2022屆高考數學二輪復習 專題二 數列 課后綜合提升練 1.2.2 數列求和及綜合應用 文

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1、2022屆高考數學二輪復習 專題二 數列 課后綜合提升練 1.2.2 數列求和及綜合應用 文 (40分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.在數列{an}中,an+1=2an-1,a3=2,設其前n項和為Sn,則S6= (　　) A. B. C.15 D.27 【解析】選A.因為an+1=2an-1,所以an+1-1=2(an-1),所以{an-1}是以2為公比的等比數列,所以an-1=(a1-1)2n-1,因為a3=2,所以a1=,所以an=1+2n-3,所以S6=6+=. 2.(2018·廣東省化州市二模)已知有窮數列{an}中,n=1,2,3,…

2、,729,且an=(2n-1)(-1)n+1,從數列{an}中依次取出a2,a5,a14,…構成新數列{bn},容易發(fā)現數列{bn}是以-3為首項,-3為公比的等比數列,記數列{an}的所有項的和為S,數列{bn}的所有項的和為T,則 (　　) A.S>T 　　　　 B.S=T C.S

3、29) =1+=729, 因為a728=-1 455,a729=1 457,又因為數列{bn}是以-3為首項,-3為公比的等比數列,所以b6=(-3)6=729,所以數列{bn}共有6項,所以所有項的和為T==546,所以S>T. 3.已知數列{an}的前n項和為Sn,若a1為函數f(x)=sin x+cos x(x∈R)的最大值,且滿足an-anSn+1=-anSn,則數列{an}的前2 018項之積A2 018= (　　) A.1 B. C.-1 D.2 【解析】選A.因為a1為函數f(x)=sin x+cos x(x∈R)的最大值,所以a1=2,因為an-anSn+1=-anS

4、n,所以(Sn+1-Sn)an=an-1,所以an+1=,所以a2=,a3=-1,a4=2所以數列{an}是周期數列,周期為3,所以{an}的前2018項之積A2018=a1·a2·a3·…·a2 018 =(-1)672×1=1. 4.(2018· 河南省六市聯考)已知數列{an}滿足: an+1+(-1)n+1an=2,則其前100項的和為 (　　) A.250 B.200 C.150 D.100 【解析】選D.因為an+1+(-1)n+1an=2,所以a1+a2=2,a3+a4=2,a5+a6=2,…,a99+a100=2,所以其前100項和為2×50=100. 5.已知數列

5、{an}滿足a1=1, an+1-an=4n-2(n∈N*),則使an≥163的正整數n的最小值為 (　　) A.8 B.10 C.12 D.14 【解析】選B.由題意得an+1-an=4n-2, 則當n≥2時,a2-a1=2,a3-a2=6,…,an-an-1=4n-6, 這n-1個式子相加,就有an-a1==2(n-1)2, 即an=2(n-1)2+1=2n2-4n+3, 當n=1時,a1=1也滿足上式,所以an=2n2-4n+3, 由an≥163得2n2-4n+3≥163,即n2-2n-80≥0, 解得n≥10或n≤-8,所以n≥10, 即使an≥163的正

6、整數n的最小值為10. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知數列{an}的通項公式為an=(n∈N*),記數列{an}的前n項和Sn,則在S1,S2,…,S2 017中,有____________個有理數.? 【解析】依題意,an== = =-,故Sn=a1+a2+…+an=1-,因為44<<45,故n+1=22,32,…,442,故有43個有理數. 答案:43 7.(2018·湖北省聯考試題)“斐波那契數列”由十三世紀意大利數學家列昂納多·斐波那契發(fā)現,因為斐波那契以兔子繁殖為例子而引入,故又稱該數列為“兔子數列”.斐波那契數列{an}滿足:a1=1,a2=1,an=a

7、n-1+an-2(n≥3,n∈N*),記其前n項和為Sn,設a2 018=t(t為常數),則S2 016+S2 015-S2 014-S2 013=____________(用t表示).? 【解析】S2 016+S2 015-S2 014-S2 013=a2 016+a2 015+a2 015+a2 014=a2 017+a2 016=a2 018=t. 答案:t 8.有下列命題: ①等比數列{an}中,前n項和為Sn,公比為q,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍然是等比數列,其公比為qn; ②若數列{an}是等差數列,前n項和為Sn,則數列是等差數列; ③若數列{an}是正

