2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第33講 基本不等式練習(xí) 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第33講 基本不等式練習(xí) 新人教A版考情展望1.利用基本不等式求最值、證明不等式.2.利用基本不等式解決實際問題一、基本不等式1基本不等式成立的條件：a0，b0.2等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立3其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)由公式a2b22ab和可以引申出的常用結(jié)論(1)2(a，b同號)；(2)2(a，b異號)；(3) (a0，b0)(或ab2(a0，b0)二、利用基本不等式求最大、最小值問題1如果x，y(0，)，且xyP(定值)那么當(dāng)xy時，xy有最小值2.(簡記：“積定和最小”)2如果x，y(0，)，且xyS(定值)那么當(dāng)x

2、y時，xy有最大值.(簡記：“和定積最大”)1函數(shù)yx(x0)的值域為()A(，22，)B(0，)C2，) D(2，)【解析】x0，yx22.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時等號成立函數(shù)yx(x0)的值域為2，)【答案】C2已知m0，n0，且mn81，則mn的最小值為()A18B36C81D243【解析】m0，n0，mn81，mn2218.當(dāng)且僅當(dāng)mn9時等號成立【答案】A3設(shè)0x1，則x(33x)取得最大值時，x的值為()A. B. C. D.【解析】0x1，x(33x)32，當(dāng)且僅當(dāng)x1x，即x時等號成立【答案】B4某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用為800元若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天

3、，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品應(yīng)為_件【解析】設(shè)每件產(chǎn)品的平均費用為y元，由題意得y220.當(dāng)且僅當(dāng)(x0)，當(dāng)且僅當(dāng)x80時，“”成立【答案】805(xx福建高考)下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)【解析】應(yīng)用基本不等式：x，yR，(當(dāng)且僅當(dāng)xy時取等號)逐個分析，注意基本不等式的應(yīng)用條件及取等號的條件當(dāng)x0時，x22xx，所以lglg x(x0)，故選項A不正確；運用基本不等式時需保證一正二定三相等，而當(dāng)xk，kZ時，sin x的正負(fù)不定，故選

4、項B不正確；由基本不等式可知，選項C正確；當(dāng)x0時，有1，故選項D不正確【答案】C6(xx四川高考)已知函數(shù)f(x)4x(x0，a0)在x3時取得最小值，則a_.【解析】f(x)4x24(x0，a0)，當(dāng)且僅當(dāng)4x，即x時等號成立，此時f(x)取得最小值4.又由已知x3時，f(x)min4，3，即a36.【答案】36考向一 112利用基本不等式求最值(1)(xx青島模擬)下列命題中正確的是()Ayx的最小值是2By23x(x0)的最大值是24Cysin2x的最小值是4Dy23x(x0)的最小值是24(2)(xx貴陽模擬)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A.B.C5D6【思

5、路點撥】(1)借助均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等”逐一判斷(2)將條件變形1，然后注意“1”的代換【嘗試解答】(1)A不正確，如取x1，則y2.B正確，因為y23x22224.當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x時等號成立C不正確，令sin2xt，則0t1，所以g(t)t，顯然g(t)在(0,1上單調(diào)遞減，故g(t)ming(1)145.D不正確，x0，x0y23x224.當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x時等號成立(2)由x0，y0，且x3y5xy，得1.3x4y(3x4y)2 5，當(dāng)且僅當(dāng)x2y1時，等號成立3x4y的最小值為5.【答案】(1)B(2)C規(guī)律方法11.第(1)題的解題關(guān)鍵是“逐一驗證均值不等式的適

6、用條件”.第(2)小題求解的關(guān)鍵是條件的恰當(dāng)變形與“1”的代換，常見錯誤是條件與結(jié)論分別利用基本不等式，導(dǎo)致錯選A，根本原因忽視等號成立條件.2.利用基本不等式求函數(shù)最值時，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”.常用的方法為拆、湊、代換、平方.對點訓(xùn)練(1)已知x0，y0，且xy1，且的最小值是_(2)設(shè)x，y為實數(shù)，若x2y2xy1，則xy的最大值是_【解析】(1)x0，y0，xy1，(xy)72774，當(dāng)且僅當(dāng)且xy1，即x32，y42時等號成立，的最小值是74.(2)由x2y2xy1，得1(xy)2xy，(xy)21xy1，解得xy，xy的最大值為.【答案】(1)74(2)

7、考向二 113簡單的不等式證明(xx課標(biāo)全國卷)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcca；(2)1.【思路點撥】(1)將abc1兩邊平方，化簡整理，借助不等式的性質(zhì)，即得結(jié)論(2)證1，也即證abc.可分別證b2a，c2b，a2c，然后相加即得【嘗試解答】(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21.即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因為b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.規(guī)律方法21.“1”的代換是解決問題的關(guān)鍵，代換變形后能使用基

8、本不等式是代換的前提，不能盲目變形2利用基本不等式證明不等式，關(guān)鍵是所證不等式必須是有“和”式或“積”式，通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，達(dá)到放縮的效果，必要時，也需要運用“拆、拼、湊”的技巧，同時應(yīng)注意多次運用基本不等式時等號能否取到考向三 114基本不等式的實際應(yīng)用(xx濰坊模擬)如圖641，某廣場要劃定一矩形區(qū)域ABCD，并在該區(qū)域內(nèi)開辟出三塊形狀大小相同的矩形綠化區(qū)，這三塊綠化區(qū)四周和綠化區(qū)之間設(shè)有1米寬的走道。已知三塊綠化區(qū)的總面積為800平方米，求該矩形區(qū)域ABCD占地面積的最小值圖641【思路點撥】設(shè)出小矩形的長和寬，建立矩形區(qū)域ABCD的面積S的表達(dá)式，

9、借助不等式求最值【嘗試解答】設(shè)綠化區(qū)域小矩形的一邊長為x，另一邊長為y，則3xy800，所以y，所以矩形區(qū)域ABCD的面積S(3x4)(y2)(3x4)8006x88082968當(dāng)且僅當(dāng)6x，即x時取“”，矩形區(qū)域ABCD的面積的最小值為968平方米規(guī)律方法3解實際應(yīng)用題要注意以下幾點：(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.對點訓(xùn)練某廠家擬在xx年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷

10、費用m萬元(m0)滿足x3(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件已知xx年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用)(1)將xx年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家xx年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？【解】 (1)由題意知，當(dāng)m0時，x1(萬件)，13k，即k2.x3.又每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5(萬元)xx年的利潤yx(816xm)48xm48m29(m0)(2)m0時，(m1)28.y298

11、21，當(dāng)且僅當(dāng)m1，即當(dāng)m3(萬元)時，ymax21(萬元)所以該廠家xx年的促銷費用投入為3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元思想方法之十六消元思想在基本不等式求最值中的巧用所謂消元思想就是將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的思想方法由于應(yīng)用基本不等式“”求最值時需滿足三個條件(一正、二定、三相等)，且只限于“二元”范疇之內(nèi)，故對于多元求最值問題可采用消元思想，轉(zhuǎn)化為“二元”問題1個示范例1個對點練(xx山東高考)設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為()A0B1C.D3【解析】含三個參數(shù)x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值zx23xy4y2(x0，y0，z0)，1.當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y時等號成立，此時zx23xy4y24y26y24y22y2，21，當(dāng)y1時，的最大值為1.設(shè)x，y，z為正實數(shù)，滿足x2y3z0，則的最小值是_【解析】由x2y3z0可得y所以23當(dāng)且僅當(dāng)x3z時取“”【答案】3