（全國(guó)通用版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞學(xué)案 新人教A版選修2-1

1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解全稱量詞與存在量詞的含義.2.理解并掌握全稱命題和特稱命題的概念.3.能判定全稱命題與特稱命題的真假，并掌握其判定方法知識(shí)點(diǎn)一全稱量詞、全稱命題思考觀察下面的兩個(gè)語句，思考下列問題：P：m5；Q：對(duì)所有的mR，m5.上面的兩個(gè)語句是命題嗎？二者之間有什么關(guān)系？答案語句P無法判斷真假，不是命題；語句Q在語句P的基礎(chǔ)上增加了“所有的”，可以判斷真假，是命題語句P是命題Q中的一部分梳理(1)全稱量詞及全稱命題的概念短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題(2)表示將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，表示，變量x的取值范圍用M表示那么，全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為xM，p(x)，讀作“對(duì)任意x屬于M，有p(x)成立”(3)全稱命題的真假判定要判定全稱命題是真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x，證明p(x)成立，但要判定全稱命題是假命題，只需舉出一個(gè)x0M，使得p(x0)不成立即可知識(shí)點(diǎn)二存在量詞、特稱命題思考找出下列命題的共同特征，并判斷其真假(1)存在x0R，x0；(2)有些三棱錐是正四面體答案所給命題都是真命題，它們都表示“存在”的意思梳理(1)存在量詞及特稱命題的要命短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示含有存在量詞的命題，叫做特稱命題(2)表示特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為x0M，p(x0)，讀作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”(3)特稱命題的真假判定要判定一個(gè)特稱命題是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題(1)“有些”“某個(gè)”“有的”等短語不是存在量詞(×)(2)全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”()(3)全稱命題中一定含有全稱量詞，特稱命題中一定含有存在量詞(×)類型一判斷命題的類型例1將下列命題用“”或“”表示(1)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)；(2)方程ax22x10(a1)至少存在一個(gè)負(fù)根；(3)若直線l垂直于平面內(nèi)任一直線，則l.考點(diǎn)量詞與命題題點(diǎn)全稱(特稱)命題的符號(hào)表示解(1)xR，x20.(2)x00，ax2x010(a1)(3)若a，la，則l.反思與感悟判斷一個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題的關(guān)鍵是看量詞由于某些全稱命題的量詞可能省略，所以要根據(jù)命題表達(dá)的意義判斷，同時(shí)要會(huì)用相應(yīng)的量詞符號(hào)正確表達(dá)命題跟蹤訓(xùn)練1判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題(1)梯形的對(duì)角線相等；(2)存在一個(gè)四邊形有外接圓；(3)二次函數(shù)都存在零點(diǎn)；(4)過兩條平行線有且只有一個(gè)平面考點(diǎn)量詞與命題題點(diǎn)全稱(存在)量詞的識(shí)別解命題(1)完整的表述應(yīng)為“所有梯形的對(duì)角線相等”，很顯然為全稱命題命題(2)為特稱命題命題(3)完整的表述為“所有的二次函數(shù)都存在零點(diǎn)”，故為全稱命題命題(4)是命題“過任意兩條平行線有且只有一個(gè)平面”的簡(jiǎn)寫，故為全稱命題類型二判斷命題的真假例2判斷下列命題的真假(1)xR，x2x1；(2)，cos()cos cos ；(3)存在一個(gè)函數(shù)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)；(4)每一條線段的長(zhǎng)度都能用正有理數(shù)表示；(5)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使等式xx080成立考點(diǎn)特稱(全稱)命題的真假性判斷題點(diǎn)特稱(全稱)命題真假的判斷解(1)真命題，x2x1x2x20，x2x1恒成立(2)真命題，例如，符合題意(3)真命題，函數(shù)f(x)0既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)(4)假命題，如：邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，它的長(zhǎng)度就不是有理數(shù)(5)假命題，因?yàn)樵摲匠痰呐袆e式310，故無實(shí)數(shù)解反思與感悟要判定全稱命題“xM，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x，證明p(x)都成立；如果在集合M中找到一個(gè)元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個(gè)全稱命題就是假命題要判定特稱命題“x0M，p(x0)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個(gè)特稱命題就是假命題跟蹤訓(xùn)練2判斷下列命題的真假(1)有一些奇函數(shù)的圖象過原點(diǎn)；(2)x0R,2xx01<0；(3)xR，sin xcos x.