2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題五 空間幾何 5.2 空間中的平行與垂直練習(xí)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題五 空間幾何 5.2 空間中的平行與垂直練習(xí) 1．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m?α，“m∥β”是“α∥β”的(　　) A．充分而不必要條件　　　　 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：　當(dāng)m∥β時(shí)，過m的平面α與β可能平行也可能相交，因而m∥β?/ α∥β；當(dāng)α∥β時(shí)，α內(nèi)任一直線與β平行，因?yàn)閙?α，所以m∥β.綜上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件． 答案：　B 2．(2018·全國卷Ⅱ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為(　　

2、) A. B． C. D． 解析：　如圖，因?yàn)锳B∥CD，所以AE與CD所成的角為∠EAB. 在Rt△ABE中，設(shè)AB＝2， 則BE＝，則tan∠EAB＝＝， 所以異面直線AE與CD所成角的正切值為.故選C. 答案：　C 3．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為(　　) A. B． C. D． 解析：　如圖，取P1為底面ABC的中心，連接PP1，AP1，由底面是邊長為的正三角形，知底面三角形的高為，面積為，又三棱柱的體積為，則高PP1＝，AP1＝1，∠PAP1

3、為所求角，因?yàn)閠an∠PAP1＝，所以∠PAP1＝. 答案：　B 4．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論： ①BD⊥AC； ②△BAC是等邊三角形； ③三棱錐D-ABC是正三棱錐； ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正確的是(　　) A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 解析：　由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，結(jié)

4、合②知③正確；由①知④不正確．故選B. 答案：　B 5．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若P為三角形A1B1C1內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)，則點(diǎn)P在底面ABC的投影可能在(　　) A．△ABC的內(nèi)部 B．△ABC的外部 C．直線AB上 D．以上均有可能 解析：　因?yàn)锳C⊥AB，AC⊥BC1， 所以AC⊥平面ABC1，AC?平面ABC， 所以平面ABC1⊥平面ABC， 所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上． 若P為三角形A1B1C1內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)，則點(diǎn)P在底面ABC的投影可能在△ABC的外部． 答案：　B 6．若P為矩

5、形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)命題：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正確的命題是________． 解析：　由已知可得OM∥PD，∴OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.故正確的只有①③. 答案：?、佗? 7．已知a，b，l表示三條不同的直線，α，β，γ表示三個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題： ①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥γ； ②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，則b⊥α； ④若a?α，b?α，l

6、⊥a，l⊥b，l?α，則l⊥α. 其中正確的命題是________．(填序號(hào)) 解析：?、僭谡襟wA1B1C1D1-ABCD中，可令平面A1B1CD為α，平面DCC1D1為β，平面A1B1C1D1為γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，則CD與C1D1所在的直線分別表示a，b，因?yàn)镃D∥C1D1，但平面A1B1CD與平面A1B1C1D1不平行，即α與γ不平行，故①錯(cuò)誤．②因?yàn)閍，b相交，假設(shè)其確定的平面為γ，根據(jù)a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正確．③由兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個(gè)

7、平面垂直，易知③正確．④當(dāng)a∥b時(shí)，l垂直于平面α內(nèi)兩條不相交直線，不可得出l⊥α，④錯(cuò)誤．故填②③. 答案：?、冖? 8.如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E、F分別是點(diǎn)A在PB、PC上的正投影，給出的下列結(jié)論正確的是________． ①AF⊥PB；②EF⊥PB； ③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 解析：　由題意知PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC. 又AC⊥BC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC. 所以BC⊥AF. 因?yàn)锳F⊥PC，BC∩PC＝C， 所以AF⊥平面PBC，PB?平面PBC， 所以AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩A

8、F＝A， 所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF. 故①②③正確． 答案：　①②③ 9．(2018·鄭州市第一次質(zhì)量測試)如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC＝2，D為線段AB上的點(diǎn)，且AD＝2DB，PD⊥AC. (1)求證：PD⊥平面ABC； (2)若∠PAB＝ ，求點(diǎn)B到平面PAC的距離． 解析：　(1)證明：∵cos∠ABC＝＝， ∴CD2＝22＋(2)2－2×2×2cos∠ABC＝8，∴CD＝2， ∴CD2＋AD2＝AC2，則CD⊥AB. ∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，PD?平面PAB，∴CD⊥PD， ∵PD⊥

