2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末檢測(cè) 新人教A版選修1 -2

2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末檢測(cè) 新人教A版選修1 -2一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是()ycos x(xR)是三角函數(shù)；三角函數(shù)是周期函數(shù)；ycos x(xR)是周期函數(shù)ABC D解析：顯然是大前提，是小前提，是結(jié)論答案：D2用反證法證明命題“是無(wú)理數(shù)”時(shí)，假設(shè)正確的是()A假設(shè)是有理數(shù)B假設(shè)是有理數(shù)C假設(shè)或是有理數(shù)D假設(shè)是有理數(shù)解析：假設(shè)應(yīng)為“不是無(wú)理數(shù)”，即“是有理數(shù)”答案：D3下列推理過(guò)程屬于演繹推理的為()A老鼠、猴子與人在身體結(jié)構(gòu)上有相似之處，某醫(yī)藥先在猴子身上試驗(yàn)，試驗(yàn)成功后再用于人體試驗(yàn)B由112,1322,13532得出135(2n1)n2C由三角形的三條中線交于一點(diǎn)聯(lián)想到四面體四條中線(四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心的連線)交于一點(diǎn)D通項(xiàng)公式形如ancqn(cq0)的數(shù)列an為等比數(shù)列，則數(shù)列2n為等比數(shù)列解析：A是類(lèi)比推理，B是歸納推理，C是類(lèi)比推理，D為演繹推理答案：D4求證：<2.證明：因?yàn)楹?都是正數(shù)，所以為了證明<2，只需證明()2<(2)2，展開(kāi)得102<20，即<5，只需證明21<25.因?yàn)?1<25成立，所以不等式<2成立上述證明過(guò)程應(yīng)用了()A綜合法B分析法C綜合法、分析法配合使用D間接證法解析：結(jié)合證明特征可知，上述證明過(guò)程用了分析法，其屬于直接證明法答案：B5.四個(gè)小動(dòng)物換座位，開(kāi)始是猴、兔、貓、鼠分別坐在1,2,3,4號(hào)位置上，第1次前后排動(dòng)物互換位置，第2次左右列互換座位，這樣交替進(jìn)行下去，那么第2 014次互換座位后，小兔的位置對(duì)應(yīng)的是()開(kāi)始 第1次第2次 第3次A編號(hào)1 B編號(hào)2C編號(hào)3 D編號(hào)4解析：由題意得第4次互換座位后，4個(gè)小動(dòng)物又回到了原座位，即每經(jīng)過(guò)4次互換座位后，小動(dòng)物回到原座位，所以第2 012次互換座位后的結(jié)果與最初的位置相同，故小兔坐在第3號(hào)座位上答案：C6我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱(chēng)為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過(guò)點(diǎn)A(3,4)，且法向量為n(1，2)的直線(點(diǎn)法式)方程為：1×(x3)(2)×(y4)0，化簡(jiǎn)得x2y110.類(lèi)比以上方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2,3)，且法向量為m(1，2,1)的平面的方程為()Ax2yz20 Bx2yz20Cx2yz20 Dx2yz20解析：所求的平面方程為1×(x1)(2)×(y2)1×(z3)0.化簡(jiǎn)得x2yz20.答案：A7用反證法證明命題“若a2b20，則a，b全為0(a，bR)”，其反設(shè)正確的是()Aa，b至少有一個(gè)不為0Ba，b至少有一個(gè)為0Ca，b全不為0Da，b中只有一個(gè)為0解析：“a，b全為0”的反設(shè)應(yīng)為“a，b不全為0”，即“a，b至少有一個(gè)不為0”答案：A8用火柴棒擺“金魚(yú)”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚(yú)”圖形需要火柴棒的根數(shù)為()A6n2 B8n2C6n2 D8n2解析：歸納“金魚(yú)”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚(yú)”都比它前面的“金魚(yú)”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚(yú)頭部分，故各“金魚(yú)”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an6n2.答案：C9設(shè)等比數(shù)列an的公比q2，前n項(xiàng)和為Sn，則()A2 B4C. D.解析：在等比數(shù)列an中，q21，設(shè)首項(xiàng)為a10，則S415a1，又a2a1q2a1，故.答案：C10下列不等式中一定成立的是()Alg>lg x(x>0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.>1(xR)解析：A項(xiàng)中，因?yàn)閤2x，所以lglg x；B項(xiàng)中sin x2只有在sin x>0時(shí)才成立；C項(xiàng)中由不等式a2b22ab可知成立；D項(xiàng)中因?yàn)閤211，所以0<1.答案：C二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中的橫線上)11ABC中，若ABAC，P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，APB>APC，求證：BAP<CAP，用反證法證明時(shí)的假設(shè)為_(kāi)解析：反證法對(duì)結(jié)論的否定是全面否定，BAP<CAP的對(duì)立面是BAPCAP或BAP>CAP.答案：BAPCAP或BAP>CAP12. 2 ， 3 ， 4 若 6 (a，b均為實(shí)數(shù))，猜想，a_，b_.解析：由前面三個(gè)等式，推測(cè)歸納被平方數(shù)的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由三個(gè)等式知，整數(shù)和這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子相同，而分母是這個(gè)分子的平方減1，由此推測(cè) 中：a6，b62135，即a6，b35.答案：63513觀察下列等式121，12223，1222326，1222324210，照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)解析：觀察等號(hào)左邊可知，左邊的項(xiàng)數(shù)依次加1，故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng)，每項(xiàng)所含的底數(shù)也增加1，依次為1,2,3，n，指數(shù)都是2，符號(hào)正負(fù)交替出現(xiàn)，可以用(1)n1表示；等號(hào)的右邊數(shù)的絕對(duì)值是左邊項(xiàng)的底數(shù)的和，故等式的右邊可以表示為(1)n1·，所以第n個(gè)式子可為：12223242(1)n1n2(1)n1·.