（魯京遼）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.1 構(gòu)成空間幾何體的基本元素學(xué)案 新人教B版必修2

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1、 1.1.1　構(gòu)成空間幾何體的基本元素 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解空間中點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系.2.了解軌跡和圖形的關(guān)系.3.初步了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系． 知識(shí)點(diǎn)一　構(gòu)成幾何體的基本元素 思考1　平面幾何研究的主要對(duì)象是什么？構(gòu)成平面圖形的基本元素是什么？ 答案　平面圖形；點(diǎn)與直線． 思考2　構(gòu)成幾何體的基本元素是什么？ 答案　點(diǎn)、線、面． 梳理　幾何體的定義 (1)定義：只考慮一個(gè)物體占有空間部分的形狀和大小，而不考慮其他因素，則這個(gè)空間部分叫做一個(gè)幾何體． (2)構(gòu)成空間幾何體的基本元素：點(diǎn)、線、面． 知識(shí)點(diǎn)二　長方體 思考　長方體的

2、基本元素有哪些？如何定義？ 答案　6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)，長方體是由六個(gè)矩形(包括它的內(nèi)部)圍成的． 梳理　長方體的概念 (1)基本元素：長方體有12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)，6個(gè)面． (2)面：圍成長方體的各個(gè)矩形． (3)棱：相鄰兩個(gè)面的公共邊． (4)頂點(diǎn)：棱和棱的公共點(diǎn)． 知識(shí)點(diǎn)三　平面 思考　平的鏡面是一個(gè)平面嗎？ 答案　不是，數(shù)學(xué)中的平面是個(gè)抽象的概念，它是無限延展的． 梳理　平面的概念 (1)特征：平面是處處平直的面，是無限延展的． (2)畫法：通常畫一個(gè)平行四邊形表示一個(gè)平面． (3)命名：用希臘字母α，β，γ，…來命名，還可以用表示它的平行四邊形的

3、對(duì)角頂點(diǎn)的字母來命名． 知識(shí)點(diǎn)四　空間中直線、平面的位置關(guān)系 思考　空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系有哪些？ 答案　直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行． 平面與平面的位置關(guān)系有平面與平面平行、平面與平面相交兩種． 梳理　特殊位置關(guān)系的幾個(gè)定義比較 位置關(guān)系 定義 圖形及符號(hào)表示 平行 線面 若直線和平面沒有公共點(diǎn)，則說直線和平面平行 AB∥平面α 面面 若兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則說這兩個(gè)平面平行 平面α∥平面β 垂直 線面 若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則說直線與平面垂直 l⊥平面α 面面

4、若兩個(gè)平面相交，并且其中一個(gè)平面通過另一個(gè)平面的一條垂線，則說這兩個(gè)平面互相垂直 平面α⊥平面β 距離 點(diǎn)面 點(diǎn)到平面的垂線段的長度，稱作點(diǎn)到平面的距離 兩平面 夾在兩平行平面間垂線段的長度稱作兩平面間的距離 1．8個(gè)平面重疊起來要比6個(gè)平面重疊起來厚．(　×　) 2．空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面．(　×　) 3．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面．(　×　) 類型一　幾何體的基本元素 例1　試指出下圖中各幾何體的基本元素． 解　(1)中幾何體有6個(gè)頂點(diǎn)，12條棱和8個(gè)面． (2)中幾何體有12個(gè)頂點(diǎn)，18條棱和8個(gè)面． (3)中幾何體有6

5、個(gè)頂點(diǎn)，10條棱和6個(gè)面． (4)中幾何體有2條曲線，3個(gè)面(2個(gè)平面和1個(gè)曲面)． 反思與感悟　點(diǎn)是最基本的元素，只有位置，沒有大小；直線沒有粗細(xì)，向兩方無限延伸；平面沒有厚度，向周圍無限延展．要熟記這三種基本元素的特點(diǎn)．在現(xiàn)實(shí)生活中要多觀察幾何體，以便加深對(duì)構(gòu)成空間幾何體的基本元素的認(rèn)識(shí)． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，下列說法正確的有________．(填序號(hào)) ①長方體的頂點(diǎn)一共有8個(gè)； ②線段AA1所在的直線是長方體的一條棱； ③矩形ABCD所在的平面是長方體的一個(gè)面； ④長方體由六個(gè)平面圍成． 答案　① 類型二　空間中點(diǎn)、線、面的位置

