（浙江專用）2021版新高考數學一輪復習 第四章 三角函數、解三角形 5 第5講 三角函數的圖象與性質教學案

第5講三角函數的圖象與性質1正弦、余弦、正切函數的圖象與性質函數ysin xycos xytan x圖象定義域RRx|xk，kZ值域1，11，1R函數的最值最大值1，當且僅當x2k，kZ；最小值1，當且僅當x2k，kZ最大值1，當且僅當x2k，kZ；最小值1，當且僅當x2k，kZ無最大值和最小值單調性增區(qū)間2k，2k(kZ)；減區(qū)間2k，2k(kZ)增區(qū)間2k，2k(kZ)；減區(qū)間2k，2k(kZ)增區(qū)間(k，k)(kZ)奇偶性奇函數偶函數奇函數周期性周期為2k，k0，kZ，最小正周期為2周期為2k，k0，kZ，最小正周期為2周期為k，k0，kZ，最小正周期為對稱性對稱中心(k，0)，kZ，kZ，kZ對稱軸xk，kZxk，kZ無對稱軸零點k，kZk，kZk，kZ2.周期函數的定義對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(xT)f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期；函數yAsin(x)和yAcos(x)的周期均為T；函數yAtan(x)的周期為T.3對稱與周期正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個周期；正切曲線相鄰的兩個對稱中心之間的距離是半個周期疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)ycos x在第一、二象限內是減函數()(2)若yksin x1，xR，則y的最大值是k1.()(3)若非零實數T是函數f(x)的周期，則kT(k是非零整數)也是函數f(x)的周期()(4)函數ysin x圖象的對稱軸方程為x2k(kZ)()(5)函數ytan x在整個定義域上是增函數()答案：(1)×(2)×(3)(4)×(5)×教材衍化1(必修4P46A組T2，3改編)若函數y2sin 2x1的最小正周期為T，最大值為A，則T_，A_解析：最小正周期T，最大值A211.答案：12(必修4P40練習T4改編)下列關于函數y4sin x，x，的單調性的敘述，正確的是_(填序號)在，0上是增函數，在0，上是減函數；在上是增函數，在及上是減函數；在0，上是增函數，在，0上是減函數；在及上是增函數，在上是減函數解析：函數y4sin x在和上單調遞減，在上單調遞增答案：3(必修4P45練習T3改編)ytan 2x的定義域是_解析：由2xk，kZ，得x，kZ，所以ytan 2x的定義域是.答案：易錯糾偏(1)忽視yAsin x(或yAcos x)中A對函數單調性的影響；(2)忽視定義域的限制；(3)忽視正切函數的周期；(4)不化為同名函數以及同一單調區(qū)間導致比較大小出錯1函數y12cos x的單調遞減區(qū)間為_解析：函數y12cos x的單調遞減區(qū)間為函數ycos x的遞增區(qū)間答案：2k，2k(kZ)2函數f(x)3sin(2x)在區(qū)間0，上的值域為_解析：當x0，時，2x，所以sin，1， 故3sin，3，所以函數f(x)在區(qū)間0，上的值域是，3答案：，33函數ytan圖象的對稱中心是_解析：由x，得x，kZ.答案：(kZ)4cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小關系是_解析：sin 68°cos 22°，又ycos x在0°，180°上是減函數，所以sin 68°>cos 23°>cos 97°.答案：sin 68°>cos 23°>cos 97°三角函數的定義域和值域 (1)函數f(x)sin2xcos x的最大值是_(2)函數ylg(2sin x1)的定義域是_【解析】(1)依題意，f(x)sin2xcos xcos2xcos x1，因為x，所以cos x0，1，因此當cos x時，f(x)max1.(2)要使函數ylg(2sin x1)有意義，則即解得2kx<2k，kZ.即函數的定義域為，kZ.