2022高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2.2 間接證明（1）學(xué)案 蘇教版選修1 -2

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2.2 間接證明（1）學(xué)案 蘇教版選修1 -2 [學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過(guò)程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題． [知識(shí)鏈接] 1．有人說(shuō)反證法就是通過(guò)證明逆否命題來(lái)證明原命題，這種說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？ 答　這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的，反證法是先否定命題，然后再證明命題的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原命題正確，不是通過(guò)逆否命題證題．命題的否定與原命題是對(duì)立的，原命題正確，其命題的否定一定不對(duì)． 2．反證法主要適用于什么情形？ 答?、僖C的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；②如果從正面證明

2、，需要分成多種情形進(jìn)行分類(lèi)討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形． [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1．間接證明 不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱(chēng)為間接證明． 2．反證法 從否定結(jié)論開(kāi)始，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)． 3．反證法步驟 反證法的過(guò)程包括下面3個(gè)步驟：反設(shè)，歸謬，存真． 4．反證法常見(jiàn)的矛盾類(lèi)型 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等． 5．反證法中常用的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下： 結(jié)論詞 至少有一個(gè) 至多有一個(gè) 至少有n個(gè)

3、至多有n個(gè) 反設(shè)詞 一個(gè)也沒(méi)有 (不存在) 至少有兩個(gè) 至多有 (n－1)個(gè) 至少有 (n＋1)個(gè) 結(jié)論詞 只有一個(gè) 對(duì)所有x成立 對(duì)任意x不成立 反設(shè)詞 沒(méi)有或至 少有兩個(gè) 存在某個(gè)x 不成立 存在某個(gè)x成立 結(jié)論詞 都是 一定是 p或q p且q 反設(shè)詞 不都是 不一定是 綈p且綈q 綈p或綈q 要點(diǎn)一　用反證法證明“至多”“至少”型命題 例1　已知x，y>0，且x＋y>2. 求證：，中至少有一個(gè)小于2. 證明　假設(shè)，都不小于2， 即≥2，≥2. ∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(

4、x＋y)， 即x＋y≤2與已知x＋y>2矛盾． ∴，中至少有一個(gè)小于2. 規(guī)律方法　對(duì)于含有“至多”、“至少”的命題適合用反證法，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，需仔細(xì)體會(huì)“至少有一個(gè)”、“至多有一個(gè)”等字眼的含義，弄清結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)證明遺漏的錯(cuò)誤． 跟蹤演練1　已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)． 證明　假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)， ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴(a＋b)(c＋d)＝1. 又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， ∴ac＋bd≤1. 這與已知ac＋bd>1矛盾， ∴a，b，

5、c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)． 要點(diǎn)二　用反證法證明不存在、惟一性命題 例2　求證對(duì)于直線l：y＝kx＋1，不存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2－y2＝1的交點(diǎn)A、B關(guān)于直線y＝ax(a為常數(shù))對(duì)稱(chēng)． 證明　假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y＝ax對(duì)稱(chēng)，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有(1)直線l：y＝kx＋1與直線y＝ax垂直；(2)點(diǎn)A、B在直線l：y＝kx＋1上；(3)線段AB的中點(diǎn)在直線y＝ax上， 所以 由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④ 當(dāng)k2＝3時(shí)，l與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意． 由②、③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2，⑤ 由④

6、知x1＋x2＝，代入⑤整理得： ak＝3，這與①矛盾． 所以假設(shè)不成立，故不存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y＝ax對(duì)稱(chēng)． 規(guī)律方法　證明“惟一性”問(wèn)題的方法：“惟一性”包含“有一個(gè)”和“除了這個(gè)沒(méi)有另外一個(gè)”兩層意思．證明后一層意思時(shí)，采用直接證法往往會(huì)相當(dāng)困難，因此一般情況下都采用間接證法，即用反證法(假設(shè)“有另外一個(gè)”，推出矛盾)或同一法(假設(shè)“有另外一個(gè)”，推出它就是“已知那一個(gè)”)證明，而用反證法有時(shí)比用同一法更方便． 跟蹤演練2　求證：過(guò)一點(diǎn)只有一條直線與已知平面垂直． 已知：平面α和一點(diǎn)P. 求證：過(guò)點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條． 證明　如圖所示，不論點(diǎn)P在α內(nèi)還是在α

7、外，設(shè)PA⊥α，垂足為A(或P)． 假設(shè)過(guò)點(diǎn)P不止有一條直線與α垂直，如還有另一條直線PB⊥α，設(shè)PA，PB確定的平面為β，且α∩β＝a，于是在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)P有兩條直線PA，PB垂直于a，這與過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾，∴假設(shè)不成立，原命題成立． 要點(diǎn)三　用反證法證明否定性命題 例3　已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn； (2)設(shè)bn＝(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列． (1)解　設(shè)公差為d，由已知得 ∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．

