（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第六章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 5 第5講 數(shù)列的綜合應用教學案

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1、第5講數(shù)列的綜合應用等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題 (2018高考浙江卷)已知等比數(shù)列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中項數(shù)列bn滿足b11，數(shù)列(bn1bn)an的前n項和為2n2n.(1)求q的值；(2)求數(shù)列bn的通項公式【解】(1)由a42是a3，a5的等差中項得a3a52a44，所以a3a4a53a4428，解得a48.由a3a520得820，解得q2或q，因為q1，所以q2.(2)設cn(bn1bn)an，數(shù)列cn前n項和為Sn.由cn解得cn4n1.由(1)可知an2n1，所以bn1bn(4n1)，故bnbn1(4n5)，n2，bnb1(bnbn1)(b

2、n1bn2)(b3b2)(b2b1)(4n5)(4n9)73.設Tn3711(4n5)，n2，Tn37(4n9)(4n5)，所以Tn3444(4n5)，因此Tn14(4n3)，n2，又b11，所以bn15(4n3).解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關鍵是理清兩個數(shù)列的關系如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項抽出來單獨研究；如果兩個數(shù)列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數(shù)列分割開弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進行求解 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若an3Sn4，bnlog2an1.(1)求數(shù)列an的通項公式與數(shù)列bn的通項公式；(2)令cn，其

3、中nN*，若數(shù)列cn的前n項和為Tn，求Tn.解：(1)由a13a14，得a11，由an3Sn4，知an13Sn14，兩式相減并化簡得an1an，所以an.bnlog2an1log22n.(2)由題意知，cn.令Hn，則Hn，得，Hn1.所以Hn2.又Mn11，所以TnHnMn2.數(shù)列與函數(shù)的綜合問題 (2020杭州學軍中學高三模擬)已知數(shù)列an的前n項和Snan2(nN*)，數(shù)列bn滿足bn2nan.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；(2)設cnlog2，數(shù)列的前n項和為Tn，求滿足Tn(nN*)的n的最大值【解】(1)在Snan2中，令n1，可得a1S1a112，a1

4、.當n2時，Sn1an12，所以anSnSn1anan1.即2anan1，2nan2n1an11.而bn2nan，所以bnbn11.即當n2時，bnbn11.又b12a11，所以數(shù)列bn是首項和公差均為1的等差數(shù)列于是bn1(n1)1n，所以an.(2)因為cnlog2log22nn，所以.Tn()1，由Tn，得1.又f(n)單調(diào)遞減，f(4)，f(5)，所以n的最大值為4. (1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形另外，解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運

5、用函數(shù)的思想方法求解 (2020杭州五校聯(lián)考)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知函數(shù)f(x)，且f(a22)sin ，f(a2 0162)cos ，求S2 017.解：因為f(x)，f(x)，所以f(x)f(x)0，即f(x)f(x)而f(x)1，所以f(x)是R上的增函數(shù)又f(a22)sin sinsin ，f(a2 0162)cos coscos ，所以f(a22)f(a2 0162)f(2a2 016)，所以a222a2 016，所以a2a2 0164.所以S2 0174 034. 數(shù)列不等式的證明(高頻考點)證明數(shù)列不等式是浙江高考的熱點，一般難度較大主要命題角度有：(1)用構造數(shù)列法

6、和數(shù)列的單調(diào)性證明數(shù)列不等式；(2)用比較法證明數(shù)列不等式；(3)證明與數(shù)列前n項和有關的不等式；(4)用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式角度一用構造數(shù)列法和數(shù)列的單調(diào)性證明數(shù)列不等式 (1)對任意自然數(shù)n，求證(11)(1).(2)若n2，nN*，證明不等式12.【證明】(1)構造數(shù)列an(11)(1)，則1.所以ana11，即(11).(2)設an，則an1an0.所以an是單調(diào)遞減數(shù)列，所以anan1an2a2a10.所以0.所以12.角度二用比較法證明數(shù)列不等式 已知數(shù)列an是正數(shù)組成的數(shù)列，a11，且點(，an1)(nN*)在函數(shù)yx21的圖象上(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿

7、足b11，bn1bn2an，求證：bnbn2b.【解】(1)由已知得an1an1，即an1an1，又a11，所以數(shù)列an是首項為1，公差為1的等差數(shù)列故an1(n1)1n.(2)證明：法一：由(1)知ann，從而bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2212n1.因為bnbn2b(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)2n0，所以bnbn2b.法二：因為b11，bnbn2b(bn12n)(bn12n1)b2n1bn12nbn12n2n12n(bn12n1)2n2n2n2n0，所以bnbn2b.角度三證明與數(shù)列前n項

8、和有關的不等式 正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an 的通項公式an；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，證明：對于任意的nN*，都有Tn0，Snn2n.于是a1S12，當n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上可知，數(shù)列an的通項公式an2n.(2)證明：由于an2n，bn，則bn.Tn.角度四用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式 (2019高考浙江卷)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a34，a4S3.數(shù)列bn滿足：對每個nN*，Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)記cn，nN*，證明：c1c