考點(diǎn)特稱(全稱)命題的真假性判斷題點(diǎn)特稱(全稱)命題真假的判斷解(1)該命題中含有“有一些”，是特稱命題如yx是奇函數(shù)，其圖象過原點(diǎn)，故該命題是真命題(2)該命題是特稱命題2xx0122>0，不存在x0R，使2xx01<0.故該命題是假命題(3)該命題是全稱命題sin xcos xsin恒成立，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，sin xcos x都成立，故該命題是真命題類型三利用全稱命題和特稱命題求參數(shù)的值或取值范圍例3已知下列命題p(x)為真命題，求x的取值范圍(1)命題p(x)：x1>x；(2)命題p(x)：x25x6>0；(3)命題p(x)：sin x>cos x.考點(diǎn)全稱命題的真假性判斷題點(diǎn)恒成立求參數(shù)的取值范圍解(1)x1>x，1>0(此式恒成立)，xR.(2)x25x6>0，(x2)(x3)>0，x>3或x<2.(3)sin x>cos x，2k<x<2k(kZ)反思與感悟已知含量詞的命題真假求參數(shù)的取值范圍，實(shí)質(zhì)上是對(duì)命題意義的考查解決此類問題，一定要辨清參數(shù)，恰當(dāng)選取主元，合理確定解題思路解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)含量詞命題的真假轉(zhuǎn)化為相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，利用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)求解參數(shù)的取值范圍，解題過程中要注意變量取值范圍的限制跟蹤訓(xùn)練3已知命題p：“x0R，sin x0m”，命題q：“xR，x2mx10恒成立”，若p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍考點(diǎn)簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由含量詞的復(fù)合命題的真假求參數(shù)的取值范圍解因?yàn)椤皒0R，sin x0m”是真命題，所以m1.又因?yàn)椤皒R，x2mx10恒成立”是真命題，所以m240，解得2m2.又p，q均為真命題，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,2).1下列命題中，是正確的全稱命題的是()A對(duì)任意的a，bR，都有a2b22a2b20B菱形的兩條對(duì)角線相等Cx0，x0D對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)考點(diǎn)全稱量詞與全稱命題題點(diǎn)全稱命題的識(shí)別答案D2下列命題中，既是真命題又是特稱命題的是()A存在一個(gè)，使tan(90°)tan B存在實(shí)數(shù)x0，使sin x0C對(duì)一切，sin(180°)sin D對(duì)任意，sin()sin cos cos sin 考點(diǎn)特稱命題的真假性判斷題點(diǎn)特稱命題真假的判斷答案A3命題“有些負(fù)數(shù)滿足不等式(1x)(19x)0”用“”或“”可表述為_考點(diǎn)存在量詞與特稱命題題點(diǎn)特稱命題的符號(hào)表示答案x00，(1x0)(19x0)04用量詞符號(hào)“”“”表述下列命題，并判斷真假(1)所有實(shí)數(shù)x都能使x2x10成立；(2)對(duì)所有實(shí)數(shù)a，b，方程axb0恰有一個(gè)解；(3)一定有整數(shù)x，y，使得3x2y10成立；(4)所有的有理數(shù)x都能使x2x1是有理數(shù)考點(diǎn)量詞與命題題點(diǎn)全稱(特稱)命題的符號(hào)表示解(1)xR，x2x10；真命題(2)a，bR，axb0恰有一解；假命題(3)x0，y0Z,3x02y010；真命題(4)xQ，x2x1是有理數(shù)；真命題利用含量詞的命題的真假求參數(shù)取值范圍的技巧(1)轉(zhuǎn)化為恒成立問題：含參數(shù)的全稱命題為真時(shí)，常轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題來處理，最終通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題(2)轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題：含參數(shù)的特稱命題為真時(shí)，常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題來處理，最終借助根的判別式或函數(shù)等相關(guān)知識(shí)獲得解決一、選擇題1下列說法正確的個(gè)數(shù)是()命題“所有的四邊形都是矩形”是特稱命題；命題“xR，x220”是全稱命題；命題“x0R，x4x040”是特稱命題A0 B1 C2 D3考點(diǎn)量詞與命題題點(diǎn)特稱(全稱)命題的識(shí)別答案C解析只有正確2以下四個(gè)命題既是特稱命題又是真命題的是()A銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x20C兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)D存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使2考點(diǎn)存在量詞與特稱命題題點(diǎn)特稱命題的真假判斷答案B3已知命題“x0R，使2x(a1)x00”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1) B(1,3)C(3，) D(3,1)考點(diǎn)特稱命題的真假性判斷題點(diǎn)由特稱命題真假性求參數(shù)的取值范圍答案B解析原命題的否定為xR,2x2(a1)x>0，由題意知，原命題的否定為真命題，則(a1)24×2×<0，則2<a1<2，則1<a<3.