2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入章末復(fù)習(xí)同步學(xué)案 新人教B版選修1-2

第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.鞏固復(fù)數(shù)的概念和幾何意義.2.理解并能進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算且認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部若b0，則abi為實(shí)數(shù)，若b0，則abi為虛數(shù)，若a0且b0，則abi為純虛數(shù)(2)復(fù)數(shù)相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共軛復(fù)數(shù)：abi與cdi共軛ac且bd0(a，b，c，dR)(4)復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面在復(fù)平面內(nèi)x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示非純虛數(shù)(5)復(fù)數(shù)的模向量的長度叫做復(fù)數(shù)zabi的模(或絕對(duì)值)，記作|z|或|abi|，即|z|abi|.2復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，bR)(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)平面向量.3復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)4共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)(1)z·R.(2)z.(3)任一實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身；反之，若z，則z是實(shí)數(shù)(4)共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱1復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小(×)2原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)()3方程x2x10沒有解(×)類型一復(fù)數(shù)的概念例1已知復(fù)數(shù)za2a6i(aR)，分別求出滿足下列條件的實(shí)數(shù)a的值：(1)z是實(shí)數(shù)；(2)z是虛數(shù)；(3)z是0.解由a2a60，解得a2或a3.由a22a150，解得a5或a3.由a240，解得a±2.(1)由a22a150且a240，得a5或a3，當(dāng)a5或a3時(shí)，z為實(shí)數(shù)(2)由a22a150且a240，得a5且a3且a±2，當(dāng)a5且a3且a±2時(shí)，z是虛數(shù)(3)由a2a60，且a22a150，且a240，得a3，當(dāng)a3時(shí)，z0.引申探究本例中條件不變，若z為純虛數(shù)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，若存在，求出a，若不存在，說明理由解由a2a60，且a22a150，且a240，得a無解，不存在實(shí)數(shù)a，使z為純虛數(shù)反思與感悟(1)正確確定復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部是準(zhǔn)確理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(如實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、相等復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模)的前提(2)兩復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的依據(jù)跟蹤訓(xùn)練1復(fù)數(shù)zlog3(x23x3)ilog2(x3)，當(dāng)x為何實(shí)數(shù)時(shí)，(1)zR；(2)z為虛數(shù)解(1)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是虛部為0，所以解得x4，所以當(dāng)x4時(shí)，zR.(2)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不為0，所以解得x>且x4.所以當(dāng)x>且x4時(shí)，z為虛數(shù)類型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算例2(1)計(jì)算：2 012；(2)已知z1i，求的模解(1)原式1 006i(i)1 00601i.(2)1i，的模為.反思與感悟(1)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是復(fù)數(shù)運(yùn)算中的難點(diǎn)，如果遇到(abi)÷(cdi)的形式，首先應(yīng)該寫成分式的形式，然后再分母實(shí)數(shù)化(2)虛數(shù)單位i的周期性i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN)inin1in2in30(nN)跟蹤訓(xùn)練2計(jì)算：(i)547.解(i)547i·()5·(1i)22·(1i)2i716(1i)i(161)i.類型三復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想例3已知復(fù)數(shù)z12，i，并且|z|2，|zz1|zz2|，求z.解設(shè)zabi(a，bR)，z12，i，z22i.|z|2，則2.|zz1|zz2|，即|a2bi|a(b2)i|，由得或z22i或z22i.反思與感悟設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)的分類及運(yùn)算，列出方程，求得復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，這是求解復(fù)數(shù)的常用思路跟蹤訓(xùn)練3已知z是復(fù)數(shù)，z3i為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)(1)求復(fù)數(shù)z；(2)求的模解(1)設(shè)zabi(a，bR)，z3ia(b3)i為實(shí)數(shù)，可得b3.又為純虛數(shù)，a1，即z13i.(2)2i，.類型四復(fù)數(shù)的幾何意義例4設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|1，求|z(34i)|的最值解由復(fù)數(shù)的幾何意義知，|z|1表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，因而|z(34i)|的幾何意義是求此圓上的點(diǎn)到點(diǎn)C(3,4)的距離的最大值與最小值如圖，易知|z(34i)|max|AC|OC|116，|z(34i)|min|BC|OC|14.反思與感悟復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)；復(fù)數(shù)加減法符合向量運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則：|z1z2|表示復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)Z1，Z2之間的距離跟蹤訓(xùn)練4已知復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z1sin2i，z2cos2icos 2，其中(0，)，設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在直線yx上，求的值解(1)由題意得zz2z1cos2sin2(cos 21)i12sin2·i.