6、關(guān)系的判定 例2　如圖所示，在長方體ABCD—A′B′C′D′中，如果把它的12條棱延伸為直線，6個(gè)面延展為平面，那么在這12條直線與6個(gè)平面中： (1)與直線B′C′平行的平面有哪幾個(gè)？ (2)與直線B′C′垂直的平面有哪幾個(gè)？ (3)與平面BC′平行的平面有哪幾個(gè)？ (4)與平面BC′垂直的平面有哪幾個(gè)？ (5)平面AC與平面A′C′間的距離可以用哪些線段來表示？ 解　(1)有平面ADD′A′與平面ABCD. (2)有平面ABB′A′、平面CDD′C′. (3)有平面ADD′A′. (4)有平面ABB′A′、平面CDD′C′、平面A′B′C′D′與平面ABCD.

7、(5)可用線段AA′，BB′，CC′，DD′來表示． 反思與感悟　(1)解決此類問題的關(guān)鍵在于識(shí)圖，根據(jù)圖形識(shí)別直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直． (2)長方體和正方體是立體幾何中的重要幾何體，對(duì)其認(rèn)識(shí)有助于進(jìn)一步認(rèn)識(shí)立體幾何中的點(diǎn)、線、面的基本關(guān)系． 跟蹤訓(xùn)練2　下列關(guān)于長方體ABCD－A1B1C1D1中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的說法正確的是________．(填序號(hào)) ①直線AA1與直線BB1平行； ②直線AA1與平面C1D1DC相交； ③直線AA1與平面ABCD垂直； ④點(diǎn)A1與點(diǎn)B1到平面ABCD的距離相等． 答案?、佗邰? 解析?、僬_，由于AA1與BB1是矩形A

8、BB1A1的一組對(duì)邊，所以AA1∥BB1； ②不正確，由于直線AA1與平面C1D1DC沒有交點(diǎn)，所以AA1∥平面C1D1DC； ③正確，由于直線AA1與平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線AB，AD垂直，所以AA1⊥平面ABCD； ④正確，點(diǎn)A1到平面ABCD的距離為AA1，點(diǎn)B1到平面ABCD的距離為BB1，又AA1＝BB1，因此距離相等． 類型三　幾何體的表面展開圖 例3　把如圖所示的幾何體沿線段AA′及與上、下底相關(guān)的棱剪開，然后放在平面上展開，試畫出這些圖形． 解　畫出的相應(yīng)圖形如圖所示． 反思與感悟　多面體表面展開圖問題的解題策略 (1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展

9、開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中，給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖． (2)已知展開圖：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個(gè)多面體展開的，則可把上述過程逆推．同一個(gè) 幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個(gè)多面體可有多個(gè)表面展開圖． 跟蹤訓(xùn)練3　一個(gè)無蓋的正方體盒子的平面展開圖如圖，A、B、C是展開圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，∠ABC＝________. 答案　60° 解析　將平面圖形翻折，折成空間圖形，如圖．由圖可知AB＝BC＝AC，所以△ABC為等邊三角

10、形．所以∠ABC＝60°. 1．有以下結(jié)論： ①平面是處處平的面； ②平面是無限延展的； ③平面的形狀是平行四邊形； ④一個(gè)平面的厚度可以是0.001 cm. 其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考點(diǎn)　平面的概念、面法及表示 題點(diǎn)　平面概念的應(yīng)用 答案　B 解析　平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄，①②兩種說法是正確的；③④兩種說法是錯(cuò)誤的．故選B. 2．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有(　　) ①曲面上可以存在直線； ②平面上可存在曲線； ③曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡可形成平面； ④直線運(yùn)動(dòng)的軌跡可形成曲面； ⑤曲面上不能畫出直線． A．3

11、 B．4 C．5 D．2 答案　B 解析　由空間中構(gòu)成幾何體的基本元素可判斷①②③④均正確，而曲面上可以畫出直線，所以⑤錯(cuò)誤，故選B. 3．下列說法正確的是(　　) A．在空間中，一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)成直線 B．在空間中，直線平行移動(dòng)形成平面 C．在空間中，直線繞該直線上的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)形成平面或錐面 D．在空間中，矩形上各點(diǎn)沿同一方向移動(dòng)形成長方體 答案　C 解析　一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)也可以成曲線，故A錯(cuò)；在空間中，直線平行移動(dòng)可以形成平面或曲面，故B錯(cuò)；在空間中，矩形上各點(diǎn)沿鉛垂線向上(或向下)移動(dòng)相同距離所形成的幾何體是長方體，故D錯(cuò)． 4.在長方體ABCD－A1B1C1D1中(如圖所示

