2022年高中數(shù)學北師大版選修2-2同步配套教學案：第一章 §2 綜合法與分析法

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1、2022年高中數(shù)學北師大版選修2-2同步配套教學案：第一章 §2 綜合法與分析法 綜　合　法 閱讀下面的例題． 例：若實數(shù)a，b滿足a＋b＝2，證明：2a＋2b≥4. 證明：因為a＋b＝2，所以2a＋2b≥2＝2＝2＝4， 故2a＋2b≥4成立． 問題1：本題利用什么公式？ 提示：基本不等式． 問題2：本題證明順序是什么？ 提示：從已知到結(jié)論． 綜合法 (1)含義：從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明的思維方法，稱為綜合法． (2)思路：綜合法的基本思路是“由因?qū)?/p>

2、果”． (3)模式：綜合法可以用以下的框圖表示： →→→…→ 其中P為條件，Q為結(jié)論. 分　析　法 你們看過偵探小說《福爾摩斯探案集》嗎？尤其是福爾摩斯在探案中的推理，給人印象太深刻了．有時，他先假定一個結(jié)論成立，然后逐步尋找這個結(jié)論成立的一個充分條件，直到找到一個明顯的證據(jù)． 問題1：他的推理如何入手？ 提示：從結(jié)論成立入手． 問題2：他又是如何分析的？ 提示：逐步探尋每一結(jié)論成立的充分條件． 問題3：這種分析問題方法在數(shù)學問題證明中可以借鑒嗎？ 提示：可以． 分析法 (1)含義：從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件，直到

3、歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等．這種證明問題的思維方法稱為分析法． (2)思路：分析法的基本思路是“執(zhí)果索因”． (3)模式：若用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可以用如下的框圖來表示： →→→…→得到一個明顯成立的條件　 1．綜合法是從“已知”看“可知”逐步推向未知，由因?qū)Чㄟ^逐步推理尋找問題成立的必要條件．它的證明格式為：因為×××，所以×××，所以×××……所以×××成立． 2．分析法證明問題時，是從“未知”看“需知”，執(zhí)果索因逐步靠攏“已知”，通過逐步探索，尋找問題成立的充分條件．它的證明格式：要證×××，只需證×××，只需證×××……因為×××成立

4、，所以×××成立． 綜合法的應用 [例1]　已知a，b是正數(shù)，且a＋b＝1， 求證：＋≥4. [思路點撥]　由已知條件出發(fā)，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論． [精解詳析]　法一：∵a，b為正數(shù)，且a＋b＝1， ∴a＋b≥2， ∴≤， ∴＋＝＝≥4. 法二：∵a，b為正數(shù)， ∴a＋b≥2＞0，＋≥2＞0， ∴(a＋b)≥4， 又a＋b＝1， ∴＋≥4. 法三：∵a，b為正數(shù)， ∴＋＝＋ ＝1＋＋＋1 ≥2＋2 ＝4， 當且僅當a＝b時，取“＝”號． [一點通]　從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因?qū)Ч渲鸩酵评?，實際上是

5、尋找每一步的必要條件，如何找到“切入點”和有效的推理途徑是利用綜合法證明問題的關(guān)鍵． 1．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若＋＝，試證明A，B，C成等差數(shù)列． 證明：∵＋＝， ∴＋＝3， ∴＋＝1， ∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， ∴b2＝a2＋c2－ac. 在△ABC中，由余弦定理，得 cos B＝＝＝， ∵0°

6、f(b)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 解：f(a)＋f(c)>2f(b)． 證明如下：因為a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)， 所以a＋c>2. 因為b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b， 即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4， 從而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2. 因為f(x)＝log2(x＋2)是增函數(shù)， 所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2 即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)． 故f(a)＋f(c)>2f(b). 分析法的應用 [例2]　當a＋b>0時，求證： ≥(a＋b)． [思路點撥]　條件和

7、結(jié)論的聯(lián)系不明確，考慮用分析法證明，將要證明的不等式一步步轉(zhuǎn)化為較簡單的不等式． [精解詳析]　要證 ≥(a＋b)， 只需證()2≥2， 即證a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab. 因為a2＋b2≥2ab對一切實數(shù)恒成立， 所以≥(a＋b)成立． [一點通]　分析法是“執(zhí)果索因”，一步步尋找結(jié)論成立的充分條件．它是從求證的結(jié)論出發(fā)，逆著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知，這種證明的方法關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可以逆推的，它的常見書寫表達式是“要證……，只需證……”． 3．求證：＋<＋. 證明：欲證不等式＋<＋成立， 只需證3＋2＋6<

