2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四單元 三角函數(shù)與解三角形 第29講 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用檢測

2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四單元 三角函數(shù)與解三角形 第29講 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用檢測1在ABC中，若sin2Asin2B<sin2C，則ABC一定是(A)A. 鈍角三角形 B. 銳角三角形C. 直角三角形 D. 不確定2在ABC中，兩邊的差為2，兩邊夾角的余弦值為，且三角形面積為14，則這兩邊的長分別是(D)A3,5 B4,6C6,8 D5,7 不妨設(shè)兩邊為b，c(b>c)，則bc2，cos A，則sin A，所以SABCbcsin Abc14，所以bc35.所以b7，c5.3如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于(C)A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m 如圖，ACD30°，ABD75°，AD60 m，在RtACD中，CD60 m，在RtABD中，BD60(2)m，所以BCCDBD6060(2)120(1)m.4(2016·山東卷)ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，則A(C)A. B.C. D. 因?yàn)閎c，所以BC.又由ABC得B.由正弦定理及a22b2(1sin A)得sin2A2sin2B(1sin A)，即sin2A2sin2()(1sin A)，即sin2A2cos2(1sin A)，即4sin2cos22cos2(1sin A)，整理得cos2(1sin A2sin2)0，即cos2(cos Asin A)0.因?yàn)?<A<，所以0<<，所以cos0，所以cos Asin A又0<A<，所以A.5在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)C，若CAB75°，CBA60°，則A、C兩點(diǎn)間的距離是千米 在ABC中，ACB180°60°75°45°.由正弦定理得，解得AC.6(2017·浙江卷)已知ABC，ABAC4，BC2.點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，BD2，連接CD，則BDC的面積是，cosBDC. 依題意作出圖形，如圖所示，則sinDBCsinABC.由題意知ABAC4，BCBD2，則cosABC，sinABC.所以SBDCBC·BD·sinDBC×2×2×.因?yàn)閏osDBCcosABC，所以CD.由余弦定理，得cosBDC.7(2018·華大新高考聯(lián)盟教學(xué)質(zhì)量測評)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且2cos B(ccos Aacos C)b.(1)證明：A，B，C成等差數(shù)列；(2)若ABC的面積為，求b的最小值 (1)證明：因?yàn)?cos B(ccos Aacos C)b，所以由正弦定理得2cos B(sin Ccos Asin Acos C)sin B，即2cos Bsin(AC)sin B，在ABC中，sin(AC)sin B，且sin B0，所以cos B，因?yàn)锽(0，)，所以B.又因?yàn)锳BC，所以AC2B，所以A，B，C成等差數(shù)列(2)因?yàn)镾ABCacsin B，所以ac6.所以b2a2c22accos Ba2c2acac6.當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，取等號所以b的最小值為.8在ABC中，AB12，C的平分線CD把三角形面積分成32的兩部分，則cos A(C)A. B.C. D0 因?yàn)镃的平分線CD把三角形面積分成32的兩部分，所以ACBC32，所以，所以cos A.9已知a，b，c分別為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC面積的最大值為. 因?yàn)?R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，可化為(ab)(ab)(cb)·c，所以a2b2c2bc，所以b2c2a2bc.所以cos A，所以A60°.在ABC中，4a2b2c22bc·cos 60°b2c2bc2bcbcbc，(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取得“”)所以SABC·bc·sin A×4×.10(2017·山東卷)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b3，·6，SABC3，求A和a. 因?yàn)?#183;6，所以bccos A6.又SABC3，所以bcsin A6.因此tan A1.又0<A<，所以A.又b3，所以c2.由余弦定理a2b2c22bccos A，得a2982×3×2×()29，所以a.