（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.4 函數(shù)的圖象講義 理

第四節(jié)函數(shù)的圖象1描點法作函數(shù)圖象通過列表、描點、連線三個步驟，畫出函數(shù)圖象用描點法在選點時往往選取特殊點，有時也可利用函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性)畫出圖象 “左加右減，上加下減”左加右減只針對x本身，與x的系 數(shù)無關(guān)；上加下減指的是在f(x) 整體上加減.2函數(shù)圖象的變換(1)平移變換(2)對稱變換yf(x)的圖象yf(x)的圖象；yf(x)的圖象yf(x)的圖象；yf(x)的圖象yf(x)的圖象；yax(a>0，且a1)的圖象ylogax(a>0，且a1)的圖象(3)翻折變換yf(x)的圖象y|f(x)|的圖象；yf(x)的圖象yf(|x|)的圖象圖象變換的注意點在解決函數(shù)圖象的變換問題時，要遵循“只能對函數(shù)關(guān)系式中的x，y變換”的原則，寫出每一次變換所得圖象對應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯熟記常用結(jié)論1對于函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)任意一個x的值，若f(ax)f(bx)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱2對于函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)任意一個x的值，若f(ax)f(bx)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點中心對稱小題查驗基礎(chǔ)一、判斷題(對的打“”，錯的打“×”)(1)函數(shù)yf(1x)的圖象，可由yf(x)的圖象向左平移1個單位得到()(2)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于y軸對稱即函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于y軸對稱()(3)當(dāng)x(0，)時，函數(shù)yf(|x|)的圖象與y|f(x)|的圖象相同()(4)若函數(shù)yf(x)滿足f(1x)f(1x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱()答案：(1)×(2)×(3)×(4)二、選填題1下列圖象是函數(shù)y的圖象的是()答案：C2如圖，四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止用下面對應(yīng)的圖象表示該容器中水面的高度h和時間t之間的關(guān)系，其中不正確的個數(shù)為()A1B2C3 D4解析：選A將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和時間t之間的關(guān)系可以從高度隨時間的變化率上反映出來圖應(yīng)該是勻速的，故下面的圖象不正確；中的變化率應(yīng)該是越來越慢的，正確；中的變化率是先快后慢再快，正確；中的變化率是先慢后快再慢，也正確，故只有是錯誤的3函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線yex關(guān)于y軸對稱，則f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1解析：選D與曲線yex關(guān)于y軸對稱的圖象對應(yīng)的解析式為yex，將函數(shù)yex的圖象向左平移1個單位長度即得yf(x)的圖象，f(x)e(x1)ex1，故選D.4已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)log f(x)的定義域是_解析：當(dāng)f(x)>0時，函數(shù)g(x)log f(x)有意義，由函數(shù)f(x)的圖象知滿足f(x)>0時，x(2,8答案：(2,85若關(guān)于x的方程|x|ax只有一個解，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意得a|x|x，令y|x|x其圖象如圖所示，故要使a|x|x只有一個解，則a>0.答案：(0，)考法全析考法(一)知式選圖例1(2018·全國卷)函數(shù)f(x)的圖象大致為()解析yexex是奇函數(shù)，yx2是偶函數(shù)，f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除A選項當(dāng)x1時，f(1)e>0，排除D選項又e>2，e>1，排除C選項故選B.答案B例2(2018·全國卷)函數(shù)yx4x22的圖象大致為()解析令f(x)x4x22，則f(x)4x32x，令f(x)0，得x0或x±，則f(x)>0的解集為，f(x)在，上單調(diào)遞增；f(x)0的解集為，f(x)在，上單調(diào)遞減，結(jié)合圖象知選D.