9、2cn2，nN*.【解】(1)設數(shù)列an的公差為d，由題意得a12d4，a13d3a13d，解得a10，d2.從而an2n2，nN*.所以Snn2n，nN*.由Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比數(shù)列得(Sn1bn)2(Snbn)(Sn2bn)解得bn(SSnSn2)所以bnn2n，nN*.(2)證明：cn，nN*.我們用數(shù)學歸納法證明當n1時，c102，不等式成立；假設nk(kN*)時不等式成立，即c1c2ck2，那么，當nk1時，c1c2ckck122222()2，即當nk1時不等式也成立根據(jù)和知，不等式c1c2cn2對任意nN*成立證明數(shù)列不等式常用的四種方法(1)構造函數(shù)，結合數(shù)列的

10、單調(diào)性證明(2)若待證不等式的兩邊均為關于n的整式多項式，常用作差比較法證明數(shù)列不等式(3)與數(shù)列前n項和有關的不等式的證明方法主要有兩種：一是若數(shù)列的通項能夠直接求和，則先求和后，再根據(jù)和的性質(zhì)證明不等式；二是若數(shù)列的通項不能夠直接求和，則先放縮后再求和證明(4)當待證不等式隨n的變化呈現(xiàn)的規(guī)律較明顯，且初始值n0易于確定時，用數(shù)學歸納法證明 (2020浙江名校聯(lián)考)數(shù)列an中，a12，an1an(nN*)(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；(2)設bn，若數(shù)列bn的前n項和是Tn，求證：Tn2.解：(1)由題設得，又2，所以數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，所以222n，a

11、nn22n.(2)證明：bn，因為對任意nN*，2n12n1，所以bn.所以Tn120，所以q2，a11，則an2n1.設數(shù)列bn的公差為d，因為b35，S416，所以解得則bn2n1.由得PnPn1an1an2n2n12n1，PnQnbn2n1，故cnSPnQnPn1(2n1)2n2，則Tnc1c2c3cn11325(2n1)2n2, i2Tn112345(2n1)2n1, ii由 i ii得，Tn2(122n2)(2n1)2n1(2n1)2n1(32n)2n1，故Tn(2n3)2n1(nN*)數(shù)列中的創(chuàng)新問題的解法(1)新定義問題數(shù)列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路閱讀審清“新定義”；結合常規(guī)

12、的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關知識，化歸、轉化到“新定義”的相關知識；利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識，求解證明相關結論(2)新情境問題數(shù)列中新情境問題的求解關鍵：一是觀察新情境的特征；二是會轉化；三是活用數(shù)列求和的方法 1在數(shù)列an中，nN*，若k(k為常數(shù))，則稱an為“等差比數(shù)列”，下列是對“等差比數(shù)列”的判斷：k不可能為0；等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為0.其中所有正確判斷的序號是_解析：由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以正確，當?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以錯誤；當an是等比數(shù)列，且公比

13、q1時，an不是等差比數(shù)列，所以錯誤；數(shù)列0，1，0，1，是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個0，所以正確答案：2已知函數(shù)f(x)2sin(x)(0，|)的圖象經(jīng)過點，且在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)(1)求，的值；(2)設annf(nN*)，求數(shù)列an的前30項和S30.解：(1)由題可得2k，kZ，2k，kZ，解得2，2k，kZ，因為|，所以.(2)因為an2nsin(nN*)，數(shù)列(nN*)的周期為3，前三項依次為0，所以a3n2a3n1a3n(3n2)0(3n1)3n()(nN*)，所以S30(a1a2a3)(a28a29a30)10.基礎題組練1(2020杭州第一次質(zhì)量預測)正項等比數(shù)列an中的a1

14、，a4 035是函數(shù)f(x)x34x26x3的極值點，則loga2 018()A1 B2C. D1解析：選A.因為f(x)x28x6，且a1，a4 035是方程x28x60的兩根，所以a1a4 035a6，即a2 018，所以loga2 0181，故選A.2已知數(shù)列an滿足：a11，an1(nN*)若bn1(n2)(nN*)，b1，且數(shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是()A B1C Dbn，所以(n2)2n(n12)2n1，解得b1，b1，b2(12)2，解得，所以的取值范圍是0，且a1a2a7a816，則a4a5的最小值為_解析：由等比數(shù)列性質(zhì)得，a1a2a7a8(a4a5)416，

15、又an0，所以a4a52.再由基本不等式，得a4a522.所以a4a5的最小值為2.答案：24(2020寧波市余姚中學高三期中)已知數(shù)列an滿足a12，an1a6an6(nN*)(1)設Cnlog5(an3)，求證Cn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)設bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：Tn.解：(1)證明：由an1a6an6得an13(an3)2，所以log5(an13)2log5(an3)，即Cn12Cn，所以Cn是以2為公比的等比數(shù)列(2)又C1log551，所以Cn2n1，即log5(an3)2n1，所以an352n1，故an52n13.(3)證明：因為bn，所以Tn.