12、)，和棱A1B1不相交的棱有________條． 答案　7 解析　在長方體中一共有12條棱，除去與A1B1相交的與其本身，還剩7條． 5．如圖，一個(gè)封閉的長方體，它的六個(gè)表面各標(biāo)有A，B，C，D，E，F(xiàn)這六個(gè)字母之一，現(xiàn)放置成如圖三種不同的位置，則字母A，B，C對(duì)面的字母分別為________． 答案　E，D，F(xiàn) 解析　第一個(gè)正方體已知A，C，D，第二個(gè)正方體已知B，C，E，第三個(gè)正方體已知A，B，C，且不同的面上寫的字母各不相同，則可知，A對(duì)面標(biāo)的是E，B對(duì)面標(biāo)的是D，C對(duì)面標(biāo)的是F. 1．點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素． 2．平面是無限延展的，通常畫一個(gè)平行四邊

13、形表示一個(gè)平面． 3．平面的記法 (1)平面一般用希臘字母α、β、γ…來命名； (2)平面圖形頂點(diǎn)法． 4．認(rèn)識(shí)空間中的點(diǎn)、直線和平面之間的位置關(guān)系，我們可以動(dòng)手制作一些模型或畫出圖形，來幫助我們理解和提高空間想象能力． 一、選擇題 1．下列不屬于構(gòu)成空間幾何體的基本元素的是(　　) A．點(diǎn) B．線段 C．曲面 D．多邊形(不包括內(nèi)部的點(diǎn)) 答案　D 解析　空間中的幾何體是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的，而線有直線和曲線之分，面有平面和曲面之分，只有多邊形(不包括內(nèi)部的點(diǎn))不屬于構(gòu)成幾何體的基本元素． 2．下列說法正確的是(　　) A．水平放置的平面是大小確定的平行四邊

14、形 B．平面ABCD即平行四邊形ABCD的四條邊圍起來的部分 C．一條直線和一個(gè)平面一定會(huì)有公共點(diǎn) D．平面是光滑的，可向四周無限延展 答案　D 解析　平面可以用平行四邊形來表示，但平行四邊形只是平面的一部分，不能理解為平面，A錯(cuò)；平面是一個(gè)抽象的概念，是無限延展的，沒有大小、厚薄之分，B錯(cuò)；直線和平面可以沒有公共點(diǎn)，此時(shí)直線和平面平行，C錯(cuò)．故選D. 3．下列關(guān)于長方體的敘述中不正確的是(　　) A．將一個(gè)矩形沿豎直方向平移一段距離一定能形成一個(gè)長方體 B．長方體中相對(duì)的面互相平行 C．長方體某一底面上的高就是這一面與其所對(duì)面的距離 D．兩相對(duì)面之間的棱互相平行且等長

15、答案　A 解析　A選項(xiàng)中，若矩形斜放，則不會(huì)形成長方體，故選A. 4．下列四個(gè)長方體中，由圖中的紙板折成的是(　　) 答案　A 解析　根據(jù)題圖中紙板的折疊情況及特殊面的陰影部分可以判斷B，C，D不正確，故選A. 5.某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案相同的正方體禮品盒(如圖)，則這個(gè)正方體禮品盒的表面展開圖應(yīng)該為(　　) 答案　A 解析　兩個(gè)不能并列相鄰，B、D錯(cuò)誤；兩個(gè)不能并列相鄰，C錯(cuò)誤，故選A.也可通過實(shí)物制作檢驗(yàn)來判定． 6．兩個(gè)平面可以將空間分成(　　) A．3部分 B．4部分 C．2或4部分 D．3或4部分 答案　D 解析　當(dāng)兩平面平行時(shí)，