【答案】(1)1(2)，kZ (1)三角函數定義域的求法求三角函數定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數線或三角函數圖象來求解(2)三角函數值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求；把所給的三角函數式變換成yAsin(x)的形式求值域；(換元法)把sin x或cos x看作一個整體，轉換成二次函數求值域；(換元法)利用sin x±cos x和sin xcos x的關系轉換成二次函數求值域 (2020·溫州市十校聯合體期初)已知函數f(x)2cos x·(sin xcos x)，xR，則f_，f(x)的最大值是_解析：f(x)2cos x(sin xcos x)2cos xsin x2cos2xsin 2x1cos 2xsin1.當x時，fsin10.由正弦函數的圖象和性質可得，sin的最大值為1.所以f(x)的最大值為1.答案：01三角函數的單調性(高頻考點)三角函數的單調性是每年高考命題的熱點，題型既有選擇題也有填空題，或在解答題某一問出現，難度為中檔題主要命題角度有：(1)求已知三角函數的單調區(qū)間；(2)已知三角函數的單調區(qū)間求參數；(3)利用三角函數的單調性比較大??；(4)利用三角函數的單調性求值域(或最值)角度一求已知三角函數的單調區(qū)間 已知函數f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間【解】(1)由sin ，cos ，f2××，得f2.(2)由cos 2xcos2xsin2x與sin 2x2sin xcos x得f(x)cos 2xsin 2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數的性質得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以，f(x)的單調遞增區(qū)間是(kZ)角度二已知三角函數的單調區(qū)間求參數 函數f(x)sin(x)在區(qū)間上單調遞增，則常數的值可能是()A0 B.C D.【解析】法一：結合選項，當分別取選項中的值時，A：f(x)sin x；B：f(x)cos x；C：f(x)sin x；D：f(x)cos x驗證得D選項正確法二：f(x)的遞增區(qū)間，2k2k(kZ)，k0，選項中無值符合；k1，符合；k2，選項中無值符合可知的可取值逐漸增大，故只有D選項符合題意【答案】D角度三利用三角函數的單調性比較大小 已知函數f(x)2sin，設af，bf，cf，則a，b，c的大小關系是()Aa<c<b Bc<a<bCb<a<c Db<c<a【解析】af2sin ，bf2sin 2，cf2sin 2sin ，因為ysin x在上遞增，所以c<a<b.【答案】B (1)求三角函數單調區(qū)間的兩種方法代換法：就是將比較復雜的三角函數含自變量的代數式整體當作一個角u(或t)，利用復合函數的單調性列不等式求解圖象法：畫出三角函數的正、余弦曲線，結合圖象求它的單調區(qū)間提醒要注意求函數yAsin(x)的單調區(qū)間時的符號，若<0，那么一定先借助誘導公式將化為正數同時切莫漏掉考慮函數自身的定義域(2)利用單調性確定的范圍的方法對于已知函數的單調區(qū)間的某一部分確定參數的范圍的問題，首先，明確已知的單調區(qū)間應為函數的單調區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數的單調區(qū)間，從而利用它們之間的關系可求解，另外，若是選擇題，利用特值驗證排除法求解更為簡捷(3)利用單調性比較大小的方法首先利用誘導公式把已知角轉化為同一區(qū)間內的角且函數名稱相同，再利用其單調性比較大小 1(2020·浙江寧波質檢)已知函數f(x)2sin x在區(qū)間上的最小值為2，則的取值范圍是()A.6，)B.C(，26，)D(，2解析：選D.當>0時，由題意知，即；當<0時，由題意知，所以2.綜上可知，的取值范圍是.2函數f(x)sin在區(qū)間上的最小值為()A1 BC. D0解析：選B.由已知x，得2x，所以sin，故函數f(x)sin(2x)在區(qū)間上的最小值為.3函數ysin的單調減區(qū)間為_解析：(同增異減法)ysin，它的減區(qū)間是ysin的增區(qū)間由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故其單調減區(qū)間為，kZ.