《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 第1篇 專題7 解析幾何 第3講 第1課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及證明問題學(xué)案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 第1篇 專題7 解析幾何 第3講 第1課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及證明問題學(xué)案(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 第1篇 專題7 解析幾何 第3講 第1課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及證明問題學(xué)案考向一直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題【典例】 (2018合肥三模)已知拋物線C:y22px(p0)的焦點為F,以拋物線上一動點M為圓心的圓經(jīng)過點F.若圓M的面積最小值為(1)求p的值;(2)當點M的橫坐標為1且位于第一象限時,過M作拋物線的兩條弦MA,MB,且滿足AMFBMF. 若直線AB恰好與圓M相切,求直線AB的方程思路分析總體設(shè)計看到:求p的值,想到:建立關(guān)于p的方程求解看到:求直線的方程,想到:求出直線斜率后設(shè)出直線的斜截式方程,待定系數(shù)法求解解題指導(dǎo)(1)由拋物線的性質(zhì)知,當圓心
2、M位于拋物線的頂點時,圓M的面積最小,由可得p的值;(2)依橫坐標相等可得,MFx軸,kMAkMB0,設(shè)kMAk(k0),則直線MA的方程為yk(x1)2,代入拋物線的方程得,利用韋達定理求出A的坐標,同理求出B的坐標,求出AB的斜率為定值1,設(shè)直線AB的方程為yxm,由圓心到直線的距離等于半徑,列方程解得m32,從而可得直線AB的方程.規(guī)范解答(1)由拋物線的性質(zhì)知,當圓心M位于拋物線的頂點時,圓M的面積最小, 1分此時圓的半徑為|OF|,解得p23分(2)依題意得,點M的坐標為(1,2),圓M的半徑為2.由F(1,0)知,MFx軸.4分由AMFBMF知,弦MA,MB所在直線的傾斜角互補,k
3、MAkMB0.5分設(shè)kMAk(k0),則直線MA的方程為yk(x1)2,x(y2)1,6分代入拋物線的方程得y24,y2y40,7分yA2,yA2.8分將k換成k,得yB2,9分kAB110分設(shè)直線AB的方程為yxm,即xym0由直線AB與圓M相切得,2,解得m32.11分經(jīng)檢驗m32不符合要求,故m32舍去所求直線AB的方程為yx32.12分技法總結(jié)解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的步驟(1)設(shè)方程及點的坐標;(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組,消元得方程(注意二次項系數(shù)是否為零) ;(3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式;(4)結(jié)合已知條件、中點坐標公式、斜率公式及弦長公式求解變式提升1(2018佛
4、山二模)已知直線l過點P(2,0),且與拋物線T:y24x相交于A,B兩點,與y軸交于點C,其中點A在第四象限,O為坐標原點(1)當A是PC中點時,求直線l的方程;(2)以AB為直徑的圓交直線OB于點D,求|OB|OD|的值解(1)因為A是PC中點,P(2,0),點C在y軸上,所以A的橫坐標x1,代入y24x得,y2,又點A在第四象限,所以A的坐標為(1,2),所以直線AP即直線l的方程為y2x4(2)顯然直線l的斜率不為0,設(shè)直線l的方程為xmy2,A(x1,y1),B(x2,y2),又B,O,D三點共線,則可設(shè)D為(x2,y2)(1且0),聯(lián)立方程化簡得到y(tǒng)24my80,由韋達定理得y1y
5、28,又A,B在y24x上,所以x1x24,因為D在以AB為直徑的圓上,所以,即0,又(x2x1,y2y1),(x2,y2),所以(x2x1)(x2)(y2y1)(y2)0,即(xy)4,所以|OB|OD|OB|2|(xy)4考向二圓錐曲線中的證明問題【典例】 已知橢圓C的兩個頂點分別為A(2,0),B(2,0),焦點在x軸上,離心率為(1)求橢圓C的方程;(2)點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E.求證:BDE與BDN的面積之比為45(1)解設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)由題意得解得c所以b2a2c21所以橢圓C的方程為y21(2)證明設(shè)M
6、(m,n),則D(m,0),N(m,n)由題設(shè)知m2,且n0直線AM的斜率kAM,故直線DE的斜率kDE所以直線DE的方程為y(xm)直線BN的方程為y(x2)聯(lián)立解得點E的縱坐標yE由點M在橢圓C上,得4m24n2,所以yEn又SBDE|BD|yE|BD|n|,SBDN|BD|n|,所以BDE與BDN的面積之比為45技法總結(jié)圓錐曲線證明問題的類型及求解策略(1)圓錐曲線中的證明問題,主要有兩類:一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系,如:某點在某直線上、某直線經(jīng)過某個點、某兩條直線平行或垂直等;二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等)(2)解決證明問題時,主要根據(jù)直線與圓錐
7、曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等,通過相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等進行證明變式提升2(2018大慶二模)已知橢圓C:1(ab0)的焦距為2,且C過點(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)B1、B2分別是橢圓C的下頂點和上頂點,P是橢圓上異于B1、B2的任意一點,過點P作PMy軸于M,N為線段PM的中點,直線B2N與直線y1交于點D,E為線段B1D的中點,O為坐標原點求證:ONEN(1)解由題設(shè)知焦距為2,所以c又因為橢圓過點,所以代入橢圓方程得1,因為a2b2c2,解得a2,b1,故所求橢圓C的方程是y21(2)證明設(shè)P(x0,y0),x00,則M(0,y0),N因為點P在橢圓C上,所以y1.即x44y又B2(0,1),所以直線B2N的方程為y1x令y1,得x,所以D又B1(0,1),E為線段B1D的中點,所以E. 所以,因y0(y01)yy01y01y01y00,所以, 即ONEN