2022高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點(diǎn)、直線、面的位置關(guān)系11 面面垂直的判定習(xí)題 蘇教版必修2

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點(diǎn)、直線、面的位置關(guān)系11 面面垂直的判定習(xí)題 蘇教版必修2 （答題時(shí)間：40分鐘） *1. 下列命題中正確的是________。 ①若平面α和β分別過(guò)兩條互相垂直的直線，則α⊥β； ②若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條平行直線，則α⊥β； ③若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α⊥β； ④若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β。 *2. 設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列結(jié)論中正確的是________。 ①若l∥α，l∥β，則α∥β； ②若l∥α，l⊥β，則α⊥β； ③若α⊥

2、β，l⊥α，則l⊥β； ④若α⊥β，l∥α，則l⊥β。 **3. 過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，則平面ABP與平面CDP所成的二面角的度數(shù)是________。 **4. 如圖，已知點(diǎn)O在二面角α－AB－β的棱上，點(diǎn)P在α內(nèi)，且∠POB＝45°，若對(duì)于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α－AB－β的大小是________。 *5. 在正四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是________。 ①BC∥面PDF；②DF⊥面PAE；③面PDF⊥面ABC；④面PAE⊥面ABC。 6. 在

3、邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿對(duì)角線AC折起，使折起后BD＝，則二面角B－AC－D的大小為_(kāi)_______。 ***7. 如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝。 （1）證明：平面PBE⊥平面PAB； （2）求二面角A—BE—P的大小。 **8. 如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn)。求證：平面C1BD⊥平面BDE。 **9. 如圖所示，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB。 （1）求二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)；

4、（2）求二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)； （3）求二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)； （4）求二面角B－PC－D的平面角的度數(shù)。 1 ③ 解析：當(dāng)平面α和β分別過(guò)兩條互相垂直且異面的直線時(shí)，平面α和β有可能平行，故①錯(cuò)；由直線與平面垂直的判定定理知，②、④錯(cuò)，③正確。 2. ② 解析：利用線與面、面與面的關(guān)系定理判定，用特例法。 設(shè)α∩β＝a，若直線l∥a，且l?α，l?β，則l∥α，l∥β， 因此α不一定平行于β，故①錯(cuò)誤； 由于l∥α，故在α內(nèi)存在直線l′∥l，又因?yàn)閘⊥β， 所以l′⊥β，故α⊥β，所以②正確； 若α⊥β，在β內(nèi)作交線的垂線l，則l⊥α，此

5、時(shí)l在平面β內(nèi)，因此③錯(cuò)誤； 已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β內(nèi)， 則l∥α且l∥β，因此④錯(cuò)誤。 3. 45° 解析：可將圖形補(bǔ)成以AB、AP為棱的正方體，不難求出二面角的大小為45°。 4. 90° 解析：由∠POB＝45°，∠POQ≥45°知PO與平面β成45°角，若作PQ⊥β于Q點(diǎn)，則∠POQ＝45°，∴Q∈AB，又PQ?α，∴α⊥β。 5. ③ 解析：如圖所示，∵BC∥DF， ∴BC∥平面PDF，∴①正確， 由BC⊥PE，BC⊥AE， ∴BC⊥平面PAE， ∴DF⊥平面PAE，∴②正確， ∴平面ABC⊥平面PAE（BC⊥平面PAE），

6、∴④正確。 6. 60° 解析：如圖所示，由二面角的定義知∠BOD即為二面角的平面角， ∵DO＝OB＝BD＝， ∴∠BOD＝60°。 7. （1）證明：如圖所示，連接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形，因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD， 又AB∥CD，所以BE⊥AB， 又因?yàn)镻A⊥平面ABCD， BE?平面ABCD， 所以PA⊥BE，而PA∩AB＝A， 因此BE⊥平面PAB， 又BE?平面PBE， 所以平面PBE⊥平面PAB； （2）解：由（1）知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB， 所以PB⊥BE，又AB⊥BE， 所以∠

7、PBA是二面角A—BE—P的平面角， 在Rt△PAB中，tan∠PBA＝， 則∠PBA＝60°， 故二面角A—BE—P的大小是60°。 8. 證明：設(shè)AC∩BD＝O，則O為BD的中點(diǎn)，連接C1O，EO，C1E， 因?yàn)镋B＝ED，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)， 所以BD⊥EO， 因?yàn)镃1B＝C1D，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)， 所以BD⊥C1O， 所以∠C1OE即為二面角C1－BD－E的平面角， 因?yàn)镋為AA1中點(diǎn)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a， 則C1O＝， EO＝， C1E＝， 所以C1O2＋EO2＝C1E2， 所以C1O⊥OE，所以⊥C1OE＝90°， 所以平面C1BD⊥平面BDE。

8、 9. 解：（1）∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥CD， ∵四邊形ABCD為正方形， ∴CD⊥AD， ∵PA∩AD＝A， ∴CD⊥平面PAD， 又CD?平面PCD， ∴平面PAD⊥平面PCD， ∴二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)為90°； （2）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA， ∴∠BAD為二面角B－PA－D的平面角， 由題意知∠BAD＝90°， ∴二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)為90°； （3）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA， ∴∠BAC為二面角B－PA－C的平面角， ∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°， 即二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)為45°； （4）作BE⊥PC于點(diǎn)E，連接DE，BD，且BD與AC交于點(diǎn)O，連接EO，如圖所示，由題意知△PBC≌△PDC， 則∠BPE＝∠DPE， 從而△PBE≌△PDE， ∴∠DEP＝∠BEP＝90°， 且BE＝DE。 ∴∠BED為二面角B－PC－D的平面角， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC， 又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB， ∴BC⊥PB， 設(shè)AB＝a， 則BE＝，BD＝a， ∴sin∠BEO＝，∴∠BEO＝60°， ∴∠BED＝120°. ∴二面角B－PC－D的平面角的度數(shù)為120°。