答案：(kZ)三角函數的奇偶性、周期性及對稱性 (1)設函數f(x)sin2 xbsin xc，則f(x)的最小正周期()A與b有關，且與c有關B與b有關，但與c無關C與b無關，且與c無關D與b無關，但與c有關(2)已知>0，f(x)，f的圖象與f(x)的圖象關于點對稱，則的最小值為()A. B1C. D2(3)已知函數f(x)sin(x)cos(x)(>0，0<<)是奇函數，直線y與函數f(x)的圖象的兩個相鄰交點的橫坐標之差的絕對值為，則()Af(x)在上單調遞減Bf(x)在上單調遞減Cf(x)在上單調遞增Df(x)在上單調遞增【解析】(1)由于f(x)sin2xbsin xcbsin xc.當b0時，f(x)的最小正周期為；當b0時，f(x)的最小正周期為2.c的變化會引起f(x)圖象的上下平移，不會影響其最小正周期故選B.(2)因為f(x)tan，所以ftan，因為f的圖象與f(x)的圖象關于點對稱，所以tantan0，即tantan，所以k，(kZ)，k，(kZ)，因為>0，所以當k1時，取最小值為，故選A.(3)f(x)sin(x)cos(x)sin(x)，因為0<<且f(x)為奇函數，所以，即f(x)sin x，又直線y與函數f(x)的圖象的兩個相鄰交點的橫坐標之差的絕對值為，所以函數f(x)的最小正周期為，由，可得4，故f(x)sin 4x，由2k4x2k，kZ，即x，kZ，令k0，得x，此時f(x)在上單調遞增【答案】(1)B(2)A(3)D三角函數的奇偶性、對稱性和周期問題的解題思路(1)奇偶性的判斷方法：三角函數中奇函數一般可化為yAsin x或yAtan x的形式，而偶函數一般可化為yAcos xb的形式(2)周期的計算方法：利用函數yAsin(x)(>0)，yAcos(x)(>0)的周期為，函數yAtan(x)(>0)的周期為求解(3)解決對稱性問題的關鍵：熟練掌握三角函數的對稱軸、對稱中心提醒對于函數yAsin(x)，其對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數的零點，因此在判斷直線xx0或點(x0，0)是否是函數的對稱軸或對稱中心時，可通過檢驗f(x0)的值進行判斷 1(2020·舟山市普陀三中高三期中)設函數f(x)sin(2x)cos(2x)為偶函數，則()A. B.C. D.解析：選C.f(x)sin(2x)cos(2x)sin，因為函數f(x)為偶函數，所以f(x)f(x)sinsin0，即sinsin，所以2x2x2k，或2x2xk，即x，kZ(舍)或，kZ.因為|<，所以.2(2020·浙江省名校協作體高三聯考)已知函數f(x)sin 2x(12sin2x)1，則f(x)的最小正周期T_，f(T)_解析：由題意得，f(x)sin 2xcos 2x1sin 4x1，所以最小正周期T，f(T)f1.答案：13已知函數f(x)sin x的圖象與直線kxyk0(k>0)恰有三個公共點，這三個點的橫坐標從小到大分別為x1，x2，x3，則_解析：如圖所示，易知x2，x1x32x22，則k，又直線與ysin x相切于點A(x3，sin x3)，則kcos x3，則cos x3，故答案為.答案：核心素養(yǎng)系列7數學抽象三角函數中值的求法一、利用三角函數的單調性求解 若函數f(x)sin x(>0)在區(qū)間上單調遞減，則的取值范圍是_【解析】令2kx2k(kZ)，得x，因為f(x)在上單調遞減，所以得6k4k3.又>0，所以k0，又6k<4k3，得0k<，所以k0.即3.【答案】根據正弦函數的單調遞減區(qū)間，確定函數f(x)的單調遞減區(qū)間，根據函數f(x)sin x(>0)在區(qū)間上單調遞減，建立不等式，即可求的取值范圍 二、利用三角函數的對稱性求解 (1)已知函數f(x)cos(>0)的一條對稱軸為x，一個對稱中心為點，則有()A最小值2B最大值2C最小值1 D最大值1(2)若函數ycos(N*)圖象的一個對稱中心是，則的最小值為_【解析】(1)因為函數的中心到對稱軸的最短距離是，兩條對稱軸間的最短距離是，所以中心到對稱軸x間的距離用周期可表示為(kN，T為周期)，解得(2k1)T，又T，所以(2k1)·，則2(2k1)，當k0時，2最小故選A.(2)依題意得cos0，則k(kZ)6k2(kZ)，又N*，所以的最小值為2.