故選B.4已知命題“x0R，xax04a<0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A16,0 B(16,0) C4,0 D(4,0)考點(diǎn)特稱命題的真假性判斷題點(diǎn)由特稱命題真假性求參數(shù)的取值范圍答案A解析由題意可知“xR，x2ax4a0”為真命題，a216a0，解得16a0，故選A.5下面命題是真命題的是()AxR，x3xBx0R，x12x0Cxy0，xy2Dx0，y0R，sin(x0y0)sin x0sin y0考點(diǎn)量詞與命題題點(diǎn)全稱(特稱)命題的真假性判斷答案D6若“x，cos xm”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為()A B C. D.考點(diǎn)全稱命題的真假性判斷題點(diǎn)恒成立求參數(shù)的取值范圍答案C7下列全稱命題中真命題的個(gè)數(shù)為()負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，都有a2b22ab；二次函數(shù)f(x)x2ax1與x軸恒有交點(diǎn)；xR，yR，都有x2|y|>0.A1 B2 C3 D4考點(diǎn)全稱量詞與全稱命題題點(diǎn)全稱命題的真假性判斷答案C解析為真命題；當(dāng)xy0時(shí)，x2|y|0，為假命題二、填空題8若“x，tan xm”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為_考點(diǎn)全稱命題的真假性判斷題點(diǎn)恒成立求參數(shù)的取值范圍答案1解析x，tan x1，m1，故實(shí)數(shù)m的最小值為1.9已知命題p：c0，y(3c)x在R上為減函數(shù)，命題q：xR，x22c30.若p，q均為真命題，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為_考點(diǎn)全稱命題的真假性判斷題點(diǎn)恒成立求參數(shù)的取值范圍答案(2,3)解析由于pq為真命題，所以p，q都是真命題，所以解得2c3.故實(shí)數(shù)c的取值范圍為(2,3)10若命題“x0R，axax010”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_考點(diǎn)特稱命題的真假性判斷題點(diǎn)由特稱命題真假性求參數(shù)的取值范圍答案0,4)解析由題意知，xR，ax2ax10恒成立，當(dāng)a0時(shí)，10恒成立，滿足條件；當(dāng)a0時(shí)，若ax2ax10恒成立，則解得0a4.綜上所述a0,4)11有下列四個(gè)命題：p1：x0(0，)， ；p2：x0(0,1)，；p3：x(0，)，；p4：x，其中為真命題的是_考點(diǎn)量詞與命題題點(diǎn)全稱(特稱)命題的真假性判斷答案p2，p4解析因?yàn)閮绾瘮?shù)yx(0)在(0，)上是增函數(shù)，所以命題p1是假命題；因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)ylogax(0a1)是減函數(shù)，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，0logxlogx，所以0，即，所以命題p2是真命題；因?yàn)楹瘮?shù)y在(0，)上單調(diào)遞減，所以有0y1，當(dāng)x(0,1時(shí)，y0，當(dāng)x(1，)時(shí)，y0，所以命題p3是假命題；因?yàn)楹瘮?shù)y在上單調(diào)遞減，所以有0y1，而函數(shù)y在上的函數(shù)值y1，所以命題p4是真命題三、解答題12判斷下列命題是否為全稱命題或特稱命題，若是，用符號(hào)表示，并判斷其真假(1)存在一條直線，其斜率不存在；(2)對(duì)所有的實(shí)數(shù)a，b，方程axb0都有唯一解；(3)存在實(shí)數(shù)x0，使得2.考點(diǎn)全稱(特稱)命題的真假性判斷題點(diǎn)全稱(特稱)命題的真假性判斷解(1)是特稱命題，用符號(hào)表示為“直線l，l的斜率不存在”，是真命題(2)是全稱命題，用符號(hào)表示為“a，bR，方程axb0都有唯一解”，是假命題(3)是特稱命題，用符號(hào)表示為“x0R，2”，是假命題13已知命題p：“x1,2，x2a0”，命題q：“x0R，x2ax02a0”，若命題p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)命題的真假性判斷題點(diǎn)由命題真假求參數(shù)的取值范圍解若p為真命題，則ax2對(duì)于x1,2恒成立，所以a1.若q為真命題，則關(guān)于x的方程x22ax2a0有實(shí)根，所以4a24(2a)0，即a1或a2.又p，q均為真命題，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a2或a1.四、探究與拓展14下列四個(gè)命題：沒有一個(gè)無理數(shù)不是實(shí)數(shù)；空集是任何一個(gè)非空集合的真子集；11<2；至少存在一個(gè)整數(shù)x，使得x2x1是整數(shù)其中是真命題的為()A B C D考點(diǎn)量詞與命題題點(diǎn)特稱(全稱)命題的真假性判斷答案C解析所有無理數(shù)都是實(shí)數(shù)，為真命題；顯然為真命題；顯然不成立，為假命題；取x1，能使x2x11是整數(shù)，為真命題15已知f(x)log2t，t，8，若命題“對(duì)于函數(shù)f(t)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式x2mx42m4x恒成立”為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍考點(diǎn)全稱命題的真假性判斷題點(diǎn)恒成立求參數(shù)的取值范圍解易知f(t).由題意知，令g(m)(x2)mx24x4(x2)m(x2)2，則g(m)0對(duì)任意m恒成立，所以即解得x2或x1.故實(shí)數(shù)x的取值范圍是(，1)(2，).11