（全國版）2019版高考數學一輪復習 第7章 立體幾何 第5講 直線、平面垂直的判定及性質學案

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1、 第5講　直線、平面垂直的判定及性質 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　直線與平面垂直 1．直線和平面垂直的定義 直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直． 2．直線與平面垂直的判定定理 3．直線與平面垂直的性質定理 考點2　平面與平面垂直 1．平面與平面垂直的判定定理 2．平面與平面垂直的性質定理 [必會結論] 直線與平面垂直的五個結論 (1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內的任意直線． (2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面． (3)垂直于同一

2、條直線的兩個平面平行． (4)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直． (5)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直． [考點自測]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)垂直于同一個平面的兩平面平行．(　　) (2)若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行．(　　) (3)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數條直線，則α⊥β.(　　) (4)二面角是指兩個相交平面構成的圖形．(　　) (5)若兩個平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面．(　　) 答案　(1)×　

3、(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．[2018·浙江模擬]設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題正確的是(　　) A．若m⊥n，n∥α，則m⊥α B．若m∥β，β⊥α，則m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α 答案　C 解析　對于選項A，B，D，均能舉出m⊥α的反例；對于選項C，若m⊥β，n⊥β，則m∥n，又n⊥α，∴m⊥α.故選C. 3．[課本改編]若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題正確的是(　　) A．若m?β，α⊥β，則m⊥α B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n

4、，則α∥β C．若m⊥β，m∥α，則α⊥β D．若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ 答案　C 解析　A中m與α的位置關系不確定，故錯誤；B中α，β可能平行或相交，故錯誤；由面面垂直的判定定理可知C正確；D中β，γ平行或相交 ，所以D錯誤．故選C. 4．在如圖所示的四個正方體中，能得出AB⊥CD的是(　　) 答案　A 解析　A中，CD⊥AB；B中，AB與CD成60°角；C中，AB與CD成45°角；D中，AB與CD夾角的正切值為.故選A. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　有關垂直關系的判斷　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　[2017·廣州模擬]設m，n是兩條不同

5、的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n 答案　B 解析　若α⊥β，m?α，n?β，則m與n相交、平行或異面，故A錯誤； ∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正確； 若m⊥n，m?α，n?β，則α與β的位置關系不確定，故C錯誤； 若α∥β，m?α，n?β，則m∥n或m，n異面，故D錯誤．故選B. 觸類旁通 判斷垂直關系需注意的問題 (1)作圖要熟練，借助

6、幾何圖形來說明線面關系要做到作圖快、準． (2)善于尋找反例，若存在反例，結論就被駁倒了． (3)要思考完整，反復驗證所有可能的情況，必要時要運用判定或性質定理進行簡單說明． 【變式訓練1】　[2018·北京東城模擬]已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是(　　) A．α⊥β，且m?α B．m∥n，且n⊥β C．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β 答案　B 解析　因為α⊥β，m?α，則m，β的位置關系不確定，可能平行、相交、m在β面內，故A錯誤；由線面垂直的性質定理可知B正確；若α⊥β，m∥α，則m，β的位置關系也不

7、確定，故C錯誤；若m⊥n，n∥β，則m，β的位置關系也不確定，故D錯誤．故選B. 考向　直線與平面垂直的判定與性質　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 命題角度1　利用線線垂直證明線面垂直 例2　[2018·湖北宜昌模擬]在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝ BB1，E，F，M分別為A1C1，AB1，BC的中點． (1)求證：EF∥平面BB1C1C； (2)求證：EF⊥平面AB1M. 證明　(1)連接A1B，BC1. 因為E，F分別為A1C1，AB1的中點， 所以F為A1B的中點，所以EF∥BC1. 因為BC1?平面BB1C1C，EF?平面BB1

8、C1C， 所以EF∥平面BB1C1C. (2)在矩形BCC1B1，BC＝BB1， 所以tan∠CBC1＝，tan∠B1MB＝. 所以tan∠CBC1·tan∠B1MB＝1. 所以∠CBC1＋∠B1MB＝.所以BC1⊥B1M. 因為EF∥BC1，所以EF⊥B1M. 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC⊥平面BB1C1C. 因為M為BC的中點，AB＝AC，所以AM⊥BC. 因為平面ABC∩平面BB1C1C＝BC， 所以AM⊥平面BB1C1C. 因為BC1?平面BB1C1C，所以AM⊥BC1 因為EF∥BC1，所以EF⊥AM. 又因為AM∩B1M＝M，AM?平面AB

