2022高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 第二節(jié) 一元二次不等式學(xué)案 蘇教版必修5

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 第二節(jié) 一元二次不等式學(xué)案 蘇教版必修5 一、考點(diǎn)突破 知識點(diǎn) 課標(biāo)要求 題型 說明 一元二次不等式 1. 掌握簡單的一元二次不等式的解法。 2. 掌握一元二次不等式與相應(yīng)的函數(shù)、方程的關(guān)系。 選擇題 填空題 一元二次不等式是解不等式的基礎(chǔ)，要認(rèn)真掌握。并注意體會不等式、函數(shù)、方程間的相互轉(zhuǎn)化思想。 二、重難點(diǎn)提示 重點(diǎn)：理解一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系；理解一元二次不等式的恒成立問題；從實際情境中抽象出一元二次不等式模型。 難點(diǎn)：理解二次函數(shù)圖象、一元二次方程的根與一元二次不等式解集之間的關(guān)系。

2、考點(diǎn)一：一元二次不等式及其解集 （1）概念 形如或（其中）的不等式叫做一元二次不等式。 （2）與二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c （a＞0）的圖象 ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的根 有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2且x1＜x2 有兩個相等的 實數(shù)根x1，x2 沒有實數(shù)根 ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集 {x|x＞x2或x＜x1} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集 {x|x1＜x＜x2} ? ? 考點(diǎn)二：一元二次不等式的解法 解一元二次不

3、等式的一般步驟是： （1）對不等式變形，使一端為零且二次項系數(shù)大于零； （2）計算相應(yīng)的判別式； （3）當(dāng)時，求出相應(yīng)的一元二次方程的根； （4）根據(jù)一元二次不等式解的結(jié)構(gòu)，寫出其解。 【核心歸納】 其中對的解的結(jié)構(gòu)可記為“”的解為“大于大根或小于小根”，“”的解為“大于小根且小于大根”，總結(jié)為“大于0取兩邊，小于0去中間”。 【隨堂練習(xí)】若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－3＜x＜4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b＜0的解集。 思路分析：由不等式的解集→方程的解→利用韋達(dá)定理求a、b、c關(guān)系→解所求不等式 答案：∵ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－3＜x＜

4、4}， ∴a＜0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根。 由韋達(dá)定理，得 即 ∵不等式bx2＋2ax－c－3b＜0， ∴－ax2＋2ax＋15a＜0，即x2－2x －15＜0。 故所求的不等式的解集為{x|－3＜x＜5}。 技巧點(diǎn)撥： 1. 一元二次不等式解集的區(qū)間端點(diǎn)值就是相應(yīng)方程的實根，也是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)，三者之間的相互轉(zhuǎn)化是本題求解的關(guān)鍵。 2. 由一元二次不等式解集的情況，還可判斷出二次項系數(shù)的正負(fù)，解題時也要注意到。 例題1 （一元二次不等式的基本解法） 解下列不等式： （1）2x2－3x－2＞0；（2） 2x2－4x＋7＜0； （3）－6

5、x2－x＋2≥0；（4）－4x2≥1－4x。 思路分析：化一邊為0→二次項系數(shù)化為正→求對應(yīng)方程的根→二次函數(shù)圖象與解集 答案：（1）∵Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0， ∴方程2x2－3x－2＝0的兩根是－，2， ∴原不等式的解集為； （2）∵Δ＝（－4）2－4×2×7＜0， ∴不等式2x2－4x＋7＜0的解集為； （3）原不等式可化為6x2＋x－2≤0， ∵Δ＝12－4×6×（－2）＞0， ∴方程6x2＋x－2＝0的兩根是－，， ∴原不等式的解集為； （4）原不等式可化為4x2－4x＋1≤0，即（2x－1）2≤0， ∴原不等式的解集是； 技巧點(diǎn)撥： 1

6、. 本題給出了解一元二次不等式的各種常見類型，要認(rèn)真體會。 2. 一元二次不等式的解集一定要寫成集合或區(qū)間的形式，尤其要注意“>”與“≥”，“<”與“≤”符號的區(qū)分。 例題2 （含參數(shù)的一元二次不等式的解法） 解關(guān)于x的不等式：ax2－（a＋1）x＋1＜0（a∈R）。 思路分析：當(dāng)a＝0時，不等式的解集→a＜0時，不等式的解集→a＞0時不等式的解集 答案：若a＝0，原不等式可化為－x＋1＜0， 即x＞1； 若a＜0，原不等式可化為（x－）（x－1）＞0， 即x＜或x＞1； 若a＞0，原不等式可化為（x－）（x－1）＜0。（*） 其解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定，故

