2022高中數(shù)學 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點、直線、面的位置關(guān)系6 線面垂直的判定和性質(zhì)學案 蘇教版必修2

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1、2022高中數(shù)學 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點、直線、面的位置關(guān)系6 線面垂直的判定和性質(zhì)學案 蘇教版必修2 一、考點突破 知識點 課標要求 題型 說明 線面垂直的判定和性質(zhì) 1. 能正確判斷直線與平面垂直的位置關(guān)系； 2. 理解直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理 填空題 解答題 線線垂直、線面垂直關(guān)系是立體幾何中的核心內(nèi)容之一，注意線面垂直的性質(zhì)和判定、定義之間的相互轉(zhuǎn)化 二、重難點提示 重點：直線與平面垂直的定義、線面垂直的判定及性質(zhì)定理。 難點：操作確認并概括出直線與平面垂直的定義和判定及性質(zhì)定理。 考點一：直線與平面垂直的概念 如果一

2、條直線a與一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱直線a與平面α互相垂直，符號表示：a⊥α，圖形表示如圖： 【要點詮釋】 1. 作直線與平面垂直時，要注意使直線與平行四邊形橫邊垂直，加強直觀性。 2. 定義中的“任意一條直線”和“所有直線”同義，不能改成“無窮多條直線”。因為任意一條直線，無論它是和平面平行，或是在平面內(nèi)。或是與平面相交，總能與平面內(nèi)無數(shù)多條直線垂直，但不一定和平面內(nèi)所有直線都垂直。 3. 過一點有且只有一條直線與已知平面垂直。 考點二：直線與平面垂直的判定定理 1. 直線和平面垂直的判定定理 文字語言 圖形語言 符號語言 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相

3、交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面 l⊥α 【要點詮釋】 ①直線和平面垂直的判定定理可簡述為：若線線垂直，則線面垂直。 ②定理中的關(guān)鍵詞語是“兩條相交直線”。 2. 推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直這個平面。 【規(guī)律總結(jié)】判定線面垂直的方法 （1）線面垂直的定義：a與α內(nèi)任何直線都垂直a⊥α； （2）判定定理：l⊥α； （3）推論：a∥b，a⊥αb⊥α； 考點三：直線與平面垂直的性質(zhì)定理 1. 直線和平面垂直的性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行 ?a∥

4、b 2. 直線和平面垂直的性質(zhì) ①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線； ②垂直于同一個平面的兩條直線平行。 【核心突破】 1. 線面垂直的定義具有雙重性，既可以由線面垂直得出線線垂直，又可以由線線垂直得出線面垂直。 2. 轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化。 3. 線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)。 例題1 （直線和平面垂直的定義） 下面敘述中： ①若直線垂直于平

5、面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直；②若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直；③若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線；④若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線，其中正確的有（　?。? A. 1個　　　 B. 2個　　　 C. 3個　　　 D. 4個 思路分析：與線面垂直的定義及線面垂直的判定定理進行對照，區(qū)分異同，分析條件變換的影響，辨析正誤。 答案：①中若兩條直線為平行直線，則這條直線不一定與平面垂直，所以不正確；②由定義知正確；③中直線與梯形的兩腰所在直線垂直，則與梯形所在平面垂直，由定義知也與兩

6、底邊所在直線垂直，所以正確；④中直線與梯形兩底邊所在直線垂直，則不一定與梯形所在平面垂直，故不一定與兩腰所在直線垂直，不正確，故選B。 技巧點撥： 1. 直線和平面垂直的定義是描述性定義，對直線的任意性要注意理解。實際上，“任何一條”與“所有”表達相同的含義，當直線與平面垂直時，該直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何直線，由此可知，如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直。 2. 由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，bα，則a⊥b。 例題2 （直線與平面垂直的判定） 在平面α內(nèi)有直角∠BCD，AB⊥平面α，求證CD⊥平面ABC。 思路分析：要

7、證CD⊥平面ABC，只要證CD⊥BC，且CD⊥AB便可。 答案： 技巧點撥： 1. 使用直線與平面垂直的判定定理的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線都與已知直線垂直，即把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直來解決。 2. 線面垂直的定義具有雙重作用：判定和性質(zhì)，證題時常用它作為性質(zhì)使用，即“如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于平面內(nèi)的任意一條直線”。 例題3 （直線與平面垂直的性質(zhì)） 已知平面，為異面直線的公垂線，。求證：∥。 思路分析：利用直線與平面垂直的定義和性質(zhì)定理證明。 答案：如圖所示，設(shè)，過作∥，則， 又，同理 ，若與確定平面，則 ∥ 又 ∥

8、。 技巧點撥：直線與平面垂直的性質(zhì)定理是平行關(guān)系和垂直關(guān)系的完美結(jié)合，利用垂直關(guān)系可判定平行，反過來，由平行關(guān)系，也可判定垂直關(guān)系，即兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面。 立體幾何中的翻折問題 【滿分訓練】（浙江）已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中（　　） A. 存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直 B. 存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直 C. 存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直 D. 對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”

9、均不垂直 思路分析：關(guān)鍵是找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量。 答案： 對于選項A，過點A作AE⊥BD，垂足為E，過點C作CF⊥BD，垂足為F， 在圖（1）中，由邊AB，BC不相等可知點E，F(xiàn)不重合， 在圖（2）中，連接CE，若直線AC與直線BD垂直， 又∵AC∩AE＝A，∴BD⊥面ACE， ∴BD⊥CE，與點E，F(xiàn)不重合相矛盾，故A錯誤； 對于選項B，若AB⊥CD， 又∵AB⊥AD，AD∩CD＝D， ∴AB⊥面ADC， ∴AB⊥AC，由ABAB， ∴不存在這樣的直角三角形，∴C錯誤。 由上可知D錯誤，故選B。 技巧點撥：對于翻折問題，關(guān)鍵是找到題目中哪些關(guān)系改變，哪些關(guān)系沒有改變。