（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 5 第5講 數(shù)列的綜合應(yīng)用教學(xué)案

第5講數(shù)列的綜合應(yīng)用等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題 (2018·高考浙江卷)已知等比數(shù)列an的公比q>1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中項(xiàng)數(shù)列bn滿足b11，數(shù)列(bn1bn)an的前n項(xiàng)和為2n2n.(1)求q的值；(2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式【解】(1)由a42是a3，a5的等差中項(xiàng)得a3a52a44，所以a3a4a53a4428，解得a48.由a3a520得820，解得q2或q，因?yàn)閝>1，所以q2.(2)設(shè)cn(bn1bn)an，數(shù)列cn前n項(xiàng)和為Sn.由cn解得cn4n1.由(1)可知an2n1，所以bn1bn(4n1)·，故bnbn1(4n5)·，n2，bnb1(bnbn1)·(bn1bn2)(b3b2)(b2b1)(4n5)·(4n9)·7·3.設(shè)Tn37·11·(4n5)·，n2，Tn3·7·(4n9)·(4n5)·，所以Tn34·4·4·(4n5)·，因此Tn14(4n3)·，n2，又b11，所以bn15(4n3)·.解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來(lái)單獨(dú)研究；如果兩個(gè)數(shù)列通過(guò)運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開弄清兩個(gè)數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an3Sn4，bnlog2an1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式與數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn，其中nN*，若數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解：(1)由a13a14，得a11，由an3Sn4，知an13Sn14，兩式相減并化簡(jiǎn)得an1an，所以an.bnlog2an1log22n.(2)由題意知，cn.令Hn，則Hn，得，Hn1.所以Hn2.又Mn11，所以TnHnMn2.數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題 (2020·杭州學(xué)軍中學(xué)高三模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan2(nN*)，數(shù)列bn滿足bn2nan.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cnlog2，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足Tn<(nN*)的n的最大值【解】(1)在Snan2中，令n1，可得a1S1a112，a1.當(dāng)n2時(shí)，Sn1an12，所以anSnSn1anan1.即2anan1，2nan2n1an11.而bn2nan，所以bnbn11.即當(dāng)n2時(shí)，bnbn11.又b12a11，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列于是bn1(n1)×1n，所以an.(2)因?yàn)閏nlog2log22nn，所以.Tn()1，由Tn<，得1<，即>.又f(n)單調(diào)遞減，f(4)，f(5)，所以n的最大值為4. (1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題此類問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題解決此類問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形另外，解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解 (2020·杭州五校聯(lián)考)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知函數(shù)f(x)，且f(a22)sin ，f(a2 0162)cos ，求S2 017.解：因?yàn)閒(x)，f(x)，所以f(x)f(x)0，即f(x)f(x)而f(x)1，所以f(x)是R上的增函數(shù)又f(a22)sin sinsin ，f(a2 0162)cos coscos ，所以f(a22)f(a2 0162)f(2a2 016)，所以a222a2 016，所以a2a2 0164.所以S2 0174 034. 數(shù)列不等式的證明(高頻考點(diǎn))證明數(shù)列不等式是浙江高考的熱點(diǎn)，一般難度較大主要命題角度有：(1)用構(gòu)造數(shù)列法和數(shù)列的單調(diào)性證明數(shù)列不等式；(2)用比較法證明數(shù)列不等式；(3)證明與數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式；(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式角度一用構(gòu)造數(shù)列法和數(shù)列的單調(diào)性證明數(shù)列不等式 (1)對(duì)任意自然數(shù)n，求證(11)(1).(2)若n2，nN*，證明不等式12.【證明】(1)構(gòu)造數(shù)列an(11)(1)，則1.所以ana11，即(11).(2)設(shè)an，則an1an0.所以an是單調(diào)遞減數(shù)列，所以anan1an2a2a10.所以0.所以12.角度二用比較法證明數(shù)列不等式 已知數(shù)列an是正數(shù)組成的數(shù)列，a11，且點(diǎn)(，an1)(nN*)在函數(shù)yx21的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足b11，bn1bn2an，求證：bn·bn2b.