（江蘇專版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第五章 平面向量 第27講 平面向量基本定理及坐標運算學案 理

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1、 第27講　平面向量的概念與線性運算 考試要求　1.向量的實際背景(A級要求)；2.平面向量的概念、兩向量相等的含義、向量的幾何表示(B級要求)；3.向量加法、減法及數(shù)乘運算(B級要求)；4.兩個向量共線的含義(B級要求)；5.向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義(A級要求). 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)零向量與任意向量平行.(　　) (2)若a∥b，b∥c，則a∥c.(　　) (3)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上.(　　) (4)當兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立.(　　) (5)在△ABC中，D

2、是BC中點，則＝(＋).(　　) 解析　(2)若b＝0，則a與c不一定平行. (3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A，B，C，D四點不一定在一條直線上. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2.(必修4P62習題5改編)給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量與相等.則所有正確命題的序號是________. 解析　根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；向量與互為相反向量，故③錯誤. 答案?、? 3.(2018·贛榆高級

3、中學月考)設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則＋＋＋＝λ，則λ＝________. 解析　因為M為平行四邊形ABCD對角線的交點，所以M為AC，BD的中點，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝λ＝4，所以λ＝4. 答案　4 4.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于________. 解析　∵＝＋＝＋， ∴2＝＋，即＝＋. 故λ＋μ＝＋＝. 答案　 5.(2015·全國Ⅱ卷)設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________. 解析　∵向

4、量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則得解得λ＝μ＝. 答案　 知 識 梳 理 1.向量的有關概念 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或模) 平面向量是自由向量 零向量 長度為零的向量；其方向是任意的 記作0 單位向量 長度等于1個單位的向量 非零向量a的單位向量為± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0與任一向量平行或共線 共線向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量 相等向量 長度相等且方向相同的

5、向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 2.向量的線性運算 向量運算 定　義 法則(或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ＞0時，λa的方 向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (

6、λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa. 考點一　平面向量的概念 【例1】 給出下列四個命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b； ②若A，B，C，D是不共線的四點，則“＝”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件； ③若a＝b，b＝c，則a＝c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正確命題的序號是________. 解析?、俨徽_.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同； ②正確.∵＝，∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共線的四點， ∴四

7、邊形ABCD為平行四邊形； 反之，若四邊形ABCD為平行四邊形， 則∥且||＝||，∴＝； ③正確.∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同， ∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c； ④不正確.當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件. 綜上所述，正確命題的序號是②③. 答案?、冖? 規(guī)律方法　向量有關概念的關鍵點 (1)向量定義的關鍵是方向和長度. (2)非零共線向量的關鍵是方向相同或相反，長度沒有限制. (3)相等向量的關鍵是方向相同且長度相等

8、. (4)單位向量的關鍵是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度. (5)零向量的關鍵是方向沒有限制，長度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線. 【訓練1】 給出下列說法： ①有向線段就是向量，向量就是有向線段； ②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反； ③兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小. 其中正確的說法是________(填序號). 解析?、俨徽_，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量； ②不正確，若a與b中有一個為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反； ③正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大?。幌蛄康哪＞?/p>

9、為實數(shù)，可以比較大小. 答案?、? 考點二　平面向量的線性運算 【例2】 (1)(2018·南京模擬)在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點，且AP＝AB，BQ＝BC.用，表示，則＝________. (2)(2013·江蘇卷)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________. 解析　(1)＝＋＝＋＝＋ (－)＝＋. (2)由題意作圖如圖. ∵在△ABC中，＝＋＝＋＝＋(－) ＝－＋＝λ1＋λ2， ∴λ1＝－，λ2＝. 故λ1＋λ2＝. 答案　(1)＋　(2) 規(guī)律方法

10、　(1)解題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化. (2)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結(jié)果. 【訓練2】 (1)如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個靠近B點的三等分點，那么＝________(用，表示). (2)(2018·泰州模擬)設D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，則λ＝________. 解析　(1)在△CEF中，有＝＋. 因為點E為DC的中點，所以＝. 因為點F為BC的一個靠近B點的三等分點， 所以＝.

11、 所以＝＋＝＋ ＝－. (2)由＝－＋，可得3＝－＋4，即4－4＝－，則4＝，即＝－4，可得＋＝－3，故＝－3， 則λ＝－3. 答案　(1)－　(2)－3 考點三　共線向量定理及其應用(多維探究) 命題角度1　定理的理解 【例3－1】 下列敘述錯誤的是________(填序號). ①若a∥b，b∥c，則a∥c； ②若非零向量a與b方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同； ③|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同； ④向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa； ⑤＋＝0； ⑥若λa＝λb，則a＝b. 解析　對于①，當b＝0時，a不一定

12、與c平行. 對于②，當a＋b＝0時，其方向任意，它與a，b的方向都不相同. 對于③，當a，b之一為零向量時結(jié)論不成立. 對于④，當a＝0且b＝0時，λ有無數(shù)個值；當a＝0但b≠0或a≠0但b＝0時，λ不存在. 對于⑤，由于兩個向量之和仍是一個向量， 所以＋＝0. 對于⑥，當λ＝0時，不管a與b的大小與方向如何，都有λa＝λb，此時不一定有a＝b. 故①②③④⑥均錯. 答案?、佗冖邰堍? 命題角度2　應用定理求參數(shù)的值 【例3－2】 (2018·鹽城模擬)如圖，經(jīng)過△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設＝m，＝n，m，n∈R，則＋的值為________.

