八年級數學下學期 7.2《用配方法解一元二次方程》教案 魯教版

八年級數學下學期 7.2用配方法解一元二次方程教案 魯教版 一、素質教育目標 （一）知識儲備點 理解并掌握一元二次方程的配方法，能正確、熟練地運用配方法解一元二次方程，并使學生真正理解配方法的整個過程在理解的基礎上，牢牢記住配方的關鍵是“添加的常數項等于一次項系數一半的平方” （二）能力培養(yǎng)點 通過配方法的整個過程的理解培養(yǎng)學生按規(guī)循律分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生觀察、類比、歸納思維的能力，切實提高學生解方程的能力 （三）情感體驗點 使學生按照配方法的步驟一步一步地解方程讓學生形成有條不紊的學習習慣，按照規(guī)律辦事的思想觀念，養(yǎng)成良好的品德修養(yǎng)，為將來的人生打下扎實的基礎 二、教學設想 1重點：用配方法解一元二次方程 2難點：真正理解配方法的整個過程 3疑點：為什么要用配方法解一元二次方程 4課型與基本教學思路：新授課本節(jié)課通過將一元二次方程變形，運用直接開平方的方法解方程，形成解一元二次方程的一個重要方法配方法，并能運用配方法解一元二次方程 三、媒體平臺 1教具、學具準備：自制投影膠片 2多媒體課件擷英： 【注意】 課件要根據實際需要進行適當修改 四、課時安排 課時 五、教學步驟 （一）教學流程 1情境導入 解方程：x2+2x=5；x2-4x+3=0能否經過適當的變形，將它們轉化為（ ）2a的形式，應用直接開平方法求解？ 2課前熱身 提問：（1）什么是一元二次方程的一般形式？（2）什么是一元二次方程的直接開平方法？（3）什么是一元二次方程的因式分解法？ 3合作探究 （1）整體感知：學生按照要求解 原方程轉化為x2+2x+1=6，（x+1）2=6，x+1=±，解得x=-1+，x=-1- x2-4x+4=-3+4，（x-2）2=1，所以x-2=±1，解得x1=3，x2=1 教師歸納概括：上面我們把方程x2-4x+3=0變形為（x-2）2=1，它的左邊是一個含有未知數的完全平方式，右邊是一個非負常數，這樣能應用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法 （2）師生互動 互動1 提出配方時方程兩邊同時加上的常數是如何確定的？你能發(fā)現什么規(guī)律？ 明確 配方時，化二次項系數為1，通過變形，方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，將左邊配成一個完全平方式，是配方法整個過程的重點 互動2 配方法是一個重要的數學方法，它在很多地方有重要的應用，我們能總結出配方法的步驟嗎？ 明確 配方法的一般步驟是：（1）方程兩邊同除以二次項系數，將二次項系數化為1；（2）移項，使方程左邊為二次項、一次項，右邊為常數項；（3）配方，方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，使方程左邊為一個完全平方式，右邊是一個常數的形式；（4）如果右邊是非負數，兩邊直接開平方解這個一元二次方程 互動3 我們能否對x2+px+q=0用配方法進行因式分解？讓學生自己完成，看誰又快又正確明確 對于含有字母已知數的因式分解，移項得x2+px=-q，配方得（x+）2=，x+=或x+=，所以，x1=-+，x2=-，為下節(jié)課ax2+bx+c=0（a0）通過配方法推出一元二次方程的根，打下知識基礎 4達標反饋 （1）填空題： x2-2x+（ 1 ）=x+（ -1 ）2； x2+6x+（ 9 ）=x-（ -3 ）2； x2-5x+ =（x- ）2； x2+2mx+ m2 =（x+ m ）2； x-3mx+m2 =（x- m ）2 用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0，變形為（x+m）2=k，則m=，k= （2）解答題： 用配方法解下列方程： x2-2x-5=0； x2+x-1=0； x2+x-=0； x2-2+1=0；【答案】 x1=1-，x2=1+ x1=-+，x=- x1=-，x2= x1=1+，x2=1- 用配方法將下列各式化成a（x+h）2+k的形式 -3x2-2x+1； x2-x+1； y2+y-2； ax2+bx+c（a0）；【答案】 -3（x+）2+ （x-）2+ （y+）2- a（x+）2+ 5學習小結 （1）引導學生作知識總結：本節(jié)課學習了什么叫配方法，怎樣運用配方法解一元二次方程，按照配方法的四個步驟正確、熟練地求一元二次方程的解 （2）教師擴展：（方法歸納）用配方法解一元二次方程的關鍵是：方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，但前提是二次項系數化為1，配方法的理論根據是直接開平方法 （二）拓展延伸 1鏈接生活 鏈接一：如果一個一元二次方程有兩個不相等的實數根，應當怎樣表示？ 