9、1M，B1M?平面AB1M，所以EF⊥平面AB1M. 命題角度2　利用線面垂直證明線線垂直 例3 [2017·江蘇高考]如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD， BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 證明　(1)在平面ABD內，因為AB⊥AD，EF⊥AD， 所以EF∥AB. 又因為EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2)因為平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， BC?平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥

10、平面ABD. 因為AD?平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因為AC?平面ABC， 所以AD⊥AC. 觸類旁通 證明線面垂直的常用方法及關鍵 (1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質． (2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質． 考向　面面垂直的判定與性質　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例4　[2017·全國卷Ⅰ]如圖，在

11、四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)證明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P－ABCD的體積為，求該四棱錐的側面積． 解　(1)證明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°， 得AB⊥AP，CD⊥PD. 由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD. 又AB?平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAD. (2)如圖，在平面PAD內作PE⊥AD，垂足為E. 由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD， 可得PE⊥平面ABCD. 設AB＝x，則由已知可得AD＝x，PE＝x

12、. 故四棱錐P－ABCD的體積 VP－ABCD＝AB·AD·PE＝x3. 由題設得x3＝，故x＝2. 從而結合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2. 可得四棱錐P－ABCD的側面積為 PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin60°＝6＋2. 觸類旁通 判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定義； (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)． 【變式訓練2】　如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，DC＝BC＝AB＝1，點M在線段EC上． (1)證明：平面BDM⊥平面ADEF； (

13、2)若AE∥平面MDB，求三棱錐E－BDM的體積． 解　(1)證明：∵DC＝BC＝1，DC⊥BC，∴BD＝. 在梯形ABCD中，AD＝，AB＝2， ∴AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°. ∴AD⊥BD. 又平面ADEF⊥平面ABCD， 平面ADEF∩平面ABCD＝AD， ∴BD⊥平面ADEF. 又BD?平面BDM， ∴平面BDM⊥平面ADEF. (2)如圖，連接AC，AC∩BD＝O，連接MO， ∵平面EAC∩平面MBD＝MO，AE∥平面MDB，AE?平面EAC， ∴AE∥OM. 又AB∥CD， ∴＝＝＝2， S△EDM＝S△EDC＝××1×＝. ∵A

14、DEF為正方形，∴ED⊥AD. 又∵平面ADEF⊥平面ADCB， ∴ED⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴DE⊥BC. ∵AB∥CD，AB⊥BC，∴BC⊥CD. 又ED∩DC＝D，∴BC⊥平面EDC. ∴VE－BDM＝VB－EDM＝S△EDM·BC＝××1＝. 核心規(guī)律 轉化思想：垂直關系的轉化 在證明兩平面垂直時一般先從現有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決． 滿分策略 1.在用線面垂直的判定定理證明線面垂直時，考生易忽視說明平面內的兩條直線相交，而導致被扣分，這一點在證明中要注意．口訣：線不在多，重在相交．

15、2.面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 題型技法系列 12——等體積法求點到平面的距離 [2018·內蒙古模擬]如圖，在直三棱柱ABC－DEF中，底面ABC的棱AB⊥BC，且AB＝BC＝2.點G，H在側棱CF上，且CH＝HG＝GF＝1. (1)證明：EH⊥平面ABG； (2)求點C到平面ABG的距離． 解題視點　(1)證明直線與平面垂直的常用方法為證明直線與平面內的兩條相交直線都垂直；(2)等體積法是求解點到平面的距離的常用方法． 解　(1)證明：

16、∵ABC－DEF是直三棱柱， ∴FC⊥平面ABC，而AB?平面ABC，∴FC⊥AB. 又∵AB⊥BC，BC∩FC＝C. ∴AB⊥平面BCFE， 又∵EH?平面BCFE，∴AB⊥EH. 由題設知△EFH與△BCG均為直角三角形， ∵EF＝2＝FH，BC＝2＝CG， ∴∠EHF＝45°，∠BGC＝45°. 設BG∩EH＝P，則∠GPH＝90°，即EH⊥BG. 又AB∩BG＝B，∴EH⊥平面ABG. (2)∵AB＝BC＝2，AB⊥BC， ∴S△ABC＝AB×BC＝2. ∵CG⊥平面ABC，∴VG－ABC＝S△ABC×CG＝. 由(1)知AB⊥BG，CG＝2＝BC， B