答案：12223242(1)n1n2(1)n1·14. 已知圓的方程是x2y2r2，則經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為x0xy0yr2.類(lèi)比上述性質(zhì)，可以得到橢圓1類(lèi)似的性質(zhì)為_(kāi)解析：圓的性質(zhì)中，經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程就是將圓的方程中的一個(gè)x與y分別用M(x0，y0)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)替換故可得橢圓1類(lèi)似的性質(zhì)為：過(guò)橢圓1上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為1.答案：經(jīng)過(guò)橢圓1上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為115若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對(duì)于 D上的n個(gè)值x1，x2，xn，總滿(mǎn)足f(x1)f(x2)f(xn)f，稱(chēng)函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù)；現(xiàn)已知f(x)sin x在(0，)上是凸函數(shù)，則ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析：因?yàn)閒(x)sin x在(0，)上是凸函數(shù)(小前提)，所以(sin Asin Bsin C)sin(結(jié)論)，即sin Asin Bsin C3sin.因此，sin Asin Bsin C的最大值是.答案：三、解答題(本大題共有6小題，共75分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或運(yùn)算步驟)16(12分)(2016·高考全國(guó)卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S5，求.(1)證明：由題意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是ann1.(2)解：由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.17(12分)已知函數(shù)f(x)(x0)如下定義一列函數(shù)：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，fn(x)f(fn1(x)，nN*，那么由歸納推理求函數(shù)fn(x)的解析式解析：依題意得，f1(x)，f2(x)，f3(x)，由此歸納可得fn(x)(x0)18(12分)設(shè)函數(shù)f(x)lg |x|，若0ab，且f(a)f(b)證明：0ab1.證明：f(x)lg |x|0ab，f(a)f(b)a、b不能同時(shí)在區(qū)間1，)上，又由于0ab，故必有a(0,1)若b(0,1)，顯然有0ab1；若b(1，)，由f(a)f(b)0，有l(wèi)g alg b0，lg(ab)0，0ab1.19(12分)已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且其中任意兩邊長(zhǎng)均不相等，若，成等差數(shù)列(1)比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論；(2)求證：角B不可能是鈍角解析：(1) < .證明如下：要證 < ，只需證<.a，b，c>0，只需證b2<ac.，成等差數(shù)列，2 ，b2ac.又a，b，c均不相等，b2<ac.故所得大小關(guān)系正確(2)證明：解法一：假設(shè)角B是鈍角，則cos B<0.由余弦定理得，cos B>>0，這與cos B<0矛盾，故假設(shè)不成立所以角B不可能是鈍角解法二：假設(shè)角B是鈍角，則角B的對(duì)邊b為最大邊，即b>a，b>c，所以>>0，>>0，則>，這與矛盾，故假設(shè)不成立所以角B不可能是鈍角20(13分)(2016·高考全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)cos 2x(1)·(cos x1)，其中>0，記|f(x)|的最大值為A.(1)求f(x)；(2)求A；(3)證明|f(x)|2A.解：(1)f(x)2sin 2x(1)sin x.(2)解：當(dāng)1時(shí)，|f(x)|cos 2x(1)(cos x1)|2(1)32f(0)故A32.當(dāng)0<<1時(shí)，將f(x)變形為f(x)2cos2x(1)cos x1.令g(t)2t2(1)t1，則A是|g(t)|在1,1上的最大值，g(1)，g(1)32，且當(dāng)t時(shí)，g(t)取得極小值，極小值為g1.令1<<1，解得>.當(dāng)0<時(shí)，g(t)在(1,1)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，|g(1)|，|g(1)|23，|g(1)|<|g(1)|，所以A23.當(dāng)<<1時(shí)，由g(1)g(1)2(1)>0，知g(1)>g(1)>g.又|g(1)|>0.所以A.綜上，A(3)證明：由(1)得|f(x)|2sin 2x(1)sin x|2|1|.當(dāng)0<時(shí)，|f(x)|124<2(23)2A.當(dāng)<<1時(shí)，A1，所以|f(x)|1<2A.當(dāng)1時(shí)，|f(x)|31642A.所以|f(x)|2A.21(14分)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足4Sna4n1，nN*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列(1)證明：a2；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有<.解析：(1)證明：當(dāng)n1時(shí)，4a1a5，a4a15，又an>0，a2.(2)當(dāng)n2時(shí)，4Sn1a4(n1)1，4an4Sn4Sn1aa4，即aa4an4(an2)2，又an>0，an1an2，當(dāng)n2時(shí)，an是公差為2的等差數(shù)列又a2，a5，a14成等比數(shù)列aa2·a14，即(a26)2a2·(a224)，解得a23.由(1)知a11.又a2a1312，數(shù)列an是首項(xiàng)a11，公差d2的等差數(shù)列an2n1.(3)證明：<.