【解】(1)由已知得an1an1，即an1an1，又a11，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列故an1(n1)×1n.(2)證明：法一：由(1)知ann，從而bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2212n1.因?yàn)閎n·bn2b(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n22·2n11)2n0，所以bn·bn2b.法二：因?yàn)閎11，bn·bn2b(bn12n)(bn12n1)b2n1·bn12n·bn12n·2n12n(bn12n1)2n2n2n2n0，所以bn·bn2b.角度三證明與數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式 正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：S(n2n1)·Sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式an；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的nN*，都有Tn<.【解】(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于數(shù)列an是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn>0，Snn2n.于是a1S12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上可知，數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n.(2)證明：由于an2n，bn，則bn.Tn<.角度四用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式 (2019·高考浙江卷)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a34，a4S3.數(shù)列bn滿足：對(duì)每個(gè)nN*，Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)記cn，nN*，證明：c1c2cn<2，nN*.【解】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，由題意得a12d4，a13d3a13d，解得a10，d2.從而an2n2，nN*.所以Snn2n，nN*.由Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比數(shù)列得(Sn1bn)2(Snbn)(Sn2bn)解得bn(SSnSn2)所以bnn2n，nN*.(2)證明：cn，nN*.我們用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，c10<2，不等式成立；假設(shè)nk(kN*)時(shí)不等式成立，即c1c2ck<2，那么，當(dāng)nk1時(shí)，c1c2ckck1<2<2<222()2，即當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立根據(jù)和知，不等式c1c2cn<2對(duì)任意nN*成立證明數(shù)列不等式常用的四種方法(1)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證明(2)若待證不等式的兩邊均為關(guān)于n的整式多項(xiàng)式，常用作差比較法證明數(shù)列不等式(3)與數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式的證明方法主要有兩種：一是若數(shù)列的通項(xiàng)能夠直接求和，則先求和后，再根據(jù)和的性質(zhì)證明不等式；二是若數(shù)列的通項(xiàng)不能夠直接求和，則先放縮后再求和證明(4)當(dāng)待證不等式隨n的變化呈現(xiàn)的規(guī)律較明顯，且初始值n0易于確定時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明 (2020·浙江名校聯(lián)考)數(shù)列an中，a12，an1an(nN*)(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，若數(shù)列bn的前n項(xiàng)和是Tn，求證：Tn<2.解：(1)由題設(shè)得·，又2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，所以2×22n，ann·22n.(2)證明：bn，因?yàn)閷?duì)任意nN*，2n12n1，所以bn.所以Tn12<2.數(shù)列中的交匯創(chuàng)新問(wèn)題 (1)(2020·義烏模擬)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，定義an的“優(yōu)值”為Hn，現(xiàn)已知an的“優(yōu)值”Hn2n，則Sn_(2)(2020·溫州七校聯(lián)考)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1 a2 3，a3a2 2，等差數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且b35，S416.求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)P1(a1，0)，P2(a2，0)，Pn(an，0)，Pn1(an1，0)，Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)，Qn(an，bn)，若記PnQnPn1的面積為cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.【解】(1)由Hn2n，得a12a22n1ann·2n，當(dāng)n2時(shí)，a12a22n2an1(n1)2n1，由得2n1ann·2n(n1)2n1(n1)2n1，即ann1(n2)，當(dāng)n1時(shí)，a12也滿足式子ann1，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann1，所以Sn.