（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式 第4講 基本不等式學(xué)案

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1、 第4講　基本不等式 板塊一　知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1　重要不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)． 考點(diǎn)2　基本不等式 ≤ 1．基本不等式成立的條件：a>0，b>0； 2．等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立； 3．其中叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)． 考點(diǎn)3　利用基本不等式求最大、最小值問(wèn)題 1．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)， 那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2.(簡(jiǎn)記：“積定和最小”) 2．如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)， 那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值.

2、(簡(jiǎn)記：“和定積最大”) [必會(huì)結(jié)論] 常用的幾個(gè)重要不等式 (1)a＋b≥2(a>0，b>0)； (2)ab≤2(a，b∈R)； (3)2≤(a，b∈R)； (4)＋≥2(a，b同號(hào))． 以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b. [考點(diǎn)自測(cè)] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)函數(shù)f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.(　　) (3)x>0，y>0是＋≥2的充要條件．(　　) (4)若a>0，則a3＋的最小值為2.(　　) (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(　　)

3、 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．[課本改編]已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則ab的最大值為(　　) A．1 B. C. D. 答案　B 解析　∵a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立． 3．[課本改編]已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是(　　) A. B．4 C. D．5 答案　C 解析　y＝(a＋b)＝≥，故選C. 4．[2018·蘇州模擬]若0≤x≤6，則f(x)＝的最大值為(　　) A. B．4 C. D. 答案　B 解析　∵0≤x≤6，∴8－x>0，∴f(x)＝≤＝

4、4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝8－x，即x＝4時(shí)，等號(hào)成立．故f(x)的最大值為4. 5．[課本改編]若f(x)＝x＋(x>2)在x＝n處取得最小值，則n＝(　　) A. B．3 C. D．4 答案　B 解析　由f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝>0，即x＝3時(shí)，取得等號(hào)．故選B. 6．[2018·上海模擬]若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＝1，則x2＋2y2的最小值為________． 答案　2 解析　∵x2＋2y2≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取“＝”，∴x2＋2y2的最小值為2. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　利用基本不等式求最值 例　1　[2017·山東高考]若

5、直線＋＝1(a>0，b>0)過(guò)點(diǎn)(1,2)，則2a＋b的最小值為________． 答案　8 解析　∵直線＋＝1(a>0，b>0)過(guò)點(diǎn)(1,2)， ∴＋＝1， ∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2 ＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝2，b＝4時(shí)，等號(hào)成立． 故2a＋b的最小值為8. 　本例條件不變，求ab的最小值． 解　∵1＝＋≥2，當(dāng)＝，即a＝2，b＝4時(shí)，ab≥8，∴ab的最小值為8. 　若4a＋2b＝1，求2a＋b的最大值． 解　∵4a＋2b≥2＝2， ∴2≤1，∴2a＋b≤－2， ∴2a＋b的最大值為－2. 　若log2a＋log2b＝1，求2a＋b的最小值．

6、解　∵log2ab＝1，∴ab＝2， ∴2a＋b≥2＝4，當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，2a＋b的最小值為4. 觸類旁通 利用基本不等式求最值問(wèn)題的解題策略 (1)利用基本(均值)不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)在利用基本(均值)不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本(均值)不等式． 【變式訓(xùn)練1】　(1)已知0

7、＝時(shí)，x(3－3x)取得最大值.選C. (2)設(shè)x>0，則函數(shù)y＝x＋－的最小值為________． 答案　0 解析　y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＋＝，即x＝時(shí)等號(hào)成立．所以函數(shù)的最小值為0. 考向　條件最值問(wèn)題 例　2　[2018·大同檢測(cè)]若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，求： (1)ab的取值范圍； (2)a＋b的取值范圍． 解　(1)∵ab＝a＋b＋3≥2＋3， 令t＝>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0. ∴t≥3即≥3，∴ab≥9， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)． (2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤2. 令t＝a＋b>0

8、，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0. ∴t≥6即a＋b≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)． 觸類旁通 求條件最值注意的問(wèn)題 (1)要敏銳的洞察到已知條件與要求式子的聯(lián)系，并能靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)化； (2)常用的技巧有：“1”的代換，配湊法，放縮法，換元法． 【變式訓(xùn)練2】　(1)[2018·珠海模擬]已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　C 解析　解法一：由已知得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y，即x＝3，y＝1時(shí)取等號(hào)，令x＋3y＝t，則t>0