16、又0，所以Tn.5已知數(shù)列an滿足a1且an1ana(nN*)(1)證明：12(nN*)；(2)設數(shù)列a的前n項和為Sn，證明：(nN*)證明：(1)由題意得an1ana0，即an10.由0an得(1，2，所以12.(2)由題意得aanan1，所以Sna1an1.由和12得12，所以n2n，因此an1(nN*)由得an1；(2)求證：nN*時，2Sn2n.證明：(1)n2時，作差：an1an，所以an1an與anan1同號，由a14，可得a2，可得a2a1an1.(2)因為2a6an，所以2(a4)an2，即2(an12)(an12)an2，所以an12與an2同號，又因為a1220，所以an

17、2.所以Sna1a2an42(n1)2n2.所以Sn2n2.由可得：，因此an2(a12)，即an22.所以Sna1a2an2n22n.綜上可得：nN*時，2Sn2n.8(2020金華模擬)已知數(shù)列an滿足a1，an1an2an11(nN*)，令bnan1.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)令cn，求證：c1c2cnn.解：(1)因為an1an2an11(nN*)，bnan1，即anbn1.所以(bn11)(bn1)2(bn11)1，化為：1，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項為2，公差為1.所以2(n1)1n，所以bn.(2)證明：由(1)可得：anbn11.所以cn1，因為n2時，2n22n11，所

18、以，所以c1c2cnnnn.綜合題組練1設數(shù)列an滿足1，nN*.(1)證明：|an|2n1(|a1|2)，nN*；(2)若|an|，nN*，證明：|an|2，nN*.證明：(1)由1，得|an|an1|1，故，nN*，所以1，因此|an|2n1(|a1|2)，nN*.(2)任取nN*，由(1)知，對于任意mn，故|an|2n2n22n.從而對于任意mn，均有|an|22n.由m的任意性得|an|2.否則，存在n0N*，有|an0|2，取正整數(shù)m0log且m0n0，則2n02n0|an0|2，與式矛盾，綜上，對于任意nN*，均有|an|2.2(2020臺州市高考模擬)已知數(shù)列an滿足：an0，

19、an12(nN*)(1)求證：an2an12(nN*)；(2)求證：an1(nN*)證明：(1)由an0，an12，所以an122，因為2an22，所以an2an12.(2)假設存在aN1(N1，NN*)，由(1)可得當nN時，anaN11，根據(jù)an1110，而an1，所以1.于是1，1.累加可得n1(*)，由(1)可得aNn10，而當n1時，顯然有n10，因此有n1，這顯然與(*)矛盾，所以an1(nN*)3(2020杭州市學軍中學高考模擬)已知函數(shù)fn(x)xn(1x)2在(，1)上的最大值為an(n1，2，3，)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：對任何正整數(shù)n(n2)，都有an成立

20、；(3)設數(shù)列an的前n項和為Sn，求證：對任意正整數(shù)n，都有Sn成立解：(1)因為fn(x)xn(1x)2，所以fn(x)nxn1(1x)22xn(1x)xn1(1x)n(1x)2x(n2)xn1(x1)(x)，當x(，1)時，由fn(x)0，知：x，因為n1，所以(，1)，因為x(，)時，fn(x)0；x(，1)時，fn(x)0；所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增，在(，1)上單調(diào)遞減所以fn(x)在x處取得最大值，即an.(2)證明：當n2時，欲證，只需證明4，因為CCCC121214，所以當n2時，都有an成立(3)證明：Sna1a2an()()()().所以對任意正整數(shù)n，都有Sn成立4

21、(2020紹興一中期末檢測)已知數(shù)列an的前n項和Sn，且a11.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bnln an，是否存在k(k2，kN*)，使得bk，bk1，bk2成等比數(shù)列若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請說明理由；(3)已知當nN*且n6時，其中m1，2，n，求滿足等式3n4n(n2)n(an3)an的所有n的值解：(1)當n2時，anSnSn1，所以(n2)所以ana11n.因為a11，也符合上式所以數(shù)列an的通項公式為ann(nN*)(2)假設存在k(k2，kN*)，使得bk，bk1，bk2成等比數(shù)列，則bkbk2b.因為bnln anln n(n2)，所以bkbk2ln kln(k2)ln(k1)2b.這與bkbk2b矛盾所以不存在k(k2，kN*)，使得bk，bk1，bk2成等比數(shù)列(3)由(1)得等式3n4n(n2)n(an3)an，可化為3n4n(n2)n(n3)n，即1，所以1.因為當n6時，所以，所以11.所以當n6時，3n4n(n2)n(n3)n，當n1，2，3，4，5時，經(jīng)驗算n2，3時等號成立，所以滿足等式3n4n(n2)n(an3)an的所有n2，3.19