（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 1.1 集合講義 文

第一節(jié) 集合一、基礎(chǔ)知識(shí)批注理解深一點(diǎn)1集合的有關(guān)概念(1)集合元素的三個(gè)特性：確定性、無(wú)序性、互異性元素互異性，即集合中不能出現(xiàn)相同的元素，此性質(zhì)常用于求解含參數(shù)的集合問(wèn)題中(2)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法(3)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為；不屬于，記為.(4)五個(gè)特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集2集合間的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，則稱A是B的子集，記作AB(或BA)(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一個(gè)元素不屬于A，則稱A是B的真子集，記作AB或BA.AB既要說(shuō)明A中任何一個(gè)元素都屬于B，也要說(shuō)明B中存在一個(gè)元素不屬于A.(3)集合相等：如果AB，并且BA，則AB.兩集合相等：ABA中任意一個(gè)元素都符合B中元素的特性，B中任意一個(gè)元素也符合A中元素的特性 (4)空集：不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集記作.0，0，之間的關(guān)系：，0，0,00，03集合間的基本運(yùn)算(1)交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作AB，即ABx|xA，且xB(2)并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作AB，即ABx|xA，或xB(3)補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作UA，即UAx|xU，且xA求集合A的補(bǔ)集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實(shí)是給定的條件.從全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素構(gòu)成的集合即為UA.二、常用結(jié)論匯總規(guī)律多一點(diǎn)(1)子集的性質(zhì)：AA，A，ABA，ABB.(2)交集的性質(zhì)：AAA，A，ABBA.(3)并集的性質(zhì)：ABBA，ABA，ABB，AAA，AAA.(4)補(bǔ)集的性質(zhì)：AUAU，AUA，U(UA)A，AA，AA.(5)含有n個(gè)元素的集合共有2n個(gè)子集，其中有2n1個(gè)真子集，2n1個(gè)非空子集(6)等價(jià)關(guān)系：ABAAB；ABAAB.三、基礎(chǔ)小題強(qiáng)化功底牢一點(diǎn)(1)若x2,10,1，則x0,1.()(2)x|x1t|t1()(3)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(4)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集()(5)若AB，則AB且AB.()(6)對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，關(guān)系(AB)(AB)恒成立()(7)若ABAC，則BC.()答案：(1)×(2)(3)×(4)×(5)(6)(7)×(二)選一選1已知集合AxR|0<3x2，BxR|0x2，則AB()A0,3B1,2C0,3) D1,3解析：選C因?yàn)锳xR|0<3x2xR|1x<3，所以ABxR|0x<3.2若集合AxN|x，a2，則下面結(jié)論中正確的是()AaA BaACaA DaA解析：選D因?yàn)?不是自然數(shù)，所以aA.3(2018·全國(guó)卷)已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，則A中元素的個(gè)數(shù)為()A9 B8C5 D4解析：選A法一：將滿足x2y23的整數(shù)x，y全部列舉出來(lái)，即(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，共有9個(gè)故選A.法二：根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，易知在圓x2y23中有9個(gè)整點(diǎn)，即為集合A的元素個(gè)數(shù)，故選A.(三)填一填4若集合Ax|2<x<1，Bx|x<1或x>3，則AB_.解析：由集合交集的定義可得ABx|2<x<1答案：x|2<x<15已知集合U1,0,1，Ax|xm2，mU，則UA_.解析：Ax|xm2，mU0,1，UA1答案：1 典例(1)(2017·全國(guó)卷)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，則AB中元素的個(gè)數(shù)為()A3B2C1 D0(2)已知a，bR，若a2，ab,0，則a2 019b2 019的值為()A1 B0C1 D±1解析(1)因?yàn)锳表示圓x2y21上的點(diǎn)的集合，B表示直線yx上的點(diǎn)的集合，直線yx與圓x2y21有兩個(gè)交點(diǎn)，所以AB中元素的個(gè)數(shù)為2.(2)由已知得a0，則0，所以b0，于是a21，即a1或a1.又根據(jù)集合中元素的互異性可知a1應(yīng)舍去，因此a1，故a2 019b2 019(1)2 01902 0191.