9、，且t2＋12t－108≥0，得t≥6.即x＋3y≥6. 解法二：∵x＋3y＝9－xy≥2，∴()2＋2·－9≤0，∴(＋3)·(－)≤0， ∴0

10、安全的情況下，某路段車流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長(zhǎng)l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F＝. (1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為_______輛/小時(shí)； (2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/小時(shí)． 答案　(1)1900　(2)100 解析　(1)當(dāng)l＝6.05時(shí)，F(xiàn)＝， ∴F＝＝≤＝1900， 當(dāng)且僅當(dāng)v＝，即v＝11時(shí)取“＝”． ∴最大車流量為1900輛/小時(shí)． (2)當(dāng)l＝5時(shí)，F(xiàn)＝＝， ∴F≤＝2000， 當(dāng)且僅當(dāng)v＝

11、，即v＝10時(shí)取“＝”． ∴最大車流量比(1)中的最大車流量增加2000－1900＝100(輛/小時(shí))． 觸類旁通 有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問(wèn)題的解題技巧 (1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值． (2)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)． (3)解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍． (4)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解． 【變式訓(xùn)練3】　某廠家擬在2018年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元(m≥0)滿足x＝3－(k為常數(shù))，如

12、果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬(wàn)件．已知2018年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元．每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)． (1)將2018年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)； (2)該廠家2018年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？ 解　(1)由題意知，當(dāng)m＝0時(shí)，x＝1， ∴1＝3－k?k＝2，∴x＝3－， 每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×(元)， ∴2018年的利潤(rùn)y＝1.5x×－8－16x－m ＝4＋8x－m＝4＋8－m ＝－＋29(m≥0)．

13、 (2)∵m≥0時(shí)，＋(m＋1)≥2＝8， ∴y≤－8＋29＝21， 當(dāng)且僅當(dāng)＝m＋1?m＝3(萬(wàn)元)時(shí)，ymax＝21(萬(wàn)元)． 故該廠家2018年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為21萬(wàn)元． 核心規(guī)律 1．基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式． 2．對(duì)于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等． 滿分策略 1．在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件． 2．注意基本不等式成立的條件是a>0

14、，b>0，若a<0，b<0，應(yīng)先轉(zhuǎn)化為－a>0，－b>0，再運(yùn)用基本不等式求解． 3．“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立”的含義是“a＝b”是等號(hào)成立的充要條件，這一點(diǎn)至關(guān)重要，忽略它往往會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 易錯(cuò)警示系列8——連續(xù)應(yīng)用基本不等式時(shí)切記等號(hào)成立的條件 [2017·天津高考]若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________． 錯(cuò)因分析　兩次使用基本不等式時(shí)，忽視等號(hào)的一致性易出錯(cuò)． 解析　∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2b2時(shí)“＝”成立)， ∴≥＝4ab＋， 由于ab>0，∴4ab＋≥2＝4， 故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

15、的最小值為4. 答案　4 答題啟示　連續(xù)運(yùn)用基本不等式應(yīng)注意等號(hào)成立的條件：連續(xù)使用基本不等式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致．因此盡量不要連續(xù)兩次以上使用基本不等式，若使用兩次時(shí)應(yīng)保證兩次等號(hào)成立的條件同時(shí)相等． 跟蹤訓(xùn)練 已知a>b>0，求a2＋的最小值． 解　∵a>b>0，∴a－b>0. ∴b(a－b)≤2＝. ∴a2＋≥a2＋≥2＝16. 當(dāng)a2＝且b＝a－b，即a＝2，b＝時(shí)等號(hào)成立． ∴a2＋的最小值為16. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．[2018·浙江模擬]已知x>0，y>0，則“xy＝1”是“x＋y

16、≥2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若xy＝1，由基本不等式，知x＋y≥2＝2；反之，取x＝3，y＝1，則滿足x＋y≥2，但xy＝3≠1，所以“xy＝1”是“x＋y≥2”的充分不必要條件．故選A. 2．當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝有(　　) A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2 答案　B 解析　∵x>0，∴f(x)＝≤1.故選B. 3．[2015·湖南高考]若實(shí)數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　) A. B．2 C．2 D．4 答案　C 解析　由

