2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1篇 專題7 解析幾何 第3講 第1課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及證明問題學(xué)案

2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1篇 專題7 解析幾何 第3講 第1課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及證明問題學(xué)案考向一直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題【典例】 (2018·合肥三模)已知拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，以拋物線上一動點M為圓心的圓經(jīng)過點F.若圓M的面積最小值為(1)求p的值；(2)當(dāng)點M的橫坐標(biāo)為1且位于第一象限時，過M作拋物線的兩條弦MA，MB，且滿足AMFBMF. 若直線AB恰好與圓M相切，求直線AB的方程思路分析總體設(shè)計看到：求p的值，想到：建立關(guān)于p的方程求解看到：求直線的方程，想到：求出直線斜率后設(shè)出直線的斜截式方程，待定系數(shù)法求解解題指導(dǎo)(1)由拋物線的性質(zhì)知，當(dāng)圓心M位于拋物線的頂點時，圓M的面積最小，由可得p的值；(2)依橫坐標(biāo)相等可得，MFx軸，kMAkMB0，設(shè)kMAk(k0)，則直線MA的方程為yk(x1)2，代入拋物線的方程得，利用韋達(dá)定理求出A的坐標(biāo)，同理求出B的坐標(biāo)，求出AB的斜率為定值1，設(shè)直線AB的方程為yxm，由圓心到直線的距離等于半徑，列方程解得m3±2，從而可得直線AB的方程.規(guī)范解答(1)由拋物線的性質(zhì)知，當(dāng)圓心M位于拋物線的頂點時，圓M的面積最小， 1分此時圓的半徑為|OF|，解得p23分(2)依題意得，點M的坐標(biāo)為(1,2)，圓M的半徑為2.由F(1，0)知，MFx軸.4分由AMFBMF知，弦MA，MB所在直線的傾斜角互補，kMAkMB0.5分設(shè)kMAk(k0)，則直線MA的方程為yk(x1)2，x(y2)1，6分代入拋物線的方程得y24，y2y40，7分yA2，yA2.8分將k換成k，得yB2，9分kAB110分設(shè)直線AB的方程為yxm，即xym0由直線AB與圓M相切得，2，解得m3±2.11分經(jīng)檢驗m32不符合要求，故m32舍去所求直線AB的方程為yx32.12分技法總結(jié)解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的步驟(1)設(shè)方程及點的坐標(biāo)；(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(注意二次項系數(shù)是否為零) ；(3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式；(4)結(jié)合已知條件、中點坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長公式求解變式提升1(2018·佛山二模)已知直線l過點P(2,0)，且與拋物線T：y24x相交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中點A在第四象限，O為坐標(biāo)原點(1)當(dāng)A是PC中點時，求直線l的方程；(2)以AB為直徑的圓交直線OB于點D，求|OB|·|OD|的值解(1)因為A是PC中點，P(2,0)，點C在y軸上，所以A的橫坐標(biāo)x1，代入y24x得，y±2，又點A在第四象限，所以A的坐標(biāo)為(1，2)，所以直線AP即直線l的方程為y2x4(2)顯然直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又B，O，D三點共線，則可設(shè)D為(x2，y2)(1且0)，聯(lián)立方程化簡得到y(tǒng)24my80，由韋達(dá)定理得y1·y28，又A，B在y24x上，所以x1·x24，因為D在以AB為直徑的圓上，所以，即·0，又(x2x1，y2y1)，(x2，y2)，所以(x2x1)(x2)(y2y1)(y2)0，即(xy)4，所以|OB|·|OD|OB|2|(xy)4考向二圓錐曲線中的證明問題【典例】 已知橢圓C的兩個頂點分別為A(2,0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率為(1)求橢圓C的方程；(2)點D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過D作AM的垂線交BN于點E.求證：BDE與BDN的面積之比為45(1)解設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)由題意得解得c所以b2a2c21所以橢圓C的方程為y21(2)證明設(shè)M(m，n)，則D(m,0)，N(m，n)由題設(shè)知m±2，且n0直線AM的斜率kAM，故直線DE的斜率kDE所以直線DE的方程為y(xm)直線BN的方程為y(x2)聯(lián)立解得點E的縱坐標(biāo)yE由點M在橢圓C上，得4m24n2，所以yEn又SBDE|BD|·|yE|BD|·|n|，SBDN|BD|·|n|，所以BDE與BDN的面積之比為45技法總結(jié)圓錐曲線證明問題的類型及求解策略(1)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系，如：某點在某直線上、某直線經(jīng)過某個點、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等)(2)解決證明問題時，主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等進(jìn)行證明變式提升2(2018·大慶二模)已知橢圓C：1(ab0)的焦距為2，且C過點(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)B1、B2分別是橢圓C的下頂點和上頂點，P是橢圓上異于B1、B2的任意一點，過點P作PMy軸于M，N為線段PM的中點，直線B2N與直線y1交于點D，E為線段B1D的中點，O為坐標(biāo)原點求證：ONEN(1)解由題設(shè)知焦距為2，所以c又因為橢圓過點，所以代入橢圓方程得1，因為a2b2c2，解得a2，b1，故所求橢圓C的方程是y21(2)證明設(shè)P(x0，y0)，x00，則M(0，y0)，N因為點P在橢圓C上，所以y1.即x44y又B2(0,1)，所以直線B2N的方程為y1x令y1，得x，所以D又B1(0，1)，E為線段B1D的中點，所以E. 所以，因·y0(y01)yy01y01y01y00，所以， 即ONEN