2022年高考數學專題復習 第33講 基本不等式練習 新人教A版

2022年高考數學專題復習 第33講 基本不等式練習 新人教A版考情展望1.利用基本不等式求最值、證明不等式.2.利用基本不等式解決實際問題一、基本不等式1基本不等式成立的條件：a0，b0.2等號成立的條件：當且僅當ab時等號成立3其中稱為正數a，b的算術平均數，稱為正數a，b的幾何平均數由公式a2b22ab和可以引申出的常用結論(1)2(a，b同號)；(2)2(a，b異號)；(3) (a0，b0)(或ab2(a0，b0)二、利用基本不等式求最大、最小值問題1如果x，y(0，)，且xyP(定值)那么當xy時，xy有最小值2.(簡記：“積定和最小”)2如果x，y(0，)，且xyS(定值)那么當xy時，xy有最大值.(簡記：“和定積最大”)1函數yx(x0)的值域為()A(，22，)B(0，)C2，) D(2，)【解析】x0，yx22.當且僅當x，即x1時等號成立函數yx(x0)的值域為2，)【答案】C2已知m0，n0，且mn81，則mn的最小值為()A18B36C81D243【解析】m0，n0，mn81，mn2218.當且僅當mn9時等號成立【答案】A3設0x1，則x(33x)取得最大值時，x的值為()A. B. C. D.【解析】0x1，x(33x)3·2，當且僅當x1x，即x時等號成立【答案】B4某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為800元若每批生產x件，則平均倉儲時間為天，且每件產品每天的倉儲費用為1元為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品應為_件【解析】設每件產品的平均費用為y元，由題意得y220.當且僅當(x0)，當且僅當x80時，“”成立【答案】805(xx·福建高考)下列不等式一定成立的是()Alg>lg x(x>0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.>1(xR)【解析】應用基本不等式：x，yR，(當且僅當xy時取等號)逐個分析，注意基本不等式的應用條件及取等號的條件當x>0時，x22·x·x，所以lglg x(x>0)，故選項A不正確；運用基本不等式時需保證一正二定三相等，而當xk，kZ時，sin x的正負不定，故選項B不正確；由基本不等式可知，選項C正確；當x0時，有1，故選項D不正確【答案】C6(xx·四川高考)已知函數f(x)4x(x>0，a>0)在x3時取得最小值，則a_.【解析】f(x)4x24(x>0，a>0)，當且僅當4x，即x時等號成立，此時f(x)取得最小值4.又由已知x3時，f(x)min4，3，即a36.【答案】36考向一 112利用基本不等式求最值(1)(xx·青島模擬)下列命題中正確的是()Ayx的最小值是2By23x(x0)的最大值是24Cysin2x的最小值是4Dy23x(x0)的最小值是24(2)(xx·貴陽模擬)若正數x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A.B.C5D6【思路點撥】(1)借助均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等”逐一判斷(2)將條件變形1，然后注意“1”的代換【嘗試解答】(1)A不正確，如取x1，則y2.B正確，因為y23x22224.當且僅當3x，即x時等號成立C不正確，令sin2xt，則0t1，所以g(t)t，顯然g(t)在(0,1上單調遞減，故g(t)ming(1)145.D不正確，x0，x0y23x224.當且僅當3x，即x時等號成立(2)由x0，y0，且x3y5xy，得1.3x4y(3x4y)2 5，當且僅當x2y1時，等號成立3x4y的最小值為5.【答案】(1)B(2)C規(guī)律方法11.第(1)題的解題關鍵是“逐一驗證均值不等式的適用條件”.第(2)小題求解的關鍵是條件的恰當變形與“1”的代換，常見錯誤是條件與結論分別利用基本不等式，導致錯選A，根本原因忽視等號成立條件.2.利用基本不等式求函數最值時，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”.常用的方法為拆、湊、代換、平方.對點訓練(1)已知x0，y0，且xy1，且的最小值是_(2)設x，y為實數，若x2y2xy1，則xy的最大值是_【解析】(1)x0，y0，xy1，(xy)72774，當且僅當且xy1，即x32，y42時等號成立，的最小值是74.(2)由x2y2xy1，得1(xy)2xy，(xy)21xy1，解得xy，xy的最大值為.【答案】(1)74(2)考向二 113簡單的不等式證明(xx·課標全國卷)設a，b，c均為正數，且abc1，證明：(1)abbcca；(2)1.【思路點撥】(1)將abc1兩邊平方，化簡整理，借助不等式的性質，即得結論(2)證1，也即證abc.可分別證b2a，c2b，a2c，然后相加即得【嘗試解答】(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由題設得(abc)21.即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因為b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.規(guī)律方法21.“1”的代換是解決問題的關鍵，代換變形后能使用基本不等式是代換的前提，不能盲目變形2利用基本不等式證明不等式，關鍵是所證不等式必須是有“和”式或“積”式，通過將“和”式轉化為“積”式或將“積”式轉化為“和”式，達到放縮的效果，必要時，也需要運用“拆、拼、湊”的技巧，同時應注意多次運用基本不等式時等號能否取到考向三 114基本不等式的實際應用(xx·濰坊模擬)如圖641，某廣場要劃定一矩形區(qū)域ABCD，并在該區(qū)域內開辟出三塊形狀大小相同的矩形綠化區(qū)，這三塊綠化區(qū)四周和綠化區(qū)之間設有1米寬的走道。已知三塊綠化區(qū)的總面積為800平方米，求該矩形區(qū)域ABCD占地面積的最小值圖641【思路點撥】設出小矩形的長和寬，建立矩形區(qū)域ABCD的面積S的表達式，借助不等式求最值【嘗試解答】設綠化區(qū)域小矩形的一邊長為x，另一邊長為y，則3xy800，所以y，所以矩形區(qū)域ABCD的面積S(3x4)(y2)(3x4)8006x88082968當且僅當6x，即x時取“”，矩形區(qū)域ABCD的面積的最小值為968平方米規(guī)律方法3解實際應用題要注意以下幾點：(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數；(2)根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最值；(3)在求函數的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解.對點訓練某廠家擬在xx年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用m萬元(m0)滿足x3(k為常數)，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件已知xx年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用)(1)將xx年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；(2)該廠家xx年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？【解】 (1)由題意知，當m0時，x1(萬件)，13k，即k2.x3.又每件產品的銷售價格為1.5×(萬元)xx年的利潤yx(816xm)48xm48m29(m0)(2)m0時，(m1)28.y29821，當且僅當m1，即當m3(萬元)時，ymax21(萬元)所以該廠家xx年的促銷費用投入為3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元思想方法之十六消元思想在基本不等式求最值中的巧用所謂消元思想就是將未知數的個數由多化少，逐一解決的思想方法由于應用基本不等式“”求最值時需滿足三個條件(一正、二定、三相等)，且只限于“二元”范疇之內，故對于多元求最值問題可采用消元思想，轉化為“二元”問題1個示范例1個對點練(xx·山東高考)設正實數x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當取得最大值時，的最大值為()A0B1C.D3【解析】含三個參數x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值zx23xy4y2(x0，y0，z0)，1.當且僅當，即x2y時等號成立，此時zx23xy4y24y26y24y22y2，21，當y1時，的最大值為1.設x，y，z為正實數，滿足x2y3z0，則的最小值是_【解析】由x2y3z0可得y所以23當且僅當x3z時取“”【答案】3