答案(1)B(2)C解題技法與集合中的元素有關(guān)的解題策略(1)確定集合中的代表元素是什么，即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集(2)看這些元素滿足什么限制條件(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)，但要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性提醒集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問(wèn)題時(shí)要特別注意題組訓(xùn)練1設(shè)集合A0,1,2,3，Bx|xA,1xA，則集合B中元素的個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選A若xB，則xA，故x只可能是0，1，2，3，當(dāng)0B時(shí)，101A；當(dāng)1B時(shí)，1(1)2A；當(dāng)2B時(shí)，1(2)3A；當(dāng)3B時(shí)，1(3)4A，所以B3，故集合B中元素的個(gè)數(shù)為1.2若集合AxR|ax23x20中只有一個(gè)元素，則a等于()A. B.C0 D0或解析：選D若集合A中只有一個(gè)元素，則方程ax23x20只有一個(gè)實(shí)根或有兩個(gè)相等實(shí)根當(dāng)a0時(shí)，x，符合題意當(dāng)a0時(shí)，由(3)28a0，得a，所以a的值為0或.3.（2018·廈門模擬）已知P=x|2<x<k,xN,若集合P中恰有3個(gè)元素，則k的取值范圍為 .解析：因?yàn)镻中恰有3個(gè)元素，所以P=3，4，5，故k的取值范圍為5<k6.答案：（5，6 典例(1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0<x<5，xN，則()ABABABCAB DBA(2)(2019·湖北八校聯(lián)考)已知集合AxN*|x23x<0，則滿足條件BA的集合B的個(gè)數(shù)為()A2 B3C4 D8(3)已知集合Ax|1<x<3，Bx|m<x<m，若BA，則m的取值范圍為_(kāi)解析(1)由x23x20得x1或x2，A1,2由題意知B1,2,3,4，比較A，B中的元素可知AB，故選C.(2)AxN*|x23x<0xN*|0<x<31,2，又BA，滿足條件BA的集合B的個(gè)數(shù)為224，故選C.(3)當(dāng)m0時(shí)，B，顯然BA.當(dāng)m>0時(shí)，因?yàn)锳x|1<x<3若BA，在數(shù)軸上標(biāo)出兩集合，如圖，所以所以0<m1.綜上所述，m的取值范圍為(，1答案(1)C(2)C(3)(，1變透練清1.若本例(2)中A不變，Cx|0<x<5，xN，則滿足條件ABC的集合B的個(gè)數(shù)為()A1B2C3 D4解析：選D因?yàn)锳1,2，由題意知C1,2,3,4，所以滿足條件的B可為1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,42.若本例(3)中，把條件“BA”變?yōu)椤癆B”，其他條件不變，則m的取值范圍為_(kāi)解析：若AB，由得m3，m的取值范圍為3，)答案：3，)3已知集合A1,2，Bx|x2mx10，xR，若BA，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)解析：若B，則m24<0，解得2<m<2；若1B，則12m10，解得m2，此時(shí)B1，符合題意；若2B，則222m10，解得m，此時(shí)B，不合題意綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為2,2)答案：2,2)解題技法判定集合間基本關(guān)系的兩種方法和一個(gè)關(guān)鍵兩種方法化簡(jiǎn)集合，從表達(dá)式中尋找兩集合的關(guān)系；用列舉法(或圖示法等)表示各個(gè)集合，從元素(或圖形)中尋找關(guān)系一個(gè)關(guān)鍵關(guān)鍵是看它們是否具有包含關(guān)系，若有包含關(guān)系就是子集關(guān)系，包括相等和真子集兩種關(guān)系 考法(一)集合的運(yùn)算典例(1)(2018·天津高考)設(shè)集合A1,2,3,4，B1,0,2,3，CxR|1x2，則(AB)C()A1,1B0,1C1,0,1 D2,3,4(2)已知全集UR，集合Ax|x23x4>0，Bx|2x2，則如圖所示陰影部分所表示的集合為()Ax|2x<4 Bx|x2或x4Cx|2x1 Dx|1x2解析(1)A1,2,3,4，B1,0,2,3，AB1,0,1,2,3,4又CxR|1x2，(AB)C1,0,1(2)依題意得Ax|x<1或x>4，因此RAx|1x4，題中的陰影部分所表示的集合為(RA)Bx|1x2答案(1)C(2)D解題技法集合基本運(yùn)算的方法技巧(1)當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時(shí)，可以通過(guò)列舉集合的元素進(jìn)行運(yùn)算，也可借助Venn圖運(yùn)算(2)當(dāng)集合是用不等式表示時(shí)，可運(yùn)用數(shù)軸求解對(duì)于端點(diǎn)處的取舍，可以單獨(dú)檢驗(yàn)(3)集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算口訣如下：交集元素仔細(xì)找，屬于A且屬于B；并集元素勿遺漏，切記重復(fù)僅取一；全集U是大范圍，去掉U中a元素，剩余元素成補(bǔ)集考法(二)根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)典例(1)已知集合Ax|x2x12>0，Bx|xm若ABx|x>4，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(4,3) B3,4C(3,4) D(，4(2)(2019·河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知A1,2,3,4，Ba1,2a，若AB4，則a()A3 B2C2或3 D3或1解析(1)集合Ax|x<3或x>4，ABx|x>4，3m4，故選B.