2022高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第二節(jié) 圓與方程2 直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案 蘇教版必修2

2022高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第二節(jié) 圓與方程2 直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案 蘇教版必修2一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說明直線與圓的位置關(guān)系1. 掌握直線與圓的位置關(guān)系的兩種判定方法；2. 能利用圓心到直線的距離、半弦長、圓的半徑三者之間的關(guān)系，解有關(guān)弦長的問題；3. 理解一元二次方程根的判定及根與系數(shù)關(guān)系，并能利用它們解一些簡(jiǎn)單的直線與圓的關(guān)系問題選擇題填空題本節(jié)課的核心是“如何用數(shù)的關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系”，學(xué)會(huì)從不同角度分析思考問題，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。為此，可類比直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到用解析法解決平面幾何問題的優(yōu)越性；同時(shí)滲透了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：掌握用幾何法和解析法判斷直線與圓的位置關(guān)系；能用直線與圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。難點(diǎn)：靈活地運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”、解析法來解決直線與圓的相關(guān)問題?？键c(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系及判斷方法直線AxByC0（A2B20）與圓（xa）2（yb）2r2（r0）的位置關(guān)系及判斷方法。位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)幾何法：設(shè)圓心到直線的距離ddrdrdr代數(shù)法：由消元得到一元二次方程，判別式為000圖形考點(diǎn)二：直線與圓相交時(shí)弦長的求法設(shè)直線與圓C交于兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為，圓半徑為，弦長為，則有，即?？键c(diǎn)三：直線與圓相切時(shí)切線的求法1. 求斜率為（為常數(shù)）的切線方程設(shè)切線的方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑列出方程求。2. 求過一點(diǎn)的圓的切線方程首先判斷這點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，看點(diǎn)在圓外還是圓上。 若點(diǎn)在圓上，則連接圓心和該點(diǎn)的直線與切線垂直，利用垂直關(guān)系確定切線的斜率，從而確定切線方程；若切線的斜率不存在，其切線方程也確定了。 若點(diǎn)在圓外，求切線時(shí)常用以下方法：A. 設(shè)切線斜率，寫出切線方程，利用判別式等于零求斜率；B. 設(shè)切線斜率，利用圓心到直線的距離等于半徑求斜率；C. 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則利用切線方程來求解。例題1 （直線與圓位置關(guān)系的判斷）如圖所示，已知直線l：ykx5與圓C：（x1）2y21。（1）當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與圓C相交？（2）當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與圓C相切？（3）當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與圓C相離？思路分析：思路一：聯(lián)立l及C的方程一元二次方程直線與圓的關(guān)系；思路二：求圓心到直線l的距離d比較d與半徑1的大小下結(jié)論。答案：方法一由，消去y，得（x1）2（kx5）21，即（k21）x2（10k2）x250，則（10k2）24×25（k21）9640k。（1）當(dāng)>0，即k<時(shí)，直線l與圓C相交。（2）當(dāng)0，即k時(shí)，直線l與圓C相切。（3）當(dāng)<0，即k>時(shí)，直線l與圓C相離。方法二圓C的圓心C（1，0），半徑r1，由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心C到直線l的距離d。（1）當(dāng)<1，即k<時(shí)，直線l與圓C相交。（2）當(dāng)1，即k時(shí)，直線l與圓C相切。（3）當(dāng)>1，即k>時(shí)，直線l與圓C相離。 技巧點(diǎn)撥：直線與圓位置關(guān)系判斷的三種方法（1）幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷。（2）代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來判斷。（3）直線系法：若直線恒過定點(diǎn)，可通過判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點(diǎn)的直線系。例題2 （直線與圓的相交弦問題）求直線l：3xy60被圓C：x2y22y40截得的弦長。思路分析：方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)兩點(diǎn)間距離即弦長或方程組得x1x2與x1·x2弦長公式求弦長或圓心到直線的距離構(gòu)造直角三角形求弦長。答案：方法一由，得交點(diǎn)A（1，3），B（2，0），弦AB的長為AB。方法二由 消去y得x23x20。設(shè)兩交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x1，y1）、B（x2，y2）則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x23，x1·x22。|AB|，即弦AB的長為。方法三圓C：x2y22y40可化為x2（y1）25，其圓心坐標(biāo)（0，1），半徑r，點(diǎn)（0，1）到直線l的距離為d，所以半弦長為 ，所以弦長AB。技巧點(diǎn)撥：對(duì)于弦長問題，常利用第三種方法，即利用半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成的直角三角形，通過數(shù)形結(jié)合，利用勾股定理來求解。忽略直線斜率不存在的情況致誤例題 已知圓M：（x1）2（y1）24，直線a過點(diǎn)P（2，3）且與圓M交于A，B兩點(diǎn)，且AB2，求直線a的方程?！惧e(cuò)解】設(shè)直線a的方程為y3k（x2），即kxy32k0。如圖所示，作MCAB于C，在直角三角形MBC中，BC，MB2，MC1，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)M（1，1）到直線a的距離為1，解得k，所以直線a的方程為3x4y60。【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解忽略了直線a的斜率不存在的情況。【防范措施】點(diǎn)斜式方程并不能表示出斜率不存在的情況，故在求直線方程時(shí)，若設(shè)點(diǎn)斜式方程，根據(jù)條件求得斜率后，應(yīng)注意驗(yàn)證斜率不存在的情況是否滿足題意。本題就是忽略了斜率不存在的特殊情況而出錯(cuò)的?！菊狻慨?dāng)直線a的斜率存在時(shí)，設(shè)直線a的方程為y3k（x2），即kxy32k0。如圖所示，作MCAB于C，在直角三角形MBC中，BC，MB2，MC1，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)M（1，1）到直線a的距離為1，解得k，所以直線a的方程為3x4y60。當(dāng)直線a的斜率不存在時(shí)，其方程為x2，圓心到此直線的距離也是1，所以符合題意。綜上，直線a的方程為3x4y60或x2。