9、AC，AC∩CD＝C，∴PD⊥平面ABC. (2)由(1)得PD⊥AB，∵∠PAB＝， ∴PD＝AD＝4，PA＝4， 在Rt△PCD中，PC＝＝2， ∴△PAC是等腰三角形，∴可求得S△PAC＝8. 設(shè)點(diǎn)B到平面PAC的距離為d， 由VB-PAC＝VP-ABC，得S△PAC×d＝S△ABC×PD， ∴d＝＝3. 故點(diǎn)B到平面PAC的距離為3. 10．在如圖所示的多面體ABCDE中，已知ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，AE＝BE. (1)若M是DE的中點(diǎn)，試在AC上找一點(diǎn)N，使得MN∥平面ABE，并給出證明； (2)求多面體ABC

10、DE的體積． 解析：　(1)連接BD，交AC于點(diǎn)N，則點(diǎn)N即為所求，證明如下： ∵ABCD是正方形，∴N是BD的中點(diǎn)， 又M是DE的中點(diǎn)，∴MN∥BE， ∵BE?平面ABE，MN?平面ABE， ∴MN∥平面ABE. (2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF， ∵△ABE是等腰直角三角形，且AB＝2， ∴EF⊥AB，EF＝AB＝1， ∵平面ABCD⊥平面ABE， 平面ABCD∩平面ABE＝AB， EF?平面ABE， ∴EF⊥平面ABCD，即EF為四棱錐E-ABCD的高， ∴V四棱錐E-ABCD＝S正方形ABCD·EF＝×22×1＝. B級(jí) 1．如圖，四棱錐S-ABCD

11、的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是(　　) A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA與平面 SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角 解析：　易證AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正確； AB∥DC，DC?平面SCD，故AB∥平面SCD，B正確； 由于SA，SC與平面SBD的相對(duì)位置一樣，因而所成的角相同．故選D. 答案：　D 2．把平面圖形M上的所有點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影構(gòu)成的圖形M′稱為圖形M在這個(gè)平面上的射影．如圖，在長方體ABCD-EFGH中，AB＝5，AD＝4，AE＝3.則△EBD

12、在平面EBC上的射影的面積是(　　) A．2 B． C．10 D．30 解析：　連接HC，過D作DM⊥HC，連接ME，MB，因?yàn)锽C⊥平面HCD，又DM?平面HCD，所以BC⊥DM，因?yàn)锽C∩HC＝C，所以DM⊥平面HCBE，即D在平面HCBE內(nèi)的射影為M，所以△EBD在平面HCBE內(nèi)的射影為△EBM，在長方體中，HC∥BE，所以△MBE的面積等于△CBE的面積，所以△EBD在平面EBC上的射影的面積為××4＝2，故選A. 答案：　A 3．如圖所示，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.

13、(1)求證：AB⊥DE； (2)求三棱錐E-ABD的側(cè)面積和體積． 解析：　(1)證明：在△ABD中，因?yàn)锳B＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，所以BD＝＝2， 所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD. 又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，所以AB⊥平面EBD. 又DE?平面EBD，所以AB⊥DE. (2)由(1)知AB⊥BD. 因?yàn)镃D∥AB，所以CD⊥BD，從而DE⊥BD. 在Rt△DBE中，因?yàn)镈B＝2，DE＝DC＝AB＝2，所以S△EDB＝BD·DE＝2. 因?yàn)锳B⊥平面EBD，BE?平面EBD，所以AB⊥BE. 因?yàn)锽

14、E＝BC＝AD＝4，所以S△EAB＝AB·BE＝4. 因?yàn)镈E⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，所以DE⊥平面ABD，而AD?平面ABD，所以DE⊥AD，故S△EAD＝AD·DE＝4. 故三棱錐E-ABD的側(cè)面積S＝S△EDB＋S△EAB＋S△EAD＝8＋2. 因?yàn)镈E⊥平面ABD，且S△ABD＝S△EBD＝2，DE＝2， 所以V三棱錐E-ABD＝S△ABD×DE＝×2×2＝. 4．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝，E是側(cè)棱PA上的動(dòng)點(diǎn)． (1)求四棱錐P-ABCD的體積； (2)如果E是PA的中點(diǎn)，求

15、證：PC∥平面BDE； (3)不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，是否都有BD⊥CE？證明你的結(jié)論． 解析：　(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD， 所以VP-ABCD＝S正方形ABCD·PA＝×12×＝， 即四棱錐P-ABCD的體積為. (2)證明：如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)， 又E是PA的中點(diǎn)，所以PC∥OE， 因?yàn)镻C?平面BDE，OE?平面BDE， 所以PC∥平面BDE. (3)不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BD⊥CE.證明如下： 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BD⊥AC， 因?yàn)镻A⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，所以BD⊥PA， 又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC. 因?yàn)椴徽擖c(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，都有CE?平面PAC， 所以不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BD⊥CE.