(2)設(shè)數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍1a23，a3a22，所以得3q25q20，又q>0，所以q2，a11，則an2n1.設(shè)數(shù)列bn的公差為d，因?yàn)閎35，S416，所以解得則bn2n1.由得PnPn1an1an2n2n12n1，PnQnbn2n1，故cnSPnQnPn1(2n1)2n2，則Tnc1c2c3cn×11×32×5(2n1)2n2, i2Tn1×12×34×5(2n1)2n1, ii由 i ii得，Tn2(122n2)(2n1)·2n1(2n1)2n1(32n)2n1，故Tn(2n3)2n1(nN*)數(shù)列中的創(chuàng)新問(wèn)題的解法(1)新定義問(wèn)題數(shù)列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路閱讀審清“新定義”；結(jié)合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，化歸、轉(zhuǎn)化到“新定義”的相關(guān)知識(shí)；利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識(shí)，求解證明相關(guān)結(jié)論(2)新情境問(wèn)題數(shù)列中新情境問(wèn)題的求解關(guān)鍵：一是觀察新情境的特征；二是會(huì)轉(zhuǎn)化；三是活用數(shù)列求和的方法 1在數(shù)列an中，nN*，若k(k為常數(shù))，則稱an為“等差比數(shù)列”，下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷：k不可能為0；等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；“等差比數(shù)列”中可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為0.其中所有正確判斷的序號(hào)是_解析：由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；當(dāng)an是等比數(shù)列，且公比q1時(shí)，an不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；數(shù)列0，1，0，1，是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無(wú)數(shù)多個(gè)0，所以正確答案：2已知函數(shù)f(x)2sin(x)(0，|)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)(1)求，的值；(2)設(shè)annf(nN*)，求數(shù)列an的前30項(xiàng)和S30.解：(1)由題可得2k，kZ，2k，kZ，解得2，2k，kZ，因?yàn)閨，所以.(2)因?yàn)閍n2nsin(nN*)，數(shù)列(nN*)的周期為3，前三項(xiàng)依次為0，所以a3n2a3n1a3n(3n2)×0(3n1)×3n×()(nN*)，所以S30(a1a2a3)(a28a29a30)10.基礎(chǔ)題組練1(2020·杭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))正項(xiàng)等比數(shù)列an中的a1，a4 035是函數(shù)f(x)x34x26x3的極值點(diǎn)，則loga2 018()A1 B2C. D1解析：選A.因?yàn)閒(x)x28x6，且a1，a4 035是方程x28x60的兩根，所以a1·a4 035a6，即a2 018，所以loga2 0181，故選A.2已知數(shù)列an滿足：a11，an1(nN*)若bn1(n2)·(nN*)，b1，且數(shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A< B<1C< D<解析：選A.因?yàn)閍n1，所以1，即122，所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為12，公比為2，所以12n，所以bn1(n2)(n2)·2n，因?yàn)閿?shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列，所以bn1>bn，所以(n2)·2n>(n12)·2n1，解得<1，又由b2>b1，b1，b2(12)·2，解得<，所以的取值范圍是<.故選A.3在等比數(shù)列an中，若an>0，且a1·a2··a7·a816，則a4a5的最小值為_解析：由等比數(shù)列性質(zhì)得，a1a2a7a8(a4a5)416，又an>0，所以a4a52.再由基本不等式，得a4a522.所以a4a5的最小值為2.答案：24(2020·寧波市余姚中學(xué)高三期中)已知數(shù)列an滿足a12，an1a6an6(nN*)(1)設(shè)Cnlog5(an3)，求證Cn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn<.解：(1)證明：由an1a6an6得an13(an3)2，所以log5(an13)2log5(an3)，即Cn12Cn，所以Cn是以2為公比的等比數(shù)列(2)又C1log551，所以Cn2n1，即log5(an3)2n1，所以an352n1，故an52n13.(3)證明：因?yàn)閎n，所以Tn.又0<，所以Tn<.5已知數(shù)列an滿足a1且an1ana(nN*)(1)證明：1<2(nN*)；(2)設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn，證明：<(nN*)證明：(1)由題意得an1ana<0，即an1<an，故an.由an(1an1)an1得an(1an1)(1an2)(1a1)a1>0.由0<an得(1，2，所以1<2.(2)由題意得aanan1，所以Sna1an1.由和1<2得1<2，所以n<2n，因此an1<(nN*)由得<(nN*)6設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1(0，1)，an，n2，3，4，.