(2)AB4，a14或2a4.若a14，則a3，此時(shí)B4,6，符合題意；若2a4，則a2，此時(shí)B3,4，不符合題意綜上，a3，故選A.答案(1)B(2)A解題技法根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)值或范圍的方法(1)將集合中的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系若集合中的元素能一一列舉，則用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系；若集合是與不等式有關(guān)的集合，則一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到(2)將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)問(wèn)題求解(3)根據(jù)求解結(jié)果來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍題組訓(xùn)練1已知集合A1,2,3，Bx|(x1)(x2)<0，xZ，則AB()A1 B1,2C0,1,2,3 D1,0,1,2,3解析：選C因?yàn)榧螧x|1<x<2，xZ0,1，而A1,2,3，所以AB0,1,2,32(2019·重慶六校聯(lián)考)已知集合Ax|2x2x10，Bx|lg x<2，則(RA)B()A. B.C. D解析：選A由題意得A，B(0,100)，則RA(，1)，所以(RA)B.3(2019·合肥質(zhì)量檢測(cè))已知集合A1，)，B，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1，) B.C. D(1，)解析：選A因?yàn)锳B，所以解得a1.1(2019·福州質(zhì)量檢測(cè))已知集合Ax|x2k1，kZ，Bx|1<x4，則集合AB中元素的個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選B依題意，集合A是由所有的奇數(shù)組成的集合，故AB1,3，所以集合AB中元素的個(gè)數(shù)為2.2設(shè)集合U1,2,3,4,5,6，A1,3,5，B3,4,5，則U(AB)()A2,6 B3,6C1,3,4,5 D1,2,4,6解析：選A因?yàn)锳1,3,5，B3,4,5，所以AB1,3,4,5又U1,2,3,4,5,6，所以U(AB)2,63(2018·天津高考)設(shè)全集為R，集合Ax|0x2，Bx|x1，則A(RB)()Ax|0x1 Bx|0x1Cx|1x2 Dx|0x2解析：選B全集為R，Bx|x1，RBx|x1集合Ax|0x2，A(RB)x|0x14(2018·南寧畢業(yè)班摸底)設(shè)集合Mx|x<4，集合Nx|x22x<0，則下列關(guān)系中正確的是()AMNM BM(RN)MCN(RM)R DMNM解析：選D由題意可得，N(0,2)，M(，4)，所以MNM.5設(shè)集合A，Bx|ln x0，則AB為()A. B1,0)C. D1,1解析：選A2x<，即212x<2，1x<，A.ln x0，即ln xln 1，0<x1，Bx|0<x1，AB.6(2019·鄭州質(zhì)量測(cè)試)設(shè)集合Ax|1<x<2，Bx|x<a，若ABA，則a的取值范圍是()A(，2 B(，1C1，) D2，)解析：選D由ABA，可得AB，又因?yàn)锳x|1<x<2，Bx|x<a，所以a2.7已知全集UAB中有m個(gè)元素，中有n個(gè)元素若AB非空，則AB的元素個(gè)數(shù)為()Amn BmnCnm Dmn解析：選D因?yàn)橹杏衝個(gè)元素，如圖中陰影部分所示，又UAB中有m個(gè)元素，故AB中有mn個(gè)元素8定義集合的商集運(yùn)算為，已知集合A2,4,6，B，則集合B中的元素個(gè)數(shù)為()A6 B7C8 D9解析：選B由題意知，B0,1,2，則B，共有7個(gè)元素9設(shè)集合Ax|x2x20，Bx|x<1，且xZ，則AB_.解析：依題意得Ax|(x1)(x2)0x|1x2，因此ABx|1x<1，xZ1,0答案：1,010已知集合UR，集合A5,2，B(1,4)，則下圖中陰影部分所表示的集合為_(kāi)解析：A5,2，B(1,4)，UBx|x1或x4，則題圖中陰影部分所表示的集合為(UB)Ax|5x1答案：x|5x111若集合A(x，y)|y3x23x1，B(x，y)|yx，則集合AB中的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)解析：法一：由集合的意義可知，AB表示曲線y3x23x1與直線yx的交點(diǎn)構(gòu)成的集合聯(lián)立得方程組解得或故AB，所以AB中含有2個(gè)元素法二：由集合的意義可知，AB表示曲線y3x23x1與直線yx的交點(diǎn)構(gòu)成的集合因?yàn)?x23x1x即3x24x10的判別式>0，所以該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以AB中含有2個(gè)元素答案：212已知集合Ax|log2x2，Bx|xa，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由log2x2，得0x4，即Ax|0x4，而B(niǎo)x|xa，由于AB，在數(shù)軸上標(biāo)出集合A，B，如圖所示，則a4.答案：(4，)13設(shè)全集UR，Ax|1x3，Bx|2<x<4，Cx|axa1(1)分別求AB，A(UB)；(2)若BCB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)由題意知，ABx|1x3x|2<x<4x|2<x3易知UBx|x2或x4，所以A(UB)x|1x3x|x2或x4x|x3或x4(2)由BCB，可知CB，畫(huà)出數(shù)軸(圖略)，易知2<a<a1<4，解得2<a<3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3)12