2022年高中數(shù)學 初高中銜接教材 第一講 數(shù)與式的運算

2022年高中數(shù)學 初高中銜接教材 第一講 數(shù)與式的運算在初中，我們已學習了實數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，我們把實數(shù)和代數(shù)式簡稱為數(shù)與式代數(shù)式中有整式（多項式、單項式）、分式、根式它們具有實數(shù)的屬性，可以進行運算在多項式的乘法運算中，我們學習了乘法公式（平方差公式與完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多項式的運算簡便由于在高中學習中還會遇到更復雜的多項式乘法運算，因此本節(jié)中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補充三個數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公式在根式的運算中，我們已學過被開方數(shù)是實數(shù)的根式運算，而在高中數(shù)學學習中，經(jīng)常會接觸到被開方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒有涉及，因此本節(jié)中要補充基于同樣的原因，還要補充“繁分式”等有關(guān)內(nèi)容一、乘法公式【公式1】證明： 等式成立【例1】計算：解：原式=說明：多項式乘法的結(jié)果一般是按某個字母的降冪或升冪排列【公式2】(立方和公式)證明: 說明:請同學用文字語言表述公式2.【例2】計算：解：原式=我們得到：【公式3】(立方差公式)請同學觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式1、2、3均稱為乘法公式【例3】計算：（1）（2）（3）（4）解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=說明：（1）在進行代數(shù)式的乘法、除法運算時，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式的結(jié)構(gòu) （2）為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、20的平方數(shù)和1、2、3、4、10的立方數(shù)，是非常有好處的【例4】已知，求的值解： 原式=說明：本題若先從方程中解出的值后，再代入代數(shù)式求值，則計算較煩瑣本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計算，簡化了計算請注意整體代換法本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉【例5】已知，求的值解：原式= ，把代入得原式=說明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用引申：同學可以探求并證明： 二、根式式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1) (2) (3) (4) 【例6】化簡下列各式：(1) (2) 解：(1) 原式=(2) 原式=說明：請注意性質(zhì)的使用：當化去絕對值符號但字母的范圍未知時，要對字母的取值分類討論【例7】計算(沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：(1) (2) (3) 解：(1) 原式=(2) 原式=(3) 原式=說明：(1)二次根式的化簡結(jié)果應(yīng)滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式(2)二次根式的化簡常見類型有下列兩種：被開方數(shù)是整數(shù)或整式化簡時，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來；分母中有根式(如)或被開方數(shù)有分母(如)這時可將其化為形式(如可化為) ，轉(zhuǎn)化為 “分母中有根式”的情況化簡時，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個根式進行化簡(如化為，其中與叫做互為有理化因式)【例8】計算：(1) (2) 解：(1) 原式=(2) 原式= 說明：有理數(shù)的的運算法則都適用于加法、乘法的運算律以及多項式的乘法公式、分式二次根式的運算【例9】設(shè)，求的值解：原式=說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當直接代入運算較復雜時，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量三、分式當分式的分子、分母中至少有一個是分式時，就叫做繁分式，繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1) 利用除法法則；(2) 利用分式的基本性質(zhì)【例10】化簡解法一：原式=解法一：原式=說明：解法一的運算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉繁分式，解法二則是利用分式的基本性質(zhì)進行化簡一般根據(jù)題目特點綜合使用兩種方法【例11】化簡解：原式=說明：(1) 分式的乘除運算一般化為乘法進行，當分子、分母為多項式時，應(yīng)先因式分解再進行約分化簡；(2) 分式的計算結(jié)果應(yīng)是最簡分式或整式練 習 A 組1二次根式成立的條件是()ABCD是任意實數(shù)2若，則的值是()ABCD3計算：(1) (2) (3) (4) 4化簡(下列的取值范圍均使根式有意義)：(1) (2) (3) (4) 5化簡：(1) (2) B 組1若，則的值為()：ABCD2計算：(1) (2) 3設(shè)，求代數(shù)式的值4當，求的值5設(shè)、為實數(shù)，且，求的值6已知，求代數(shù)式的值7設(shè)，求的值8展開9計算10計算11化簡或計算：(1) (2) (3) (4) 第一講 習題答案A組1 C 2 A3 (1) (2) (3) (4) 45B組1 D 2 3 456 3 7891011