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnan，證明bnbn1，其中n為正整數(shù)解：(1)由an，n2，3，4，整理得1an(1an1)又1a10，所以數(shù)列1an是首項(xiàng)為1a1，公比為的等比數(shù)列，故an1(1a1)(n2，3，4，)(2)證明：由(1)可知an0，故bn0.所以bba(32an1)a(32an)a(32an)(an1)2.又由(1)知an0且an1，故bb0，因此bnbn1(n為正整數(shù))7(2020·寧波高考模擬)已知數(shù)列an中，a14，an1，nN*，Sn為an的前n項(xiàng)和(1)求證：nN*時(shí)，an>an1；(2)求證：nN*時(shí)，2Sn2n<.證明：(1)n2時(shí)，作差：an1an×，所以an1an與anan1同號(hào)，由a14，可得a2，可得a2a1<0，所以nN*時(shí)，an>an1.(2)因?yàn)?a6an，所以2(a4)an2，即2(an12)(an12)an2，所以an12與an2同號(hào)，又因?yàn)閍122>0，所以an>2.所以Sna1a2an42(n1)2n2.所以Sn2n2.由可得：<，因此an2(a12)·，即an22×.所以Sna1a2an2n2×<2n.綜上可得：nN*時(shí)，2Sn2n<.8(2020·金華模擬)已知數(shù)列an滿足a1，an1an2an11(nN*)，令bnan1.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn，求證：c1c2cn<n.解：(1)因?yàn)閍n1an2an11(nN*)，bnan1，即anbn1.所以(bn11)(bn1)2(bn11)1，化為：1，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1.所以2(n1)1n，所以bn.(2)證明：由(1)可得：anbn11.所以cn1，因?yàn)閚2時(shí)，2n22n11，所以<，所以c1c2cn<nn<n.綜合題組練1設(shè)數(shù)列an滿足1，nN*.(1)證明：|an|2n1(|a1|2)，nN*；(2)若|an|，nN*，證明：|an|2，nN*.證明：(1)由1，得|an|an1|1，故，nN*，所以1，因此|an|2n1(|a1|2)，nN*.(2)任取nN*，由(1)知，對(duì)于任意mn，故|an|·2n·2n2·2n.從而對(duì)于任意mn，均有|an|2·2n.由m的任意性得|an|2.否則，存在n0N*，有|an0|2，取正整數(shù)m0log且m0n0，則2n0·2n0·|an0|2，與式矛盾，綜上，對(duì)于任意nN*，均有|an|2.2(2020·臺(tái)州市高考模擬)已知數(shù)列an滿足：an0，an12(nN*)(1)求證：an2an12(nN*)；(2)求證：an1(nN*)證明：(1)由an0，an12，所以an122，因?yàn)?an22，所以an2an12.(2)假設(shè)存在aN1(N1，NN*)，由(1)可得當(dāng)nN時(shí)，anaN11，根據(jù)an1110，而an1，所以1.于是1，1.累加可得n1(*)，由(1)可得aNn10，而當(dāng)n1時(shí)，顯然有n10，因此有n1，這顯然與(*)矛盾，所以an1(nN*)3(2020·杭州市學(xué)軍中學(xué)高考模擬)已知函數(shù)fn(x)xn(1x)2在(，1)上的最大值為an(n1，2，3，)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：對(duì)任何正整數(shù)n(n2)，都有an成立；(3)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有Sn成立解：(1)因?yàn)閒n(x)xn(1x)2，所以fn(x)nxn1(1x)22xn(1x)xn1(1x)n(1x)2x(n2)xn1(x1)(x)，當(dāng)x(，1)時(shí)，由fn(x)0，知：x，因?yàn)閚1，所以(，1)，因?yàn)閤(，)時(shí)，fn(x)0；x(，1)時(shí)，fn(x)0；所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增，在(，1)上單調(diào)遞減所以fn(x)在x處取得最大值，即an.(2)證明：當(dāng)n2時(shí)，欲證，只需證明4，因?yàn)镃CCC·12·1214，所以當(dāng)n2時(shí)，都有an成立(3)證明：Sna1a2an()()()().所以對(duì)任意正整數(shù)n，都有Sn成立4(2020·紹興一中期末檢測(cè))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，且a11.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bnln an，是否存在k(k2，kN*)，使得bk，bk1，bk2成等比數(shù)列若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知當(dāng)nN*且n6時(shí)，<，其中m1，2，n，求滿足等式3n4n(n2)n(an3)an的所有n的值解：(1)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，所以(n2)所以an×××××a1×××××1n.因?yàn)閍11，也符合上式所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann(nN*)(2)假設(shè)存在k(k2，kN*)，使得bk，bk1，bk2成等比數(shù)列，則bk·bk2b.因?yàn)閎nln anln n(n2)，所以bk·bk2ln k·ln(k2)<<ln(k1)2b.這與bk·bk2b矛盾所以不存在k(k2，kN*)，使得bk，bk1，bk2成等比數(shù)列(3)由(1)得等式3n4n(n2)n(an3)an，可化為3n4n(n2)n(n3)n，即1，所以1.因?yàn)楫?dāng)n6時(shí)，<，所以<，<，<，所以<1<1.所以當(dāng)n6時(shí)，3n4n(n2)n<(n3)n，當(dāng)n1，2，3，4，5時(shí)，經(jīng)驗(yàn)算n2，3時(shí)等號(hào)成立，所以滿足等式3n4n(n2)n(an3)an的所有n2，3.19