答案D考法(二)借助動點探究函數(shù)圖象例3廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽魚太極圖”如圖，是由一個半徑為2的大圓和兩個半徑為1的半圓組成的“陰陽魚太極圖”，圓心分別為O，O1，O2，若一動點P從點A出發(fā)，按路線AOBCADB運動(其中A，O，O1，O2，B五點共線)，設(shè)P的運動路程為x，y|O1P|2，y與x的函數(shù)關(guān)系式為yf(x)，則yf(x)的大致圖象為()解析根據(jù)題圖中信息，可將x分為4個區(qū)間，即0，)，2)，2，4)，4，6，當(dāng)x0，)時，函數(shù)值不變，yf(x)1；當(dāng)x，2)時，設(shè)與的夾角為，|1，| |2，x，y()254cos 54cos x，yf(x)的圖象是曲線，且單調(diào)遞增；當(dāng)x2，4)時，設(shè)與的夾角為，|2，|1，2x，y|O1P|2()254cos 54cos ，函數(shù)yf(x)的圖象是曲線，且單調(diào)遞減結(jié)合選項知選A.答案A考法(三)圖象變換問題例4已知函數(shù)yf(1x)的圖象如圖，則y|f(x2)|的圖象是()解析(1)把函數(shù)yf(1x)的圖象向左平移1個單位得yf(x)的圖象；(2)作出f(x)關(guān)于y軸對稱的函數(shù)圖象得yf(x)的圖象；(3)將f(x)向左平移2個單位得yf(x2)的圖象；(4)將yf(x2)的圖象在x軸下方的部分關(guān)于x軸對稱翻折到x軸上方得到|f(x2)|的圖象答案A規(guī)律探求看個性考法(一)是知式選圖，解決此類問題常有以下策略：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性(有時可借助導(dǎo)數(shù))，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；(5)從函數(shù)的特殊點(與坐標(biāo)軸的交點、經(jīng)過的定點、極值點等)，排除不合要求的圖象考法(二)是求解因動點變化而形成的函數(shù)圖象問題，既可以根據(jù)題意求出函數(shù)解析式后判斷圖象，也可以將動點處于某特殊位置時考查圖象的變化特征后作出選擇考法(三)圖象變換問題，只需遵守圖象變換規(guī)則即可找共性解決函數(shù)圖象的識別問題， 注意“三關(guān)”： (1)取“特殊點關(guān)”，即根據(jù)已知函數(shù)的解析式選取特殊的點，判斷選項中的圖象是否經(jīng)過這些點，若不滿足則排除；(2)用“性質(zhì)關(guān)”，即根據(jù)選項中的圖象特點，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等來排除選項；(3)用“極限思想關(guān)”，即應(yīng)用極限思想來處理，達(dá)到巧解妙算的效果，使解題過程費時少，準(zhǔn)確率高過關(guān)訓(xùn)練1函數(shù)y(x3x)2|x|的圖象大致是()解析：選B易判斷函數(shù)為奇函數(shù)，由y0得x±1或x0.當(dāng)0x1時，y0；當(dāng)x1時，y0.故選B.2.如圖，長方形ABCD的邊AB2，BC1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記BOPx.將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則yf(x)的圖象大致為()解析：選B當(dāng)x時，f(x)tan x，圖象不會是直線段，從而排除A、C.當(dāng)x時，ff1，f2.21，fff，從而排除D，故選B.3已知函數(shù)f(x)logax(0a1)，則函數(shù)yf(|x|1)的圖象大致為()解析：選A先作出函數(shù)f(x)logax(0a1)的圖象，當(dāng)x>0時，yf(|x|1)f(x1)，其圖象由函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位得到，又函數(shù)yf(|x|1)為偶函數(shù)，所以再將函數(shù)yf(x1)(x>0)的圖象關(guān)于y軸對稱翻折到y(tǒng)軸左邊，得到x0時的圖象，故選A.考法全析考法(一)研究函數(shù)的性質(zhì)例1已知函數(shù)f(x)x|x|2x，則下列結(jié)論正確的是()Af(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，)Bf(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(，1)Cf(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(1,1)Df(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(，0)解析將函數(shù)f(x)x|x|2x去掉絕對值得f(x)畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(1,1)上單調(diào)遞減答案C考法(二)研究不等式的求解問題例2(1)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，)上為增函數(shù)，且f(1)0，則不等式0的解集為()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，) D(1,0)(0,1)(2)若不等式(x1)2logax(a>0，且a1)在x(1,2)內(nèi)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A(1,2 