xx·南通調(diào)研)已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，則|b|＝________. 解析　∵a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1，2)，∴|b|＝＝. 答案　 3.(xx·廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，＝(1，－2)，＝(2，1)，則·等于________. 解析　∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴·＝2×3＋(－1)×1＝5. 答案　5 4.(xx·東北三校聯(lián)考)向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝，(a＋b)⊥(2a－b)，則向量a與b的夾角為________. 解析　∵(a＋b)⊥(2a－b)，∴(a＋b)·(2a－b)＝0， ∴2a2－a·b＋2b·a－b2＝0，∴a·b＝0，∴向量a與b的夾角為90°. 答案　90° 5.(xx·蘇州調(diào)研)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，則實(shí)數(shù)t的值為________. 解析　依題意得b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝1－＝0，解得t＝2. 答案　2 6.(xx·湖北卷)已知向量⊥，||＝3，則·＝________. 解析　因?yàn)椤?，所?#183;＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9. 答案　9 7.(xx·河南六市聯(lián)考)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，則向量a和b的夾角是________. 解析　設(shè)向量a和b的夾角為θ.由題意知(a－b)·a＝a2－a·b＝0，∴2－2cos θ＝0，解得cos θ＝，∴θ＝. 答案　 8.(xx·蘇北四市調(diào)研)已知A(－1，cos θ)，B(sin θ，1)，若|＋|＝|－|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則銳角θ＝________. 解析　法一　利用幾何意義求解：由已知可知，＋是以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB的對(duì)角線向量，－則是對(duì)角線向量，于是對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形.故OA⊥OB.因此·＝0，∴銳角θ＝. 法二　坐標(biāo)法：＋＝(sin θ－1，cos θ＋1)，－＝(－sin θ－1，cos θ－1)，由|＋|＝|－|可得(sin θ－1)2＋(cos θ＋1)2＝(－sin θ－1)2＋(cos θ－1)2，整理得sin θ＝cos θ，于是銳角θ＝. 答案　 二、解答題 9.已知平面向量a＝(，－1)，b＝. (1)證明：a⊥b； (2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f(t). (1)證明　∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b. (2)解　∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d， ∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb) ＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0. 又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0， ∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝(t≠0). 10.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求a與b的夾角θ； (2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面積. 解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61， ∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，∴θ＝. (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝. (3)∵與的夾角θ＝，∴∠ABC＝π－＝. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， ∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3. (建議用時(shí)：20分鐘) 11.(xx·沈陽質(zhì)量監(jiān)測(cè))在△ABC中，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F(xiàn)為BC邊的三等分點(diǎn)，則·＝________. 解析　法一　由向量的幾何意義可知，△ABC是以A為直角的直角三角形，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，不妨設(shè)＝＋，＝＋，因此·＝·＝2＋2＋·＝×4＋×1＝. 法二　由向量的幾何意義可知，△ABC是以A為直角的直角三角形，以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，不妨設(shè)E，F(xiàn)，因此·＝×＋×＝. 答案　 12.(xx·合肥質(zhì)量檢測(cè))在△ABC中，設(shè)2－2＝2·，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的________. 解析　假設(shè)BC的中點(diǎn)是O.則2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，所以⊥，所以動(dòng)點(diǎn)M在線段BC的中垂線上，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的外心. 答案　外心 13.(xx·蘇、錫、常、鎮(zhèn)模擬)設(shè)非零向量a與b的夾角是，且|a|＝|a＋b|，則的最小值是________. 解析　∵非零向量a與b的夾角是，且|a|＝|a＋b|， ∴|a|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos ， ∴|b|2－|a||b|＝0，∴|b|＝|a|， ∴＝＝ ＝t2－2t＋＝(t－1)2＋， ∴當(dāng)t＝1時(shí)，取最小值是＝. 答案　 14.已知平面上三點(diǎn)A，B，C，＝(2－k，3)，＝(2，4). (1)若三點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件； (2)若△ABC為直角三角形，求k的值. 解　(1)由三點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，得A，B，C在同一直線上，即向量與平行， ∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝. (2)∵＝(2－k，3)，∴＝(k－2，－3)， ∴＝＋＝(k，1).若△ABC為直角三角形， 則當(dāng)A是直角時(shí)，⊥，即·＝0， ∴2k＋4＝0，解得k＝－2； 當(dāng)B是直角時(shí)，⊥，即·＝0， ∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1； 當(dāng)C是直角時(shí)，⊥，即·＝0， ∴16－2k＝0， 解得k＝8.綜上得k的值為－2，－1，3，8.