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1、2022年高考數(shù)學 不等式的證明 有關高考不等式證明
證明不等式的主要方法是：
一、基本方法：比較法，綜合法，分析法
二、其他方法：反證法，放所法，判別式，換元法，函數(shù)法，導數(shù)法，參數(shù)法，構造法，數(shù)學歸納法.
一 比較法（比差法，比商法）
u
1.設，求證：
證明：左-右=
2.已知，，求證：
證明：法一：時
時
時
法二：
3.，，求證：
證明：
4.已知，求證：
證明：
二 綜合法
2、
5.設，求證：
證明：法一：
法二：
+〕————————————————
法三：
6.已知，求證：
證明：
同理：
+〕————————————————————
3、
7.設,求證：
證明：
+〕——————————
8.設，求證：
證明：法一：
即
同理：
+〕------------------------------------------
法二：
法三：
9.設
4、，求證：
證明：左
10.設實數(shù)滿足,,求證：
證明： ①
②
①“=”成立
②“=”成立 此時
∴①②“=”不同時成立
∴
三、分析法
11.已知，求證：
證明：
12.設,,求證：
證明：
成立
13.已知，且，求證：
1）
2）
證明：1） ④
5、 ③
②
①
成立
∴①②③④ 即
2）
∵
∴原不等式等價于證明 成立
只需證
∵
∴
14.已知 ，求證：
證明：
四、反證法
15.已知，，，求證：，，中至少有一個小于等于.
證明：假設 則有
6、 〔＊〕
又∵
與〔＊〕矛盾
16.設都是小于1的正數(shù)，求證：
這四個數(shù)不可能都大于1.
證明：同15題
17.設，求證：
證明：假設
與矛盾
∴
18.設，，求證：
證明：假設 則
而與矛盾.
∴
五、放縮法
19.，求證：
證明：
+〕——————————————
20.設，，求證：
證明：
21.求證：
證明： ①
7、 ②
③
①②③得
22.設，求證：
證明：
六 換元法
23.已知，求證：
證明：，設
24.已知，求證：
證明： 令
25.已知，，求證：
證明：
26.求證：
證明：設
27.已知，且，求證：
證明：設
∴
8、
28.設，且，求證：
證明：設
29.已知，求證：
證明：令
+〕
原不等式
法一：
法二：
30.已知，且，求證：
證明：∵
∴
設
解得
∴
31.，求證：
證明：令
左
七、函數(shù)法
32.設，，求證：
證明：令
9、
∴
33.求證
證明：令
34.，求證：
證明：令
a) 當時，在上是增函數(shù)
b) 當時，在上是減函數(shù)
c) 當時，
35.設，且，求證：
證明：
36.設，對任意的正整數(shù)，求證：
證明：
37.已知，求證：
證明：
八、參數(shù)法
38.已知，，
求證：
證明：
10、
+〕————————————————
∴
∴
39.設，且，求證：
證明：
即
+〕————————————————
“=”
40 設，求證：
證明：
即
+〕 ﹙＊﹚
代入﹙＊﹚得
41 設，求證：.
證明：
+〕
令 得
∴
42 設 且，求證：
證明：
11、
+〕
∵
∴ 只要令 即
43 若均為銳角，且滿足，求證：
證明：令 ，則
左
左
令 得
九 導數(shù)法
44 已知為正整數(shù)
（1）設，證明：
（2）設，對任意，證明：證明：（1）
（2）
∴
當時，
∴ 當時，在上為增函數(shù)
∴ 當時
12、 ∴
即當時，
45 設是函數(shù)的兩個極值點，且，
（1）證明：
（2）證明：
（3）若函數(shù)，證明：當，且時，
證明：（1）
的兩根為
即
（2）
時 為增函數(shù)
時 為減函數(shù)
∴
∴
（3）
46 已知函數(shù)
（1） 求函數(shù)的最大值.
（2） 設，證明.