16、將空間分成3部分；當(dāng)兩平面相交時(shí)，將空間分成4部分，故選D. 二、填空題 7．下列說法： ①任何一個(gè)幾何體都必須有頂點(diǎn)、棱和面； ②一個(gè)幾何體可以沒有頂點(diǎn)； ③一個(gè)幾何體可以沒有棱； ④一個(gè)幾何體可以沒有面． 其中正確的是________．(填序號(hào)) 答案?、冖? 解析　球只有一個(gè)曲面圍成，故①錯(cuò)，②③對(duì)，由于幾何體是空間圖形，故一定有面，④錯(cuò)． 8.在如圖所示的長方體ABCD－A′B′C′D′中，互相平行的平面共有________對(duì)，與A′A垂直的平面是________________． 答案　3　平面ABCD，平面A′B′C′D′ 解析　平面ABCD與平面A′B′

17、C′D′平行，平面ABB′A′與平面CDD′C′平行，平面ADD′A′與平面BCC′B′平行，共3對(duì)．與AA′垂直的是平面ABCD，平面 A′B′C′D′. 9．線段AB的長為5 cm，在水平面上向右移動(dòng)4 cm后記為CD，將CD沿鉛垂線方向向下移動(dòng)3 cm后記為C′D′，再將C′D′沿水平方向向左移動(dòng)4 cm后記為A′B′，依次連接構(gòu)成長方體ABCD－A′B′C′D′. (1)該長方體的高為________ cm. (2)平面A′B′BA與平面CDD′C′間的距離為________ cm. (3)點(diǎn)A到平面BCC′B′的距離為________ cm. 答案　(1)3　(2)4　(

18、3)5 解析　如圖，(1)該長方體的高為3 cm. (2)平面A′B′BA與平面CDD′C′間的距離為4 cm. (3)A到平面BCC′B′的距離為5 cm. 10．一個(gè)正方體去掉一個(gè)“角”后減少了一個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)幾何圖形是________．(填序號(hào)) 答案　③ 解析　正方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，去掉一個(gè)“角”后減少了一個(gè)頂點(diǎn)即有7個(gè)頂點(diǎn)． 11．如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖，A，B，C均為所在棱的中點(diǎn)，D為正方體的頂點(diǎn)．若正方體的棱長為2，則封閉折線ABCDA的長為________． 答案?。?＋ 解析　如圖，AB＋BC＋CD＋DA＝＋＋＋ ＝＋2＋，即折線ABCD

19、A的長為＋2＋. AB＋BC＋CD＋DA＝＋＋＋＝＋2＋. 三、解答題 12．如圖所示，指出幾何體的點(diǎn)、線、面． 解　其中的點(diǎn)有A，B，C，D，M，N. 其中的線有AB，BC，CD，DA，MA，MB，MC，MD，NA，NB，NC，ND. 其中的平面有平面MAD，平面MAB，平面MBC，平面MDC，平面NAB，平面NAD，平面NDC，平面NBC. 13．如圖所示是一個(gè)正方體表面的展開圖，圖中四條線段AB，CD，EF和GH在原正方體中的位置關(guān)系是什么？ 解　選擇一個(gè)面為底面，將圖形向上折成正方體，如圖，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，則線段AB與EF相交，線段HG與CD

20、相交，線段EF與CD平行． 四、探究與拓展 14．如圖，模塊①－⑤均由4個(gè)棱長為1的小正方體構(gòu)成，模塊⑥由15個(gè)棱長為1的小正方體構(gòu)成．現(xiàn)從模塊①－⑤中選出三個(gè)放到模塊⑥上，使得模塊⑥成為一個(gè)棱長為3的大正方體，則下列選擇方案中，能夠完成任務(wù)的為(　　) A．模塊①，②，⑤ B．模塊①，③，⑤ C．模塊②，④，⑤ D．模塊③，④，⑤ 答案　A 解析　先將⑤放入⑥中的空缺部分，然后在上層放入①②，可得正方體，而可驗(yàn)證其余不合題意．故選A. 15．如圖是邊長為1 m的正方體，有一蜘蛛潛伏在A處，B處有一小蟲被蜘蛛網(wǎng)粘住，請(qǐng)制作出模型，將正方體剪開，描述蜘蛛爬行的最短路線． 解　通過正方體的展開圖(如圖所示)，可以發(fā)現(xiàn)，AB間的最短距離為A，B兩點(diǎn)間的線 段的長，為＝(m)．由展開圖可以發(fā)現(xiàn)，C點(diǎn)為其中一條棱的中點(diǎn)． 爬行的最短路線如圖(1)～(6)所示． 12