2022-2023學年高中數學 第三章 數系的擴充與復數的引入章末檢測 新人教A版選修1 -2

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1、2022-2023學年高中數學 第三章 數系的擴充與復數的引入章末檢測 新人教A版選修1 -2 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．i是虛數單位，計算i＋i2＋i3＝(　　) A．－1　　　　　　　　 B．1 C．－i D．i 解析：i＋i2＋i3＝i＋(－1)－i＝－1. 答案：A 2．已知i為虛數單位，復數z＝，則復數z的虛部是(　　) A．－i B．－ C. i D. 解析：＝＝＝－i，則復數z的虛部是－. 答案：B 3．如圖，在復平面內，點A表示復數z，則圖中表示z的共軛復數的點是(

2、　　) A．A B．B C．C D．D 解析：設z＝a＋bi(a<0，b>0) ∴＝a－bi對應點的坐標是(a，－b)，是第三象限點B. 答案：B 4．i是虛數單位，復數z＝的共軛復數＝(　　) A．1－i B．1＋i C.＋i D．－＋i 解析：z＝＝＝＝1－i ∴＝1＋i. 答案：B 5．若復數z＝(1＋i)(x＋i)(x∈R)為純虛數，則|z|等于(　　) A．2 B. C. D．1 解析：∵z＝x－1＋(x＋1)i為純虛數且x∈R， ∴得x＝1，z＝2i，|z|＝2. 答案：A 6．已知復數z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是實數，

3、則實數t等于(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i， 依題意4t－3＝0，∴t＝. 答案：A 7．設z∈C，若z2為純虛數，則z在復平面上的對應點落在(　　) A．實軸上 B．虛軸上 C．直線y＝±x(x≠0)上 D．以上都不對 解析：設z＝a＋bi(a，b∈R)， ∵z2＝a2－b2＋2abi為純虛數，∴ ∴a＝±b，即z在直線y＝±x(x≠0)上． 答案：C 8．定義運算＝ad－bc，則符合條件＝4＋2i的復數z為(　　) A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i 解析

4、：由定義知＝zi＋z，得zi＋z＝4＋2i， ∴z＝＝＝＝3－i. 答案：A 9．若復數x0＝1＋i是關于x的實系數方程x2＋bx＋c＝0的一個根，則(　　) A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1 解析：因為1＋i是實系數方程的一個復數根，所以1－i也是方程的根，則1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3. 答案：B 10．已知復數z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們在復平面上所對應的點分別為A，B，C.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是(　　) A．1 B．2

5、 C．3 D．4 解析：3－4i＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i，∴得∴λ＋μ＝1. 答案：A 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中的橫線上) 11．設i為虛數單位，則＝________. 解析：＝＝＝－－. 答案：－－ 12．已知復數z1＝cos 23°＋sin 23°i和復數z2＝sin 53°＋sin 37°i，則z1·z2＝________. 解析：z1·z2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i) ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23

6、°sin 53°＋cos 23°sin 37°)i ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°) ＝sin 30°＋i cos 30°＝＋i. 答案：＋i 13．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，則復數z＝________. 解析：∵a，b∈R且＋＝， 即＋＝， ∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i， 即解得 故z＝a＋bi＝7－10i. 答案：7－10i 14. 復數z＝(m2－3m＋2)＋(m2－2m－8)i的共軛復數在復平面內的對應點位于第一象限，則實數m的取值范圍是_

7、_______． 解析：復數z＝(m2－3m＋2)＋(m2－2m－8)i的共軛復數為＝(m2－3m＋2)－(m2－2m－8)i， 又在復平面內對應的點在第一象限， 得 解得－2

8、)實數；(2)虛數；(3)純虛數；(4)0. 解析：(1)當k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1時，z是實數． (2)當k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1時，z是虛數． (3)當即k＝4時，z是純虛數． (4)當即k＝－1時，z是0. 17．(12分)已知復數z的共軛復數為，且z·－3iz＝，求z. 解析：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi. 又z·－3iz＝， 所以a2＋b2－3i(a＋bi)＝， 所以a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i， 所以 所以或 所以z＝－1，或z＝－1－3i. 18．(12分)已知z是復數，z＋2i，均為實數(i為虛數單位)，

9、且復數(z＋ai)2在復平面上對應的點位于第一象限，求實數a的取值范圍． 解析：設z＝x＋yi(x，y∈R)，則z＋2i＝x＋(y＋2)i， 由z＋2i為實數，得y＝－2. ∵＝＝(x－2i)(2＋i) ＝(2x＋2)＋(x－4)i， 由為實數，得x＝4.∴z＝4－2i. ∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根據條件，可知 解得2

10、－2－i，2＝a－2＋i， ∴|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i| ＝ ， 又∵|z1|＝，|z1－2|<|z1|， ∴ <， ∴a2－8a＋7<0，解得10且>時，證明該方程沒有實數根． 解析：(1)將x＝1－i代入＋＝1， 化簡得＋i＝1， ∴解得a＝b＝2. (2)原方程化為x2－ax＋ab＝0， 假設原方程有實數解， 那么Δ＝(－a)2－4ab≥0，即a2≥4ab. ∵a>0，∴≤， 這與題設>相矛盾． 故原方程無實數根． 21．(14分)復數z＝且|z|＝4，z對應的點在第一象限，若復數0，z，對應的點是正三角形的三個頂點，求實數a，b的值． 解析：z＝(a＋bi)＝－2a－2bi. 由|z|＝4得a2＋b2＝4，① ∵復數0，z，對應的點構成正三角形， ∴|z－|＝|z|. 把z＝－2a－2bi代入化簡得a2＝3b2，② 代入①得，|b|＝1. 又∵Z點在第一象限， ∴a<0，b<0. 由①②得 故所求值為a＝－，b＝－1.