8、4＋2＋5成立， 即證<成立， 即證18<20成立． 由于18<20成立，故＋<＋. 4．若a，b，c是不相等的正數(shù)，求證：lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c. 證明：要證lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c， 只需證lg>lg(abc)， 只需證··>abc. 由于≥>0，≥>0，≥>0， 且上述三式中的等號不全成立， 所以··>abc. 因此lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c. 綜合法和分析法的應用 [例3]　已知00，b>0，c>

9、0. ∴要證≥1， 只需證1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc， 即證1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0. ∵1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc) ＝(1－a)＋b(a－1)＋c(a－1)＋bc(1－a) ＝(1－a)(1－b－c＋bc) ＝(1－a)(1－b)(1－c)， 又a≤1，b≤1，c≤1， ∴(1－a)(1－b)(1－c)≥0， ∴1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0成立， 即≥1. [一點通]　綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結(jié)論入手，易于尋找解題思路，在實際證明命題時，常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法

10、，其結(jié)構(gòu)特點是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P；若由P可推出Q，即可得證． 5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求證： ·≥8. 證明：∵＝· ·＝·· ＝ ≥＝8， 當且僅當a＝b＝c時取等號，∴不等式成立． 6．設(shè)x，y為正實數(shù)，且x＋y＝1，求證：≥9. 證明：法一：(綜合法) 左邊＝ ＝ ＝4＋2＋1≥5＋4＝9. 法二：(分析法)要證≥9成立， ∵x>0，y>0且x＋y＝1，∴y＝1－x>0， 只需證明≥9， 即證(1＋x)(1－x＋1)≥9x(1－x)， 即證2＋x－x

11、2≥9x－9x2，即證4x2－4x＋1≥0， 即證(2x－1)2≥0，此式顯然成立，所以原不等式成立． 分析法與綜合法的優(yōu)缺點： 綜合法和分析法是直接證明的兩種基本方法，兩種方法各有優(yōu)缺點．分析法解題方向較為明確，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考．實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后用綜合法有條理地表述解題過程． 1．下列表述： ①綜合法是由因?qū)Ч?；②綜合法是順推法；③分析法是執(zhí)果索因法；④分析法是間接證明法；⑤分析法是逆推法． 其中正確的說法有(　　) A．2個

12、　　　　　　　　 　B．3個 C．4個 D.5個 解析：由分析法、綜合法的定義知①②③⑤正確. 答案：C 2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則(　　) A．a(chǎn)≤ B．a(chǎn)b≥ C．a(chǎn)2＋b2≥2 D.a2＋b2≤3 解析：∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1. ∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2. 答案：C 3．用分析法證明命題“已知a－b＝1.求證：a2－b2＋2a－4b－3＝0.”最后要具備的等式為(　　) A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＋b＝1 C．a(chǎn)＋b＝－3 D.a－b＝1 解析：要證a2－b2＋2a－4b－3＝0， 即證a2＋2a＋1＝b2

13、＋4b＋4，即(a＋1)2＝(b＋2)2， 即證|a＋1|＝|b＋2|， 即證a＋1＝b＋2或a＋1＝－b－2， 故a－b＝1或a＋b＝－3，而a－b＝1為已知條件，也是使等式成立的充分條件． 答案：D 4．已知a，b為正實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x，A＝f，B＝f()，C＝f，則A，B，C的大小關(guān)系為(　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D.C≤B≤A 解析：因為函數(shù)f(x)＝x為減函數(shù)，所以要比較A，B，C的大小，只需比較，，的大小，因為≥，兩邊同乘得：·≥ab，即≥，故≥≥，∴A≤B≤C. 答案：A 5．設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－

14、b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________． 解析：∵a＋b＋c＝0，a·b＝0， ∴c＝－(a＋b)． ∴|c|2＝(a＋b)2＝1＋b2. 由(a－b)·c＝0， ∴(a－b)·[－(a＋b)]＝－|a|2＋|b|2＝0. ∴|a|2＝|b|2＝1. ∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4. 答案：4 6．若P＝＋，Q＝＋，a≥0，則P，Q的大小關(guān)系是________． 解析：∵P2＝2a＋7＋2， Q2＝2a＋7＋2. 又∵a(a＋7)＝a2＋7a<(a＋3)(a＋4)＝a2＋7a＋12. ∴P2

15、P

16、＝cos αcos β＋sin αsin β， ② ①－②得 cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β. ③ 令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝， 代入③得 cos A－cos B＝－2sin sin . 8．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形． 證明：由A，B，C成等差數(shù)列，有2B＝A＋C.① 因為A，B，C為△ABC的內(nèi)角，所以 A＋B＋C＝π，② 由①②得，B＝，③ 由a，b，c成等比數(shù)列，有b2＝ac.④ 由余弦定理及③，可得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac. 再由④得，a2＋c2－ac＝ac， 即(a－c)2＝0，因此a＝c. 從而有A＝C.⑤ 由②③⑤，得A＝B＝C＝. 所以△ABC為等邊三角形．