B.C(1，) D(，2)解析(1)因為f(x)為奇函數(shù)，所以不等式0可化為0，即xf(x)0，f(x)的大致圖象如圖所示所以xf(x)0的解集為(1,0)(0,1)(2)要使當(dāng)x(1,2)時，不等式(x1)2logax恒成立，只需函數(shù)y(x1)2在(1,2)上的圖象在ylogax的圖象的下方即可當(dāng)0a1時，顯然不成立；當(dāng)a>1時，如圖，要使x(1,2)時，y(x1)2的圖象在ylogax的圖象的下方，只需(21)2loga2，即loga21，解得1a2，故實數(shù)a的取值范圍是(1,2故選A.答案(1)D(2)A考法(三)研究方程根的問題例3(2019·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的xR，都有f(x2)f(2x)，當(dāng)x2,0時，f(x)x1，則關(guān)于x的方程f(x)log8(x2)0在區(qū)間(2,6)上根的個數(shù)為()A1B2C3D4解析因為對任意的xR，都有f(x2)f(2x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(x2)f(2x)f(x2)，f(x4)f(x)，函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖象與ylog8(x2)的圖象交點的個數(shù)即方程f(x)log8(x2)0根的個數(shù)作出yf(x)與ylog8(x2)在區(qū)間(2,6)上的圖象如圖所示，易知兩個函數(shù)在區(qū)間(2,6)上的圖象有3個交點，所以方程f(x)log8(x2)0在區(qū)間(2,6)上有3個根，故選C.答案C規(guī)律探求看個性考法(一)是利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)常從以下幾個角度分析研究：(1)從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；(2)從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；(3)從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性考法(二)利用函數(shù)圖象研究不等式通過函數(shù)圖象把不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系或函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系來解決問題考法(三)是利用圖象研究方程根的問題其依據(jù)是：方程f(x)0的根就是函數(shù)f(x)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，方程f(x)g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標(biāo)找共性求解函數(shù)圖象的應(yīng)用問題，其實質(zhì)是利用數(shù)形結(jié)合思想解題，其思維流程一般是： 過關(guān)訓(xùn)練1(2019·昆明檢測)已知f(x)2x1，g(x)1x2，規(guī)定：當(dāng)|f(x)|g(x)時，h(x)|f(x)|；當(dāng)|f(x)|g(x)時，h(x)g(x)，則h(x)()A有最小值1，最大值1 B有最大值1，無最小值C有最小值1，無最大值 D有最大值1，無最小值解析：選C如圖，畫出y|f(x)|2x1|與yg(x)1x2的圖象，它們交于A，B兩點由“規(guī)定”，在A，B兩側(cè)，|f(x)|g(x)，故h(x)|f(x)|；在A，B之間，|f(x)|g(x)，故h(x)g(x)綜上可知，yh(x)的圖象是圖中的實線部分，因此h(x)有最小值1，無最大值2已知函數(shù)f(x)則對任意x1，x2R，若0|x1|x2|，下列不等式成立的是()Af(x1)f(x2)0 Bf(x1)f(x2)0Cf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0解析：選D函數(shù)f(x)的圖象如圖所示f(x)f(x)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在0，)上是增函數(shù)又0|x1|x2|，則f(x2)f(x1)，即f(x1)f(x2)0.3已知直線y1與曲線yx2|x|a有四個交點，則a的取值范圍是_解析：y作出其圖象，如圖所示此曲線與y軸交于點(0，a)，最小值為a，要使直線y1與其有四個交點，只需a1a，所以1a.