(2)由(1)知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2sin2)由點(diǎn)P在直線yx上，得2sin2，sin2，又(0，)，sin >0，因此sin ，或.1復(fù)數(shù)z(aR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則a等于()A2 B1 C1 D2答案D解析z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，所以2a0，即a2.2已知f(x)x31，設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是()A1 B1 Ci D0答案B解析f(i)i31i1，1i，虛部是1.3已知2ai，bi(a，bR)是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2pxq0的兩根，則p，q的值為()Ap4，q5 Bp4，q5Cp4，q5 Dp4，q5答案A解析由條件知2ai，bi是共軛復(fù)數(shù)，則a1，b2，即實(shí)系數(shù)一元二次方程x2pxq0的兩個(gè)根是2±i，所以p(2i)(2i)4，q(2i)(2i)5.4若|z1|2，則|z3i1|的最小值為_答案1解析因?yàn)閨z1|2，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(1,0)為圓心，2為半徑的圓上|z3i1|表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)(1,3)的距離，因此，距離的最小值為1.5設(shè)復(fù)數(shù)z和它的共軛復(fù)數(shù)滿足4z23i，求復(fù)數(shù)z.解設(shè)zabi(a，bR)因?yàn)?z23i，所以2z(2z2)3i.又2z22(abi)2(abi)4a，整體代入上式，得2z4a3i.所以zi.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得解得所以zi.1對(duì)復(fù)數(shù)的概念的考查是考查復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)，要求準(zhǔn)確理解虛數(shù)單位、復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、實(shí)部、虛部、復(fù)數(shù)的模等概念2對(duì)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的考查可能性較大，要加以重視，其中復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算類似；對(duì)于復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，將分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)最后整理成abi(a，bR)的結(jié)構(gòu)形式3對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的考查在高考中一般會(huì)結(jié)合復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算考查復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)加減法的幾何意義求解復(fù)數(shù)，往往設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，將復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化.一、選擇題1復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，它的模為3，實(shí)部是，則是()A2i B2iC.2i D.2i答案B解析設(shè)復(fù)數(shù)z的虛部為b，則zbi，b>0，3，b2，z2i，則z的共軛復(fù)數(shù)是2i，故選B.2復(fù)數(shù)的虛部是()A.i B. Ci D答案B解析i.故選B.3若z12i，則等于()A1 B1 Ci Di答案C解析z12i，則i.4若復(fù)數(shù)zcos isin (i是虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的實(shí)部、虛部分別為a，b，則下列結(jié)論正確的是()Aab<0 Ba2b21C. D.答案C解析zcos isin ，z22cos2sin22cos sin icos isin i，則a，b，則，故選C.5向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A108i B108iC810i D8(10i)答案A解析向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，可得Z1(5，4)；向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，可得Z2(5,4)；向量對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(10,8)，即向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是108i.故選A.6已知復(fù)數(shù)z的模為2，則|zi|的最大值為()A1 B2 C. D3答案D解析|z|2，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以圓心為原點(diǎn)，半徑為2的圓，而|zi|表示的是圓上一點(diǎn)到點(diǎn)(0,1)的距離，其最大值為圓上的點(diǎn)(0，2)到點(diǎn)(0,1)的距離，最大的距離為3.7復(fù)數(shù)z滿足(z3)(2i)5(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)為()A2i B2iC5i D5i考點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求共軛復(fù)數(shù)答案D解析由(z3)(2i)5，得z32i，z5i，5i.二、填空題8若復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2，則z的實(shí)部為_答案1解析因?yàn)?1i)z2，所以z1i，所以其實(shí)部為1.9若復(fù)數(shù)b(bR)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線xy1上，則b的值為_答案0解析復(fù)數(shù)bbbbi.所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(b,1)在直線xy1上，b11，解得b0.10如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，若i(i為虛數(shù)單位)，則z2_.答案2i解析由圖可知，z112i，由i，得z2z1i(12i)i2i.11使zR，且|z3|3成立的虛數(shù)z_.答案±i解析設(shè)zabi(a，bR且b0)，則zabii.由zR，得b0，又b0，故a2b29.又由|z3|3，得3.由，得即zi或zi.三、解答題12已知復(fù)數(shù)z1(1bi)(2i)，z23(1a)i (a，bR，i為虛數(shù)單位)(1)若z1z2，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若b1，a0，求.解(1)復(fù)數(shù)z1(1bi)(2i)2b(2b1)i，z23(1a)i，由z1z2，可得解得所以實(shí)數(shù)a2，b1.(2)若b1，a0，則z113i，z23i.2.13若f(z)2z3i，f(i)63i，求復(fù)數(shù)z.解f(z)2z3i，f(i)2(i)(i)3i22izi3i2z2i.又f(i)63i，2z2i63i，即2z6i.設(shè)zxyi(x，yR)，則xyi.2(xyi)xyi3xyi6i，z2i.四、探究與拓展14若z，則z2 012z102_.答案1i解析z2 012z102(z4)503(z2)51(1)503(i)511i4831i.15是否存在復(fù)數(shù)z，使其滿足·z2i3ai？如果存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由解設(shè)zxyi(x，yR)，則原條件等式可化為x2y22i(xyi)3ai.由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得消去x，得y22y30.所以當(dāng)4416a20，即4a4時(shí)，復(fù)數(shù)z存在故存在滿足條件的復(fù)數(shù)z，且實(shí)數(shù)a的取值范圍為4,411