高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三講 函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

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1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三講 函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 一、選擇題 1．已知0＜a＜1，則函數(shù)y＝a|x|－|logax|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 答案：B 2．方程log4x＋x＝7的解所在區(qū)間是(　　) A．(1，2) B．(3，4) C．(5，6) D．(6，7) 解析：構(gòu)造函數(shù)F(x)＝log4x＋x－7，F(xiàn)(5)＝log45－2＜0，F(xiàn)(6)＝log46－1＞0，F(xiàn)(x)在(5，6)內(nèi)有零點(diǎn)，即log4x＋x－7＝0在(5，6)內(nèi)有解． 答案：C 3．方程mx2＋2(m＋1)x＋m＋3＝0僅有一個(gè)負(fù)

2、根，則m的取值范圍是(　　) A．(－3，0) B．[－3，0) C．[－3，0] D．[－1，0] 解析：當(dāng)m＝0時(shí)，由原方程得x＝－＜0成立，排除選項(xiàng)A，B；當(dāng)m＝－3時(shí)，原方程變?yōu)椋?x2－4x＝0，兩根為x1＝0，x2＝－，也符合題意，故選C. 答案：C 二、填空題 4．下表是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上一些點(diǎn)的數(shù)值. x 1 1.25 1.375 1.406 5 1.438 f(x) －2 －0.984 －0.260 －0.052 0.165 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 f(x) 0.625 1

3、.982 2.645 4.35 6 由此可判斷，方程f(x)＝0的一個(gè)近似解為_(kāi)_______． (精確度0.1，且近似解保留兩位有效數(shù)字) 解析：∵f(1.438)·f(1.406 5)＜0，且|1.438－1.406 5|＝0.031 5＜0.1，∴f(x)＝0的一個(gè)近似解為1.4. 答案：1.4 5.如圖，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器．當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為_(kāi)___________時(shí)，其容積最大． 解析：設(shè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為x，高為d，則d＝×(1－x)；又底面六邊形面

4、積為：S＝6··x2·sin 60°＝x2， ∴V＝Sd＝x2·(1－x)＝(x2－x3)，對(duì)V求導(dǎo)，則V′＝(2x－3x2)，令V′＝0，解得x＝0或x＝， 當(dāng)0＜x＜時(shí)，V′＞0，V是增函數(shù)；當(dāng)x＞時(shí)，V′＜0，V是減函數(shù)．∴x＝時(shí)，V有最大值． 答案： 6．若關(guān)于x的方程3x2－5x＋a＝0的一個(gè)根在(－2，0)內(nèi)，另一個(gè)根在(1，3)內(nèi)，則a的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：設(shè)f(x)＝3x2－5x＋a， 則? 解得－12＜a＜0. 答案：(－12，0) 7．(xx·福建卷)函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________． 解析：令x2－2＝0得，x

5、＝±，只有x＝－符合題意； 令2x－6＋ln x＝0得，6－2x＝ln x，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出y＝6－2x，y＝ln x的圖象，觀察知交點(diǎn)有1個(gè)，所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)． 答案：2 8．方程2－x＋x2＝3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 解析：方程變形為3－x2＝2－x＝，令y1＝3－x2，y2＝. 如圖所示，由圖象可知有2個(gè)交點(diǎn)． 答案：2 三、解答題 9．將一張2×6米的硬鋼板按圖紙的要求進(jìn)行操作：沿線裁去陰影部分，把剩余部分按要求焊接成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體水箱(⑦為底，①②③④為側(cè)面，⑤＋⑥為水箱蓋，其中①與③，②與④分別是全等的矩形，且⑤＋⑥＝

6、⑦)，設(shè)水箱的高為x米，容積為y立方米． (1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)如何設(shè)計(jì)x的大小，可使得水箱的容積最大？ 解析：(1)依題意水箱底的寬為(2－2x)米，長(zhǎng)為＝(3－x)米．則水箱的容積y＝(2－2x)(3－x)·x＝2x3－8x2＋6x(0＜x＜1)，即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x3－8x2＋6x(0＜x＜1)． (2)y＝2x3－8x2＋6x(0＜x＜1)， ∴y′＝6x2－16x＋6. 令y′＝6x2－16x＋6＝0， 得x＝或x＝(舍去)， 當(dāng)0＜x＜時(shí)，y′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)＜x＜1時(shí)，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減． ∴當(dāng)x＝時(shí)，

7、函數(shù)y＝2x3－8x2＋6x(0＜x＜1)取得最大值，即設(shè)計(jì)水箱的高為米時(shí)，容積最大． 10．為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國(guó)家科研部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(單位：元)與月處理量x(單位：噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：y＝x2－200x＋80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元． (1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？ (2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？ 解析：(1)由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為＝x＋－200≥2－200＝200， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝400時(shí)，等號(hào)成立． ∴當(dāng)月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為200元． (2)設(shè)該單位每月獲利為S， 則S＝200x－y＝200x－ ＝－x2＋400x－80 000 ＝－(x－400)2，x∈[400，600]． ∵x∈[400，600]， ∴x＝400時(shí)，S取值最大值為0. 因此，該單位不能獲利，最多能收支平衡．