8、 (2)證明　由(1)得bn＝＝n＋. 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數(shù)列，則b＝bpbr， 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)， ∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. ∵p，q，r∈N*， ∴　∴2＝pr，(p－r)2＝0， ∴p＝r，這與p≠r矛盾． ∴數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列． 規(guī)律方法　(1)當(dāng)結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語(yǔ)的命題時(shí)，此類(lèi)問(wèn)題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法．例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾． (2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)

9、把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法． 跟蹤演練3　已知f(x)＝ax＋(a>1)，證明方程f(x)＝0沒(méi)有負(fù)數(shù)根． 證明　假設(shè)x0是f(x)＝0的負(fù)數(shù)根，則x0<0且x0≠－1且＝－，由0<<1?0<－<1， 解得

10、這個(gè)三角形中________________． 答案　每一個(gè)內(nèi)角都小于60° 3．“ab 4．用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是________________________________． 答案　方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根 解析　方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根． 5．已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證a也是偶數(shù)． 證明　(反證法)假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)． 設(shè)a＝2n＋1(n∈Z)，則a2＝4n2＋

11、4n＋1. ∵4(n2＋n)是偶數(shù)， ∴4n2＋4n＋1是奇數(shù)，這與已知a2是偶數(shù)矛盾． 由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)． 1.反證法證明的基本步驟： (1)反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真； (2)歸謬——從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果； (3)存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立． 2．用反證法證題要把握三點(diǎn)： (1)必須先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的． (2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的

12、反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法． (3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的． 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個(gè)矛盾可以是________(填序號(hào))． ①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實(shí)矛盾． 答案　①②③④ 2．否定：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為_(kāi)_________________________________． 答案　a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù) 解析　自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種

13、情形：3個(gè)都是奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)2個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)1個(gè)奇數(shù)，3個(gè)都是偶數(shù)，所以否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為“a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”． 3．有下列敘述： ①“a>b”的反面是“ay或x

14、可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_(kāi)_______． 答案　a，b都不能被5整除 解析　“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒(méi)有”，即“a，b都不能被5整除”． 5．用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中存在偶數(shù)”時(shí)，否定結(jié)論應(yīng)為_(kāi)_______________________． 答案　a，b，c都不是偶數(shù) 解析　a，b，c中存在偶數(shù)即至少有一個(gè)偶數(shù)，其否定為a，b，c都不是偶數(shù)． 6．“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是__________________________________．

15、 答案　存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角 解析　“任何三角形”的否定是“存在一個(gè)三角形”，“至少有兩個(gè)”的否定是“最多有一個(gè)”． 7．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)．求證f(x)＝0無(wú)整數(shù)根． 證明　設(shè)f(x)＝0有一個(gè)整數(shù)根k，則 ak2＋bk＝－c.① 又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均為奇數(shù)， ∴a＋b為偶數(shù)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，顯然與①式矛盾； 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2n＋1(n∈Z)， 則ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)為偶數(shù)，也與①式矛盾，故假設(shè)不成立，所以方程f(x)＝0無(wú)整數(shù)根

16、． 二、能力提升 8．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a，b為實(shí)數(shù))”，其反設(shè)為_(kāi)_______________． 答案　a，b不全為0 解析　“a，b全為0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反設(shè)為“a≠0或b≠0”． 9．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則下面關(guān)于三個(gè)數(shù)a＋，b＋，c＋的說(shuō)法正確的是________． ①都大于2； ②至少有一個(gè)大于2； ③至少有一個(gè)不小于2； ④至少有一個(gè)不大于2. 答案?、? 解析　假設(shè)a＋<2，b＋<2，c＋<2， 則(a＋)＋(b＋)＋(c＋)<6. 又(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥2＋2

17、＋2＝6， 這與假設(shè)得到的不等式相矛盾，從而假設(shè)不正確，所以這三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2. 10．若下列兩個(gè)方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________________． 答案　a≤－2或a≥－1 解析　若兩方程均無(wú)實(shí)根，則Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>.Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－20，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求證：a>0，

18、b>0，c>0. 證明　用反證法： 假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)為負(fù)數(shù)，一個(gè)為正數(shù)， 不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，則由a＋b＋c>0， 可得c>－(a＋b)， 又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)， ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab， 即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2. ∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0， 這與已知ab＋bc＋ca>0矛盾，∴假設(shè)不成立． ∴a>0，b>0，c>0成立． 12．已知a，b，c∈(0,1)，求證(1

19、－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于. 證明　假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)大于， 即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>， 三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，① 又因?yàn)?