【答案】(1)A(2)2三角函數兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為，相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為，這就說明，我們可根據三角函數的對稱性來研究其周期性，進而可以研究“”的取值值得一提的是，三角函數的對稱軸必經過其圖象上的最高點(極大值)或最低點(極小值)，函數f(x)Asin(x)的對稱中心就是其圖象與x軸的交點，這就說明，我們也可利用三角函數的極值點(最值點)、零點之間的“差距”來確定其周期，進而可以確定“”的取值 三、利用三角函數的最值求解 已知f(x)sin(x)(>0)，ff()，且f(x)在區(qū)間內有最小值無最大值，則_【解析】因為ff，而，所以f(x)的圖象關于直線x對稱，又f(x)在區(qū)間內有最小值無最大值，所以f(x)minfsin1，所以k，kZ，解得4k.再由f(x)在區(qū)間內有最小值無最大值，得，解得6，所以k0，.【答案】利用三角函數的最值與對稱或周期的關系，可以列出關于的不等式，進而求出的值或取值范圍 基礎題組練1最小正周期為且圖象關于直線x對稱的函數是()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin解析：選B.由函數的最小正周期為，可排除C.由函數圖象關于直線x對稱知，該直線過函數圖象的最高點或最低點，對于A，因為sinsin 0，所以選項A不正確對于D，sinsin，所以D不正確，對于B，sinsin1，所以選項B正確，故選B.2(2020·合肥市第一次教學質量檢測)函數ysin(x)在x2處取得最大值，則正數的最小值為()A. B. C. D.解析：選D.由題意得，22k(kZ)，解得k(kZ)，因為>0，所以當k0時，min，故選D.3(2020·浙江省名校協作體高三聯考)下列四個函數：ysin|x|，ycos|x|，y|tan x|，yln|sin x|，以為周期，在上單調遞減且為偶函數的是()Aysin|x| Bycos|x|Cy|tan x| Dyln|sin x|解析：選D.A.ysin|x|在上單調遞增，故A錯誤；B.ycos|x|cos x周期為T2，故B錯誤；C.y|tan x|在上單調遞增，故C錯誤；D.f(x)ln|sin(x)|ln|sin x|，周期為，當x時，yln(sin x)是在上單調遞減的偶函數，故D正確，故選D.4設函數f(x)cos(x)，則下列結論錯誤的是()Af(x)的一個周期為2Byf(x)的圖象關于直線x對稱Cf(x)的一個零點為xDf(x)在(，)上單調遞減解析：選D.根據函數解析式可知函數f(x)的最小正周期為2，所以函數的一個周期為2，A正確；當x時，x3，所以cos1，所以B正確；f(x)coscos，當x時，x，所以f(x)0，所以C正確；函數f(x)cos在上單調遞減，在上單調遞增，故D不正確所以選D.5若函數f(x)sin(>0)在區(qū)間(，2)內沒有最值，則的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選B.易知函數ysin x的單調區(qū)間為k，k，kZ，由kxk，kZ，得x，kZ，因為函數f(x)sin(>0)在區(qū)間(，2)內沒有最值，所以f(x)在區(qū)間(，2)內單調，所以(，2)，kZ，所以kZ，解得k，kZ，由k，得k，當k0時，得；當k1時，得.又>0，所以0<.綜上，得的取值范圍是.故選B.6已知函數f(x)sin，f(x)是f(x)的導函數，則函數y2f(x)f(x)的一個單調遞減區(qū)間是()A. B.C. D.解析：選A.由題意，得f(x)2cos，所以y2f(x)f(x)2sin2cos2sin2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以y2f(x)f(x)的一個單調遞減區(qū)間為，故選A.7函數ylg sin x 的定義域為_解析：要使函數有意義，則有即解得(kZ)，所以2k<x2k，kZ.所以函數的定義域為.答案：8函數y(43sin x)(43cos x)的最小值為_解析：y1612(sin xcos x)9sin xcos x，令tsin xcos x，則t，且sin xcos x，所以y1612t9×(9t224t23)故當t時，ymin.