2022高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 第2節(jié) 直接證明與間接證明學(xué)案 理 蘇教版選修2-2

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 第2節(jié) 直接證明與間接證明學(xué)案 理 蘇教版選修2-2 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。 2. 了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。 難點(diǎn)：運(yùn)用分析法、綜合法提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。 三、考點(diǎn)分析： 對(duì)兩種直接證明方法的考查在選擇題、填空題和解答題中都有出現(xiàn)，單純的考查并不常見(jiàn)，作為解決問(wèn)題的工具，與其他知識(shí)綜合運(yùn)用的特點(diǎn)比較突出。它可以和很多知識(shí)，如函數(shù)、數(shù)列、三角

2、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等相聯(lián)系，證明時(shí)不僅要用到不等式的相關(guān)知識(shí)，還要用到其他數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和技巧，而且還考查了運(yùn)算能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。對(duì)于反證法很少單獨(dú)命題，但是運(yùn)用反證法分析問(wèn)題、進(jìn)行證題思路的判斷則經(jīng)常用到，有獨(dú)到之處。 三種證明方法的定義與步驟： 1. 綜合法是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法，它是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法。 2. 分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）為止

3、的證明方法。 3. 假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，由此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的方法叫反證法；它是一種間接的證明方法。用這種方法證明一個(gè)命題的一般步驟：（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；（2）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推理中導(dǎo)出矛盾為止；（3）斷言假設(shè)不成立；（4）肯定原命題的結(jié)論成立。 知識(shí)點(diǎn)一：綜合法 例1 對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①對(duì)任意的，總有；②；③若，都有成立，則稱函數(shù)為理想函數(shù)。 （1）若函數(shù)為理想函數(shù)，求的值； （2）判斷函數(shù)（）是否為理想函數(shù)，并予以證明。 思路分析：（1）取可得。由此可

4、求出f（0）的值。（2）在[0，1]滿足條件①； 也滿足條件②。若，，，滿足條件③，收此知故g（x）理想函數(shù)。 解題過(guò)程：（1）取可得。 又由條件①，故。 （2）顯然在[0，1]滿足條件①； 也滿足條件②。若，，，則 ，即滿足條件③， 故為理想函數(shù)。 解題后反思：要證明函數(shù)（）滿足三個(gè)條件，得緊扣定義，逐個(gè)驗(yàn)證。 知識(shí)點(diǎn)二：分析法 例2 △ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列， 求證： 思路分析：本題的關(guān)鍵是將等價(jià)轉(zhuǎn)換，以及三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列的應(yīng)用。 解題過(guò)程：證明：要證， 需證。 即證。

5、 需證，需證 ∵△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列?！郆＝60°。 由余弦定理，有，即。 ∴成立，命題得證。 解題后反思：注意分析法的書(shū)寫(xiě)“格式”是“要證……只需證……”，而不是“因?yàn)椤浴? 知識(shí)點(diǎn)三：反證法 例3 已知，，求證：不能同時(shí)大于。 思路分析：求證：不能同時(shí)大于，可用反證法假設(shè)可以同時(shí)大于，讓三個(gè)等式左邊右邊分別相乘得到，根據(jù)可以判斷錯(cuò)誤，故假設(shè)不成立，即得證。 解題過(guò)程：證法一：假設(shè)三式同時(shí)大于，即，， ，三式同向相乘得，又 ，同理， ，這與假設(shè)矛盾，故原命題得證。 證法二：假設(shè)三式同時(shí)大于，， 同理三式相加得

6、，這是矛盾的，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以原命題得證。 解題后反思：“不能同時(shí)大于”包含多種情形，不易直接證明，可用反證法證明。即正難則反： （1）當(dāng)遇到否定性、唯一性、無(wú)限性、至多、至少等類型問(wèn)題時(shí)，常用反證法。 （2）用反證法的步驟是：①否定結(jié)論；②而不合理；③因此結(jié)論不能否定，原結(jié)論成立。 反證法屬于“間接證明法”，是從反面角度思考問(wèn)題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理。反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的

7、結(jié)論，從而使命題獲得了證明。 知識(shí)點(diǎn)四：綜合法、分析法綜合應(yīng)用 例4 設(shè)，，為正實(shí)數(shù)，求證：。 思路分析：由想到可應(yīng)用不等式。 解題過(guò)程：因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，由平均不等式可得， 即 ， 所以， 而， 所以。 解題后反思：綜合法是從已知到未知的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或從已證的命題出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的推理，最后導(dǎo)出要證的結(jié)論。證明不等式常用的性質(zhì)有，等，但應(yīng)用這些不等式證明時(shí)，要注意不等式應(yīng)用的范圍和“”取得的充要條件。 例5 如圖，傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于、兩點(diǎn)。 （1）求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程； （2）若為銳角，

8、作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明為定值，并求此定值。 思路分析：使用常規(guī)思路，即可以采用綜合法解決問(wèn)題。 解題過(guò)程：（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），準(zhǔn)線l的方程為。 （2）證明：如圖，作，，垂足為、，則由拋物線的定義知，，記、的橫坐標(biāo)分別為，，則 解得類似地，解得。 記直線與的交點(diǎn)為，則 ，所以。 故。 解題后反思：本題是應(yīng)用綜合法解決解析幾何問(wèn)題，掌握綜合法證明的基本方法是“由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，順著推證，逐步推出求證的結(jié)論，綜合法的特點(diǎn)是表述簡(jiǎn)單，條理清晰，它常用的是“，”，或“因?yàn)?，所以”，或“”等表述方法? （天津

9、高考）對(duì)實(shí)數(shù)與，定義新運(yùn)算“”： 設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 解題思路：在新定義下給出分段函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求出參數(shù)C的取值范圍。 解答過(guò)程： 則的圖象如圖 ∵的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)， ∴與的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，由圖象知，或。 解題后反思：新定義問(wèn)題考查的是即時(shí)反應(yīng)能力，數(shù)形結(jié)合能使問(wèn)題形象化。 1. 分析法的特點(diǎn)是：從未知看需知，逐步靠攏已知。 2. 綜合法的特點(diǎn)是：從已知看可知，逐步推出未知。 3. 分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)：分析法思考起來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，能較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，但不便于思考，實(shí)際證明時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明的思路，然后再用綜合法敘述出來(lái)。 4. 對(duì)證明的考查往往會(huì)結(jié)合函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，既要掌握基本的證明方法——綜合法和分析法，又要結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，證明時(shí)把兩種方法結(jié)合起來(lái)綜合應(yīng)用。 下節(jié)課同學(xué)們將學(xué)習(xí)直接證明當(dāng)中的一種非常重要的方法——數(shù)學(xué)歸納法，請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本，思考：數(shù)學(xué)歸納法與多米諾骨牌之間有什么聯(lián)系呢？根據(jù)多米諾骨牌的原理，你能理解數(shù)學(xué)歸納法嗎？