17、G＝＝＝2， ∴S△ABG＝AB×BG＝2. 設點C到平面ABG的距離為h，則 ∴VC－ABG＝S△ABG·h＝h＝VG－ABC＝， ∴h＝. 即點C到平面ABG的距離為. 答題啟示　(1)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質；(2)用等體積法求點到平面距離時，通過換頂點和底面轉化為底面積和高易求的錐體體積是關鍵. 跟蹤訓練 已知三棱錐A－BCD中，△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC＝2，AD⊥平面BCD，AD＝1. (1)求證：平面ABC⊥平面ACD； (2)若E為AB的中點，求點A到平面CED的距離． 解　(1)證

18、明：因為AD⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以AD⊥BC，又因為AC⊥BC，AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD，BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD. (2)由已知可得CD＝，取CD中點為F，連接EF，由于ED＝EC＝AB＝，所以△ECD為等腰三角形，從而EF＝，S△ECD＝，由(1)知BC⊥平面ACD，所以E到平面ACD的距離為1，S△ACD＝，令A到平面CED的距離為d，有VA－ECD＝·S△ECD·d＝VE－ACD＝·S△ACD·1，解得d＝. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎達標] 1．[2016·浙江高考]已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若

19、直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 答案　C 解析　∵α∩β＝l，∴l(xiāng)?β，∵n⊥β，∴n⊥l.故選C. 2．[2015·福建高考]若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面α，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　由“m⊥α且l⊥m”推出“l(fā)?α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l(fā)⊥m”，所以“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的必要而不充分條件，故選B. 3．[2017·天津河西模擬]設l是直線，α，β是兩個不同的

20、平面，則下列說法正確的是(　　) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，則l∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 答案　B 解析　對于A，若l∥α，l∥β，則α∥β或α與β相交，故A錯誤；易知B正確；對于C，若α⊥β，l⊥α，則l∥β或l?β，故C錯誤；對于D，若α⊥β，l∥α，則l與β的位置關系不確定，故D錯誤．故選B. 4.[2018·濟南模擬]已知如圖，六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABCDEF.則下列結論不正確的是(　　) A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAF C．CF∥平面PAB D．

21、CF⊥平面PAD 答案　D 解析　A中，因為CD∥AF，AF?平面PAF，CD?平面PAF，所以CD∥平面PAF成立； B中，因為ABCDEF為正六邊形，所以DF⊥AF， 又因為PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF， 又因為PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立； C中，因為CF∥AB，AB?平面PAB，CF?平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF與AD不垂直．故選D. 5．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(　　) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α與β相交，且交線垂直于l D．α與β相交，且

22、交線平行于l 答案　D 解析　若α∥β，則m∥n，這與m、n為異面直線矛盾，所以A不正確，α與β相交．將已知條件轉化到正方體中，易知α與β不一定垂直，但α與β的交線一定平行于l，從而排除B，C.故選D. 6．已知P為△ABC所在平面外一點，且PA，PB，PC兩兩垂直，則下列命題： ①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC. 其中正確的個數是________． 答案　3 解析　如圖所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC. 又∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB. 但AB不一定垂直于BC. 7．設a，b為不重

23、合的兩條直線，α，β為不重合的兩個平面，給出下列命題： ①若a∥α，b∥β，且α∥β，則a∥b； ②若a⊥α，且a⊥β，則α∥β； ③若α⊥β，則一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β； ④若α⊥β，則一定存在直線l，使得l⊥α，l∥β. 上面命題中，所有真命題的序號是________． 答案　②③④ 解析?、僦衋與b可能相交或異面，故不正確．②垂直于同一直線的兩平面平行，正確．③中存在γ，使得γ與α，β都垂直．④中只需直線l⊥α且l?β就可以． 8.[2018·廣東模擬]如圖，在三棱錐D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的有________(寫