答案： 一、題點全面練1函數(shù)f(x)xe|x|的圖象可能是()解析：選C因為函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除A、B；當(dāng)x(0，)時，f(x)xex，因為ex0，所以f(x)0，即f(x)在x(0，)時，其圖象恒在x軸上方，排除D，故選C.2.若函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(3)等于()ABC1 D2解析：選C由圖象可得ab3，ln(1a)0，得a2，b5，f(x)故f(3)2×(3)51，故選C.3(2018·全國卷)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)yln x的圖象關(guān)于直線x1對稱的是()Ayln(1x)Byln(2x)Cyln(1x) Dyln(2x)解析：選B函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)yf(ax)的圖象關(guān)于直線x對稱，令a2可得與函數(shù)yln x的圖象關(guān)于直線x1對稱的是函數(shù)yln(2x)的圖象故選B.4已知f(x)則下列函數(shù)的圖象錯誤的是()解析：選D在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出函數(shù)yf(x)的圖象，將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移1個單位長度，得到函數(shù)yf(x1)的圖象，因此A正確；作函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖形，得到y(tǒng)f(x)的圖象，因此B正確；yf(x)在1,1上的值域是0,2，因此y|f(x)|的圖象與yf(x)的圖象重合，C正確；yf(|x|)的定義域是1,1，且是偶函數(shù)，當(dāng)0x1時，yf(|x|)，這部分的圖象不是一條線段，因此選項D不正確故選D.5若函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)yf(x1)的圖象大致為()解析：選C要想由yf(x)的圖象得到y(tǒng)f(x1)的圖象，需要先將yf(x)的圖象關(guān)于x軸對稱得到y(tǒng)f(x)的圖象，然后向左平移一個單位長度得到y(tǒng)f(x1)的圖象，根據(jù)上述步驟可知C正確6(2019·漢中模擬)函數(shù)f(x)·sin x的圖象大致為()解析：選Af(x)·sin x，f(x)·sin(x)·sin x·sin xf(x)，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故排除C、D；當(dāng)x2時，f(2)·sin 20，故排除B，選A.7.若函數(shù)f(x)(ax2bx)ex的圖象如圖所示，則實數(shù)a，b的值可能為()Aa1，b2Ba1，b2Ca1，b2Da1，b2解析：選B令f(x)0，則(ax2bx)ex0，解得x0或x，由圖象可知，1，又當(dāng)x時，f(x)0，故a0，結(jié)合選項知a1，b2滿足題意，故選B.8定義maxa，b，c為a，b，c中的最大值，設(shè)Mmax2x,2x3,6x，則M的最小值是()A2 B3C4 D6解析：選C畫出函數(shù)Mmax2x,2x3,6x的圖象如圖中實線部分所示，由圖可得，函數(shù)M在點A(2,4)處取得最小值，最小值為4，故選C.9.已知在函數(shù)y|x|(x1,1)的圖象上有一點P(t，|t|)，該函數(shù)的圖象與x軸、直線x1及xt圍成圖形(如圖陰影部分)的面積為S，則S與t的函數(shù)關(guān)系圖可表示為()解析：選B由題意知，當(dāng)1t0時，S越來越大，但增長的速度越來越慢當(dāng)t0時，S的增長速度會越來越快，故在S軸右側(cè)圖象的切線斜率逐漸增大，選B.10.如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)log2(x1)的解集為_解析：令ylog2(x1)，作出函數(shù)ylog2(x1)圖象如圖由得結(jié)合圖象知不等式f(x)log2(x1)的解集為x|1x1答案：x|1x111設(shè)函數(shù)f(x)|xa|，g(x)x1，對于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：如圖，作出函數(shù)f(x)|xa|與g(x)x1的圖象，觀察圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)a1，即a1時，不等式f(x)g(x)恒成立，因此a的取值范圍是1，)答案：1，)12已知函數(shù)f(x)|x|(xa)，a0.