解答：這兩個根的值分別為m、n（mn），那么可以表示為以下三種形式： （1）x1=m，x2=n； （2）x=m，或x=n（逗號可以省去）； （3）x=m，和x=n 注意不要用“x1=m，或x2=n”這種形式，不能用“x1=m，且x2=n”這種形式 鏈接二：在什么情況下，解方程會出現增根？ 解答：我們知道，在方程兩邊可以加上（或減去）同一個數或整式，也可以乘以（或除以）同一個非零數；從方程的每一項（不管是否為整式），都可以在改變符號后，從方程的一邊移到另一邊對于方程進行以上三種變形后，都不會出現增根 那么，什么情況下會出現增根呢？在初中代數里遇到的以下情況時，就有可能產生增根： （1）在方程兩邊都乘以0，所得的新方程必然有無限多個根 （2）在方程兩邊乘以同一個含未知數的整式例如在方程x-1=0的兩邊都乘以（x-2），所得的新方程就產生一個增根x=2 （3）將方程兩邊乘同次方，例如將方程x+1=2兩邊平方，所得的新方程（x+1）2=4就產生一個增根x=-3 2鞏固練習 （1）選擇題： 的值等于 （C） A2-3 B3-2 C1 D3 （2）填空題： x2-bx+=（x-）2； x2-（m+n）x+=（x-）2； y2+y+=（y+）2； 當a= -4 時，二次三項式ax2+ax-1是一個完全平方式 （3）解答題： 已知關于x的方程（ax+b）2=c有實數解 a、b、c應各取怎樣的實數？ 求方程的兩個實數根？ 【答案】 a0，b為一切實數，c0 x1=，x2=- 用配方法解下列方程： x2-10x+24=0； x2-8x+15=0； x2+2x-99=0； y2+5y+2=0； 2x2+x-30=0； x2+px+q=0（p2-4q>0）； -x2+2x+3=0； ax2+x-2=0（a>0）； ax2+ax-2=0（a>0）【答案】 x1=4，x2=6 x1=5，x2=3 x1=9，x2=-11 x1=-，x2=- x1=，x2=-3 x1=-，x2=- x1=3，x2=-1 x1=，x2= x=。 3用配方法證明：無論x為何實數，代數式x2-4x+4.5的值恒大于零 （三）板書設計 §222 一元二次方程的解法 2一元二次方程的解法 配方法：_ 例題講解：_ 配方法的步驟：_ 學生練習：_ 配方法的注意事項：_ 六、資料下載配方法在解題中的應用 配方法是數學中的一個重要方法，在解題中有廣泛的應用本文通過例題談談它的一些應用 一、應用于因式分解 例1 分解因式x4+4 解 配方，得 原式x4+4x2+4-4x2=（x2+2）2-（2x）2 （x2+2x+2）（x2-2x+2） 例2 分解因式a2-4ab+3b2-2bc-c2 解 原式（a2-4ab+4b2）-（b2+2bc+c2） （a-2b）2-（b+c）2 （a-b+c）（a-3b-c） 二、應用于解方程 例3 解方程3x2+4y2-12x-8y+16=0 解 分別對x、y配方，得 3（x2-4x+4）+4（y2-2y+1）=0， 3（x-2）2+4（y-1）2=0 由非負數的性質，得 例4 解方程（x2+2）（y2+4）（z2+8）=64xyz（x、y、z均是正實數） 解 原方程變形，得 x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz=0 各自配方，得 （xyz-8）2+2（4x-yz）2+4（2y-xz）2+8（z-xy）2=0 由非負數的性質，得 解得 運用配方法可為應用非負數的性質創(chuàng)造條件，解題中應注意掌握 三、應用于求二次函數的最值 例5 已知x是實數，求y=x2-4x+5的最小值 解 由配方，得 y=x2-4x+4-4+5=（x-2）2+1 x是實數，（x-2）20，當x-2=0，即x=2時，y最小，y最小=1 例6 已知二次函數y=x2-6x+c的圖象的頂點與坐標原點的距離等于5，求c的值 解 因為y=x2-6x+c=x2-6x+9-9+c=（x-3）2+c-9， 所以這個二次函數的頂點坐標為（3，c-9），它與坐標原點的距離是 5，由此解得c=5或c=13 四、應用于求代數式的值 例7 已知a（a0），求的值 解 因為a（a0），所以=，即x+1=， x+=-1 x2+=（x+）2-2， =x2+1=（x+）2+1-2 =（-1）2-1= 本題聯合應用了倒數法和配方法使問題得解倒數法是一種解題技巧，解題時注意應用 例8 如果a2+b2-4a-2a+5=0，求的值 解 由已知條件，分別對a、b配方，得 （a2-4a+4）+（b2-2b+1）=0， （a-2）2+（b-1）2=0 由非負數的性質，得a-2=0，b-1=0 a=2，b=1 =3+3 五、判定幾何圖形的形狀 例9 已知a、b、c是ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判定ABC是正三角形 證明 由已知等式兩邊乘以2，得 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0， 拆項、配方，得 （a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0 由非負數的性質，得 a-b=0，b-c=0，c-a=0， a=b，b=c，c=a，a=b=c 故ABC是等邊三角形