答案：9(2020·溫州市高中?？?已知函數ysin x的定義域為a，b，值域為，則ba的最大值和最小值之差等于_解析：如圖，當xa1，b時，值域為且ba最大；當xa2，b時，值域為，且ba最小，所以最大值與最小值之差為(ba1)(ba2)a2a1.答案：10(2020·杭州學軍中學質檢)已知f(x)sin 2xcos 2x，若對任意實數x，都有|f(x)|<m，則實數m的取值范圍是_解析：因為f(x)sin 2xcos 2x2sin，x，所以，所以2sin(，1，所以|f(x)|<，所以m.答案：，)11(2020·杭州市名校協作體高三下學期考試)已知0，函數f(x)cos(2x)sin2x.(1)若，求f(x)的單調遞增區(qū)間；(2)若f(x)的最大值是，求的值解：(1)由題意f(x)cos 2xsin 2xcos，由2k2x2k，得kxk.所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為，kZ.(2)由題意f(x)cos 2xsin sin 2x，由于函數f(x)的最大值為，即1，從而cos 0，又0，故.12(2020·臺州市高三期末評估)已知函數f(x)sin(x)的最小正周期為，且x為f(x)圖象的一條對稱軸(1)求和的值；(2)設函數g(x)f(x)f，求g(x)的單調遞減區(qū)間解：(1)因為f(x)sin(x)的最小正周期為，由T，所以2，由2xk，kZ，所以f(x)的圖象的對稱軸為x，kZ.由，得k.又|，則.(2)函數g(x)f(x)fsinsin 2xsin 2xcos 2xsin 2xsin.所以g(x)的單調遞減區(qū)間為，kZ.綜合題組練1(2020·湖州市高三期末考試)若，且sin sin 0，則必有()A22 B22C D解析：選B.，且sin sin 0，即sin sin ，再根據yxsin x為偶函數，且在上單調遞增，可得|，即22，故選B.2若f(x)cos 2xacos 在區(qū)間上是增函數，則實數a的取值范圍為()A2，) B(2，)C(，4) D(，4解析：選D.f(x)12sin2xasin x，令sin xt，t，則g(t)2t2at1，t，因為f(x)在上單調遞增，所以1，即a4，故選D.3(2020·浙江“七彩陽光”聯盟高三聯考)已知函數f(x)sin(x)的圖象過點，若f(x)f對xR恒成立，則的值為_；當最小時，函數g(x)f在區(qū)間0，22上的零點個數為_解析：由題意得，且當x時，函數f(x)取到最大值，故2k，kZ，解得112k，kN，又因為0，所以的最小值為1，因此，g(x)fsin x的零點個數是8個答案：112k(kN)84(2020·金華市東陽二中高三調研)設函數f(x)sin2cos2x1(>0)，直線y與函數f(x)圖象相鄰兩交點的距離為.(1)求的值；(2)在ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若點是函數yf(x)圖象的一個對稱中心，且b3，求ABC面積的最大值解：(1)函數f(x)sin2cos2x1sin xcoscos xsin2·1sin xcos xsin.因為f(x)的最大值為，所以f(x)的最小正周期為，所以2.(2)由(1)知f(x)sin，因為sin0B，因為cos B，所以aca2c292ac9，ac9，故SABCacsin Bac.故ABC面積的最大值為.5已知a>0，函數f(x)2asin2ab，當x時，5f(x)1.(1)求常數a，b的值；(2)設g(x)f且lg g(x)>0，求g(x)的單調區(qū)間解：(1)因為x，所以2x.所以sin，所以2asin2a，a所以f(x)b，3ab，又因為5f(x)1，所以b5，3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)>0，得g(x)>1，所以4sin1>1，所以sin>，所以2k<2x<2k，kZ，其中當2k<2x2k，kZ時，g(x)單調遞增，即k<xk，kZ，所以g(x)的單調增區(qū)間為，kZ.又因為當2k<2x<2k，kZ時，g(x)單調遞減，即k<x<k，kZ.所以g(x)的單調減區(qū)間為，kZ.22