13、解析　設＝a，＝b，由題意知＝×(＋)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b，由P，G，Q三點共線，得存在實數(shù)λ使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb， 從而消去λ，得＋＝3. 答案　3 命題角度3　應用定理證明共線問題 【例3－3】 設兩個向量 a與b不共線. (1)試證：起點相同的三個向量a，b，3a－2b的終點在同一條直線上(a≠b)； (2)求實數(shù)k，使得ka＋b與2a＋kb共線. (1)證明　設＝a，＝b，＝3a－2b. 因為＝－＝(3a－2b)－a＝2(a－b)， ＝－＝b－a， 所以＝－2，故，共線. 又，有公共起點A，所以A，B，C在同一條直線上. (

14、2)解　因為ka＋b與2a＋kb共線， 所以設ka＋b＝λ(2a＋kb)，λ∈R，即ka＋b＝2λa＋kλb， 又a與b不共線，所以所以k＝±. 規(guī)律方法　(1)向量a，b共線是指存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當且僅當λ1＝λ2＝0時成立，則向量a，b不共線. (2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線. (3)對于三點共線有以下結(jié)論：對于平面上的任一點O，，不共線，滿足＝x＋y(x，y∈R)，則P，A，B共線?x＋y＝1. 【訓練3】 設兩個非零向量

15、a與b不共線. (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求證：A，B，D三點共線； (2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線. (1)證明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b). ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共線，又它們有公共點B， ∴A，B，D三點共線. (2)解　∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ， 使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb， ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是不共線的兩個非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. 一、必做題 1.

16、(教材改編)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c為已知向量，則未知向量y＝________. 解析　由2－(c＋b－3y)＋b＝0， 得2y－a－c－b＋y＋b＝0， 即y－a－c＋b＝0， 所以y＝a－b＋c. 答案　a－b＋c 2.(教材改編)已知實數(shù)m，n和向量a，b，給出下列命題： ①m(a－b)＝ma－mb； ②(m－n)a＝ma－na； ③若ma＝mb，則a＝b； ④若ma＝na(a≠0)，則m＝n. 其中正確的命題是________(填序號). 解析　若m＝0，則ma＝mb＝0，但a與b不一定相等，故③不正確. 答案　①②④ 3.(2018·

17、徐州模擬)已知a，b是兩個非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說法正確的是________(填序號). ①a＋b＝0； ②a＝b； ③a與b共線反向； ④存在正實數(shù)λ，使a＝λb. 解析　因為a，b是兩個非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則a與b共線同向，故④正確. 答案?、? 4.(2018·新海高級中學月考)設a，b是兩個不共線的向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點共線， 則實數(shù)p的值為________. 解析　由＝a＋b，＝a－2b，可得＝＋＝a＋b＋a－2b＝2a－b. 因為A，B，D三點共線，所以存在實數(shù)λ滿足＝λ，即2a＋pb＝

18、λ(2a－b)， 所以解得p＝－1. 答案?。? 5.(2018·徐州四校聯(lián)考)在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若＝2，＝＋λ，則λ＝________. 解析　由＝2， 由＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋， 結(jié)合＝＋λ，知λ＝. 答案　 6.(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)如圖，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，＝2，設∥，若＝＋λ(λ∈R)，則λ的值為________. 解析　因為＝2，所以＝＋＝＋.因為CD ∥，所以設＝m，從而＝＋＝＋＋＝＋.因為＝ ＋λ，所以＝，λ＝1＋＝. 答案　 7.(2017·鹽阜中學檢測)設D是△ABC所在平面內(nèi)一點，且＝3，設＝

19、x＋y，則x＋y＝________. 解析　畫出圖形，如圖所示： ∵＝3， ∴＝＋＝， ∴＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋， ∴x＝－，y＝， ∴x＋y＝1. 答案　1 8.(2017·無錫一中質(zhì)檢)在△ABC中，D在線段BC上，＝2.若＝m＋n，則＝________. 解析　因為＝＋，＝＋，＝2， 所以＝＋＝m＋n， 所以m＝，n＝，所以＝. 答案　 9.已知△ABC和點M滿足＋＋＝0，若存在實數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝________. 解析　由已知條件得＋＝－，如圖，延長AM交BC于D點，則D為BC的中點.延長BM交AC于E點，延長CM交AB于F點，同理可證E，F(xiàn)

20、分別為AC，AB的中點，即M為△ABC的重心，∴＝＝(＋)，即＋＝3，則m＝3. 答案　3 10.已知O，A，B是不共線的三點，且＝m＋n(m，n∈R). (1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線； (2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1. 證明　(1)若m＋n＝1， 則＝m＋(1－m)＝＋m(－)， ∴－＝m(－)， 即＝m，∴與共線. 又∵與有公共點B，則A，P，B三點共線， (2)若A，P，B三點共線，則存在實數(shù)λ，使＝λ， ∴－＝λ(－). 又＝m＋n. 故有m＋(n－1)＝λ－λ， 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0. ∵O，A，B不共線，∴

21、，不共線， ∴∴m＋n＝1. 二、選做題 11.O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的________(從“外心”“內(nèi)心”“重心”“垂心”中選填一個). 解析　作∠BAC的平分線AD. ∵＝＋λ， ∴＝λ ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，∴＝·， ∴∥.∴P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心. 答案　內(nèi)心 12.(2018·如東高級中學期中)已知P是△ABC內(nèi)一點，且＋2＋3＝0，設Q為CP的延長線與AB的交點，令＝p，用p表示. 解　∵＝＋，＝＋， ∴(＋)＋2(＋)＋3＝0， 即＋3＋2＋3＝0. 又∵A，Q，B三點共線，C，P，Q三點共線， ∴設＝λ，＝μ. ∴λ＋3＋2＋3μ＝0， ∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0， 又∵，為不共線的向量， ∴ 解得λ＝－2，μ＝－1， ∴＝－＝，故＝＋＝2＝2p. 13