(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)x0,1時，由圖象寫出f(x)的最小值解：(1)f(x)其圖象如圖所示(2)由圖知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)，；單調(diào)遞減區(qū)間是.(3)由圖象知，當(dāng)1，即a2時，f(x)minf(1)1a；當(dāng)01，即0a2時，f(x)minf.綜上，f(x)min二、專項培優(yōu)練(一)易錯專練不丟怨枉分1(2019·大同質(zhì)檢)已知函數(shù)f(2x1)是奇函數(shù)，則函數(shù)yf(2x)的圖象關(guān)于下列哪個點成中心對稱()A(1,0) B(1,0)C. D.解析：選C因為f(2x1)是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點成中心對稱，而f(2x)的圖象是由f(2x1)的圖象向右平移個單位得到的，故f(2x)關(guān)于成中心對稱2函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x0,2時，f(x)x1，則不等式xf(x)>0在(1,3)上的解集為()A(1,3) B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)解析：選C作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示當(dāng)x(1,0)時，由xf(x)>0得x(1,0)；當(dāng)x(0,1)時，由xf(x)>0得x；當(dāng)x(1,3)時，由xf(x)>0得x(1,3)故x(1,0)(1,3)3(2019·合肥質(zhì)檢)對于函數(shù)f(x)，如果存在x00，使得f(x0)f(x0)，則稱(x0，f(x0)與(x0，f(x0)為函數(shù)圖象的一組奇對稱點若f(x)exa(e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象上存在奇對稱點，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：依題意，知f(x)f(x)有非零解，由f(x)f(x)得，exa(exa)，即a1(x0)，所以當(dāng)f(x)exa存在奇對稱點時，實數(shù)a的取值范圍是(1，)答案：(1，)(二)素養(yǎng)專練學(xué)會更學(xué)通4數(shù)學(xué)建模如圖，有四個平面圖形分別是三角形、平行四邊形、直角梯形、圓垂直于x軸的直線l：xt(0ta)經(jīng)過原點O向右平行移動，l在移動過程中掃過平面圖形的面積為y(圖中陰影部分)，若函數(shù)yf(x)的大致圖象如右圖所示，那么平面圖形的形狀不可能是()解析：選C由yf(x)的圖象可知面積遞增的速度先快后慢，對于選項C，后半程是勻速遞增，所以平面圖形的形狀不可能是C.5直觀想象已知函數(shù)f(x)若方程f(x)xa有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為()A(，0 B0,1)C(，1) D0，)解析：選C當(dāng)x0時，f(x)f(x1)，所以f(x)是以1為周期的函數(shù)又當(dāng)0x1時，x10，所以f(x)f(x1)21x12x1.方程f(x)xa的根的個數(shù)可看成是兩個函數(shù)yf(x)與yxa的圖象的交點個數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可知實數(shù)a的取值范圍是(，1)(三)難點專練適情自主選6已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)x2的圖象關(guān)于點A(0,1)對稱(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)，且g(x)在區(qū)間(0,2上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)設(shè)f(x)圖象上任一點P(x，y)，則點P關(guān)于(0,1)點的對稱點P(x,2y)在h(x)的圖象上，即2yx2，yf(x)x(x0)(2)g(x)f(x)x，g(x)1.g(x)在(0,2上為減函數(shù)，10在(0,2上恒成立，即a1x2在(0,2上恒成立，a14，即a3，故實數(shù)a的取值范圍是3，)7若關(guān)于x的不等式4ax13x4(a>0，且a1)對于任意的x>2恒成立，求a的取值范圍解：不等式4ax13x4等價于ax1x1.令f(x)ax1，g(x)x1，當(dāng)a>1時，在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象如圖(1)所示，由圖知不滿足條件；當(dāng)0a1時，在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象如圖(2)所示，當(dāng)x2時，f(2)g(2)，即a21×21，解得a，所以a的取值范圍是.17