證明：（1）函數(shù)的定義域為
令得
13、 當 時，
當時，
∴
（2）
由⑴知
得
∴
∴
又
∴
47 設函數(shù)
（1）證明
（2）設為的一個極值，證明：
（3）設在內的全部極值點按從小到大的順序排列為
證明：
證明：（1）
14、
（2）
知
∴
又
∴
（3） 設是的任意正實數(shù)根.即
則存在一個非負整數(shù)，使 即在第Ⅱ或第Ⅳ象限.
x
的符號
K為奇數(shù)
– 0 +
K為偶數(shù)
+ 0 –
∴ 滿足的正根都為的極值點
由題設條件為方程的全部正實根且滿足
15、
∵
∴
∴
又∵
∴ 在第Ⅱ象限即
綜上
48 已知函數(shù)在開區(qū)間內是增函數(shù)
（1） 求實數(shù)a的取值范圍.
（2） 若數(shù)列滿足
證明：.
解：（1） 在上為增函數(shù)
∴ 在上恒成立
∴
∵ ∴
∴ ∴ ∴
（2）當時，
設時，
當時，
記
當時 在上為
16、增函數(shù)
又∵
∴
∴ ∴
綜上
即 ∴
十 構造法
49 已知 ，
求證
證明：設
左=
其中為以1為邊長的正方形OBCA 內任一點
圖像沒有畫
50 已知，求證
證明：
構造一個三棱錐A-BCD，使
圖像沒有畫
在中，BC+CD>BD
51 求證
證明：
∴ 是方程的兩
17、個實數(shù)根
又 ，故該方程有兩個大于c的不等實根
設
解得
52 設，且， 求證.
證明：構造輔助命題：若則
令
∵
∴ 左邊
53 求證：
證明：
∵
∴在上為增函數(shù)
∴
54 已知 為實數(shù)，求證
證明：
55 已知，求證：
證明：
56 求證：
證明: 設
十一 數(shù)學歸納法
57 已知正項數(shù)列{}滿足 求證：
證明：①當時，
②設時，不等式
18、成立有 ；那么當時，
即 時，命題正確
∴ 由①②得
58 設且，求證：
證明：①當時，左右
當時，
∴當時 命題成立
②設時命題成立 有
當時，不失一般性，設
即
∴
∵
∴
∴
即時，命題成立.
59 數(shù)列{}由下列條件決定
19、：
（1） 證明：對 總有
（2） 證明：對 總有
證明：（1）先證
①當時，有
②設時，有 當時，成立 由①②得
∴ 對 總有
（2）
∴ 對 總有
60 數(shù)列滿足
（1）用數(shù)學歸納法證明
（2）已知不等式對成立.證明：
證明：（1）
① 當時，不等式成立
② 設時，不等式成立 有
不等式成立
由①②得 時
（2）
20、 即 ∴
61 設函數(shù)
（1）求的最小值
（2） 設正數(shù)滿足證明：
.
證明：（1）
令 得
當時，，此時為減函數(shù)
當時，，此時為增函數(shù)
∴
（2）法一：用數(shù)學歸納法證明
①當n=1時，由（1）知命題成立
②設n=k時命題成立，有
當n=k+1時，時，滿足
令則有
由歸納假設知
①
同理：
②
21、①+②得：
即 n=k+1時命題成立
法二：先證不等式：
構造函數(shù) （常數(shù)）
由（1）知：當 即時，
∴ 對都有
下面用數(shù)學歸納法證明命題成立
① 當n=1時，命題成立
② 設n=k時，命題成立.即若正數(shù) 滿足
有
當n=k+1時
令
∵
由歸納假設得：
22、
∴
即 n=k+1時命題成立.
附錄 △中的不等式
1 設的三邊為，求證：
證明：
2 的三邊為，求證：
證明：
3 的三邊為，求證：
證明：
4 在銳角中，求證
證明：
5 在中，已知的面積為，外接圓半徑為，三邊長為求證
證明：
又
即
同理：
∴
“=” 若
矛盾
∴ 等式不成立 ∴
6 已知的三邊長為的三邊為，面積為 求證：
證明：
①
+）
①成立
2022年高考數(shù)學 不等式的證明 有關高考不等式證明