17、＝＋≥2，得ab≥2，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取“＝”．選C. 4．[2018·人大附中模擬](－6≤a≤3)的最大值為(　　) A．9 B. C．3 D. 答案　B 解析　因?yàn)椋?≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，可知≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－時(shí)等號(hào)成立． 5．[2018·秦皇島模擬]函數(shù)y＝(x>1)的最小值是(　　) A．2＋2 B．2－2 C．2 D．2 答案　A 解析　∵x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1＋時(shí)取“＝”)．選A. 6．設(shè)x>0，y>0，且x＋4y＝40，則lg x＋lg y的最大值是(　　) A

18、．40 B．10 C．4 D．2 答案　D 解析　∵x＋4y＝40，且x>0，y>0， ∴x＋4y≥2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y時(shí)取“＝”)， ∴4≤40.∴xy≤100. ∴l(xiāng)g x＋lg y＝lg (xy)≤lg 100＝2. ∴l(xiāng)g x＋lg y的最大值為2. 7．[2018·山西模擬]已知不等式(x＋y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥1＋a＋2＝(＋1)2， 當(dāng)且僅當(dāng)a·＝，即ax2＝y(tǒng)2時(shí)“＝”成立． ∴(x＋y)的最小值為(＋1)2≥9. ∴a

19、≥4. 8．[2017·江蘇高考]某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是________． 答案　30 解析　一年的總運(yùn)費(fèi)為6×＝(萬(wàn)元)． 一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元． 總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用的和為萬(wàn)元． 因?yàn)椋?x≥2 ＝240，當(dāng)且僅當(dāng)＝4x，即x＝30時(shí)取得等號(hào)， 所以當(dāng)x＝30時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小． 9．函數(shù)y＝2x＋(x>1)的最小值為________． 答案　2＋2 解析　因?yàn)閥＝2x＋(x>1)，所以y＝2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝2＋2

20、. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1＋時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)y＝2x＋(x>1)的最小值為2＋2. 10．[2018·正定模擬]若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是________． 答案　5 解析　由x＋3y＝5xy，可得＋＝1， 所以3x＋4y＝(3x＋4y) ＝＋＋＋≥＋2 ＝＋＝5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1，y＝時(shí)取等號(hào)，故3x＋4y的最小值是5. [B級(jí)　知能提升] 1．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足＋＝1，且不等式x＋

21、 解析　∵x>0，y>0，∴x＋＝＝2＋＋≥4，∴min＝4， ∴m2－3m>4，解得m<－1或m>4.選B. 2．設(shè)a>0，b>1，若a＋b＝2，則＋的最小值為(　　) A．3＋2 　　 B．6 C．4 D．2 答案　A 解析　由題可知a＋b＝2，a＋b－1＝1，∴＋＝(a＋b－1)＝2＋＋＋1≥3＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝2－，b＝時(shí)等號(hào)成立．故選A. 3．[2018·湖北八校聯(lián)考]已知正數(shù)a，b滿足2a2＋b2＝3，則a的最大值為________． 答案　 解析　a＝×a≤×(2a2＋b2＋1)＝×(3＋1)＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，且2a2＋b2＝3， 即a2

22、＝1，b2＝1時(shí)，等號(hào)成立． 故a的最大值為. 4．[2018·鄭州模擬]若a>0，b>0，且＋＝. (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并說(shuō)明理由． 解　(1)因?yàn)閍>0，b>0，且＋＝， 所以＝＋≥2 ，所以ab≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)． 因?yàn)閍3＋b3≥2≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)， 所以a3＋b3的最小值為4. (2)由(1)可知，2a＋3b≥2＝2≥4>6， 故不存在a，b，使得2a＋3b＝6成立． 5．已知lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解　由lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)， 得 (1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1， ∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0， ∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，等號(hào)成立．∴xy的最小值為1. (2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤32， ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0， ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0， ∴x＋y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)取等號(hào)， ∴x＋y的最小值為2. 11