8、項數列,且++…+=n2+3n(n∈N*),則++…+=2n2+6n; ④若數列{an}的前n項和為Sn,Sn=20n-19,則數列{an}是等比數列. 其中正確命題的序號是____________(填序號).? 【解析】①錯,q=-1,n=2,S4-S2=0,不符合等比數列. ②因為數列{an}是等差數列,前n項和為Sn,所以Sn=na1+d,所以=a1+(n-1),所以數列是以a1為首項,以為公差的等差數列.③++…+=n2+3n中n用n-1代替得++…+=(n-1)2+3(n-1),兩式作差得=2n+2(n≥2),an=4(n+1)2,a1=16,符合.=4(n+1),所以++…+

9、=2n2+6n.④當n=1時, a1=S1=201-19=20-18, 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=20n-19-20n-20=19×20n-20,所以an=,所以數列{an}不是等比數列 答案:②③ 三、解答題(每小題10分,共30分) 9.(2018·亳州市一模)已知數列{an}的前n項和Sn滿足2Sn=3an-λ,其中λ是不為零的常數,n∈N*. (1)求{an}的通項公式. (2)若λ=3,記bn=,求數列{bn·}的前n項和Tn. 【解析】(1)由已知2Sn=3an-λ可得:2Sn+1=3an+1-λ 兩式相減得:2an+1=3an+1-3an,即an+1=3a

10、n 因為2S1=3a1-λ,所以a1=λ≠0, 所以an≠0,所以=3, 所以{an}是首項為λ,公比為3的等比數列,從而an= λ·3n-1. (2)因為λ=3,所以an=3n,從而bn=, 所以bn·bn+2==2, 所以 Tn= 2 =2 =3--. 10.設數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且對任意正整數n,點(an+1,Sn)都在直線2x+y-2=0上. (1)求數列{an}的通項公式. (2)若bn=n,數列{bn}的前n項和為Tn,求證:Tn<. 【解析】(1)因為點(an+1,Sn)在直線2x+y-2=0上,所以2an+1+Sn-2=0,

11、當n>1時,2an+Sn-1-2=0,兩式相減得2an+1-2an+Sn-Sn-1=0,即2an+1-2an+an=0, an+1=an,又當n=1時,2a2+S1-2=2a2+a1-2=0,a2==a1, 所以{an}是首項a1=1,公比q=的等比數列,數列{an}的通項公式為an=. (2)由(1)知,bn=n=, 則Tn=1+++…+, Tn=++…++, 兩式相減得 Tn=1+++…+-=-=-, 所以Tn=-<. 11.設等差數列{an}的公差為d,點(an,bn)在函數f(x)=2x的圖象上(n∈N*). (1)若a1=-2,點(a8,4b7)在函數f(x)的圖

12、象上,求數列{an}的前n項和Sn. (2)若a1=1,函數f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2-,求數列的前n項和Tn. 【解析】(1)點(an,bn)在函數f(x)=2x的圖象上,所以bn=,又等差數列{an}的公差為d, 所以===2d, 因為點(a8,4b7)在函數f(x)的圖象上,所以4b7==b8,所以2d==4?d=2.又a1=-2,所以 Sn=na1+d=-2n+n2-n=n2-3n. (2)由f(x)=2x?f′(x)=2xln 2, 函數f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線方程為y-b2=(ln 2)(x-a2), 所以切線在x軸

13、上的截距為a2-,從而a2-=2-,故a2=2, 從而an=n,bn=2n,=, Tn=+++…+, Tn=+++…+, 所以 Tn=++++…+- =1--=1-, 故Tn=2-. (20分鐘　20分) 1.(10分)設數列{an}滿足a1=0且-=1. (1)求{an}的通項公式. (2)設bn=,記Sn=bk,證明:Sn<1. 【解析】(1)由題設-=1, 即是公差為1的等差數列. 又=1,故=n.所以an=1-. (2)由(1)得bn===-,Sn=bk==1-<1. 2.(10分)已知數列{an}的前n項和是Sn,且Sn+an=1(n∈N*). (1

14、)求數列{an}的通項公式. (2)設bn=log4(1-Sn+1)(n∈N*),Tn=++…+,求使Tn≥成立的最小的正整數n的值. 【解析】(1)當n=1時,a1=S1,由S1+a1=1?a1=, 當n≥2時,Sn+an=1, ① Sn-1+an-1=1, ② ①-②,得an+an-an-1=0,即an=an-1, 所以{an}是以為首項,為公比的等比數列. 故an==3(n∈N*). (2)由(1)知1-Sn+1=an+1=, bn=log4(1-Sn+1)=log4=-(n+1), ==-, Tn=++…+ =++…+ =-, -≥?n≥2 014, 故使Tn≥成立的最小的正整數n的值為2 014.