7、（1）當(dāng)a＝1時，由（*）式可得x∈； （2）當(dāng)a＞1時，由（*）式可得＜x＜1； （3）當(dāng)0＜a＜1時，由（*）式可得1＜x＜。 綜上所述：當(dāng)a＜0時，解集為{x|x＜或x＞1}； 當(dāng)a＝0時，解集為{x|x＞1}； 當(dāng)0＜a＜1時，解集為{x|1＜x＜}； 當(dāng)a＝1時，解集為?； 當(dāng)a＞1時，解集為{x|＜x＜1}。 技巧點(diǎn)撥： 1. 含參數(shù)的一元二次不等式中，若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項系數(shù)是否為零，然后再討論二次項系數(shù)不為零時的情形，以便確定解集的形式。 2. 其次對方程的根比較大小，由根的大小確定參數(shù)的范圍，然后根據(jù)范圍對參數(shù)分類討論。 例題3 （

8、恒成立問題） 若（m＋1）x2－（m－1）x＋3（m－1）＜0對任何實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。 思路分析：對任何實數(shù)x恒成立?不等式解集為實數(shù)集R→討論m＋1的取值情況 答案：由題意可知當(dāng)m＋1＝0，即m＝－1時， 原不等式可化為2x－6＜0， 解得x＜3，不符合題意，應(yīng)舍去； 當(dāng)m＋1≠0時，由（m＋1）x2－（m－1）x＋3（m－1）＜0對任何實數(shù)x恒成立， 則有 解得m＜－。 綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是（－∞，－）。 技巧點(diǎn)撥： 1. 不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是當(dāng)a＝0時，b＝0，c>0； 當(dāng)a≠0時， 2. 不等式

9、ax2＋bx＋c<0的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是當(dāng)a＝0時，b＝0，c<0； 當(dāng)a≠0時， 類似地，還有f（x）≤a恒成立?[f（x）]max≤a；f（x）≥a恒成立?[f（x）]min≥a。 【綜合拓展】 綜合型不等式的解法 （1）解不等式（x＋1）（2－x）（x－3）＞0。 （2）設(shè)a＜1，解關(guān)于x的不等式。 思路分析：（1）兩邊都乘以，再利用根軸法求解。 （2）解含參數(shù)的不等式時，一般要利用轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，在轉(zhuǎn)化時一定要注意等價性原則。 答案：（1）原不等式可化為（x＋1）（x－2）（x－3）＜0，且方程（x＋1）（x－2）（x－3）＝0的

10、根為x1＝－1，x2＝2，x3＝3， 則由穿針引線法（如圖）可得原不等式的解集為{x|x＜－1或2＜x＜3}。 （2）原不等式可化為 ①當(dāng)a＝0時，化為＞0， ∴－2＜x＜0； ②當(dāng)0＜a＜1時，化為＞0， 此時－2＜－a＜，∴－2＜x＜－a或x＞。 ③當(dāng)a＜0時，化為＜0； 當(dāng)a＜－時，有x＜－2或＜x＜－a； 當(dāng)a＝－時，有x＜且x≠－2； 當(dāng)－＜a＜0時，有x＜或－2＜x＜－a。 綜上所述，當(dāng)a＝0時，不等式的解集為{x|－2＜x＜0}； 當(dāng)0＜a＜1時，不等式的解集為{x|－2＜x＜－a或x＞}； 當(dāng)a＜－時，不等式的解集為{x|x＜－2或＜x＜－a}；

11、 當(dāng)a＝－時，不等式的解集為{x|x＜且x≠－2}； 當(dāng)－＜a＜0時，不等式的解集為{x|x＜或－2＜x＜－a}。 技巧點(diǎn)撥： 解一元高次不等式關(guān)鍵是掌握根軸法的規(guī)則。 解分式不等式的主要方法是移項、通分、因式分解、右邊化為0，利用實數(shù)運(yùn)算的符號法則等價轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）求解，本題第二步含有參數(shù)的分式不等式，解含參數(shù)的不等式要注意以下基本策略： 1. 分清主變量與參變量，正確實施等價轉(zhuǎn)化； 2. 在轉(zhuǎn)化過程中，考慮參數(shù)在取值范圍內(nèi)對運(yùn)算結(jié)果是否有影響，從哪一步開始對結(jié)果有影響，就從哪一步展開對參數(shù)的討論； 3. 對不同的參數(shù)取值范圍所得的結(jié)果，不能取交集，也不能取并集（因為不是對主變量x的討論），而應(yīng)按參數(shù)分類的方法依次列出。