24、出全部正確命題的序號)． ①平面ABC⊥平面ABD； ②平面ABD⊥平面BCD； ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE； ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE. 答案?、? 解析　由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，從而AC⊥平面BDE，故③正確． 9.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．求證： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 證明　(1)∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， ∴CD⊥PA. 又CD⊥AC，PA

25、∩AC＝A， 故CD⊥平面PAC，AE?平面PAC. 故CD⊥AE. (2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故PA＝AC. ∵E是PC的中點，故AE⊥PC. 由(1)知CD⊥AE，由于PC∩CD＝C， 從而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD. 易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE. 10.[2018·湖南永州模擬]如圖，四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)證明：SD⊥平面SAB； (2)求四棱錐S－ABCD的高． 解　(1)證明：如圖，取AB的中點E，連接DE，DB， 則四邊形BCDE為矩

26、形， ∴DE＝CB＝2， ∴AD＝BD＝. ∵側面SAB為等邊三角形，AB＝2， ∴SA＝SB＝AB＝2. 又SD＝1， ∴SA2＋SD2＝AD2，SB2＋SD2＝BD2， ∴∠DSA＝∠DSB＝90°，即SD⊥SA，SD⊥SB，SA∩SB＝S， ∴SD⊥平面SAB. (2)設四棱錐S－ABCD的高為h，則h也是三棱錐S－ABD 的高． 由(1)，知SD⊥平面SAB. 由VS－ABD＝VD－SAB，得S△ABD·h＝S△SAB·SD， ∴h＝. 又S△ABD＝AB·DE＝×2×2＝2， S△SAB＝AB2＝×22＝，SD＝1， ∴h＝＝＝. 故四棱錐S－ABCD

27、的高為. [B級　知能提升] 1．[2018·青島質檢]設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則能得出a⊥b的是(　　) A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a?α，b⊥β，α∥β D．a?α，b∥β，α⊥β 答案　C 解析　對于C項，由α∥β，a?α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b.故選C. 2．[2018·河北唐山模擬]如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有(　　) A.AG⊥平

28、面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF 答案　B 解析　根據折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變， ∴AH⊥平面EFH，B正確；∵過A只有一條直線與平面EFH垂直，∴A不正確；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF?平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，過H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內，∴C不正確；由條件證不出HG⊥平面AEF，∴D不正確．故選B. 3.如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥

29、平面PBC，其中真命題的序號是________． 答案?、佗冖? 解析?、貯E?平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA?AE⊥BC，故①正確；②AE⊥PC，AE⊥BC?AE⊥平面PBC，PB?平面PBC?AE⊥PB，AF⊥PB，EF?平面AEF?EF⊥PB，故②正確；③若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，則AF∥AE與已知矛盾，故③錯誤；由②可知④正確． 4．[2018·江西九江模擬]如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3. (1)證明：平面ACF⊥平面BEFD. (2)若cos∠BAD＝，求幾何體ABCDEF的

30、體積． 解　(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵BE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴BE⊥AC. ∴AC⊥平面BEFD，AC?平面ACF. ∴平面ACF⊥平面BEFD. (2)設AC與BD的交點為O，AB＝a(a>0)， 由(1)得AC⊥平面BEFD， ∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD， ∵DF∥BE，∴DF⊥BD， ∴BD2＝EF2－(DF－BE)2＝8，∴BD＝2， ∴S四邊形BEFD＝(BE＋DF)·BD＝3， ∵cos∠BAD＝， ∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝a2＝8， ∴a＝， ∴OA2＝

31、AB2－OB2＝3，∴OA＝， ∴VABCDEF＝2VA－BEFD＝S四邊形BEFD·OA＝2. 5．[2017·全國卷Ⅲ]如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD. (1)證明：AC⊥BD； (2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比． 解　(1)證明：如圖，取AC的中點O，連接DO，BO. 因為AD＝CD， 所以AC⊥DO. 又由于△ABC是正三角形， 所以AC⊥BO. 從而AC⊥平面DOB，又BD?平面DOB， 故AC⊥BD. (2)連接EO. 由(1)及題設知∠ADC＝90°，所以DO＝AO. 在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2. 又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°. 由題設知△AEC為直角三角形，所以EO＝AC. 又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD. 故E為BD的中點，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1∶1. 20