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1、2022屆高考數(shù)學總復習 第九單元 解析幾何 第58講 橢圓檢測
1．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的(C)
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
m>n>0?<，所以＋＝ny2＋mx2＝1表示焦點在y軸上的橢圓，反之亦然，故選C.
2．一個橢圓中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為(A)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．
由點(2，)在橢圓上知＋
2、＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，
則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即2a＝2·2c，即＝，
又c2＝a2－b2，聯(lián)立解得a2＝8，b2＝6.
3. 已知F1, F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點， 點A(1，)在橢圓C上，|AF1|＋|AF2|＝4, 則橢圓C的離心率是(D)
A. B.
C. D.
|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，所以a＝2，
所以橢圓C的方程為＋＝1，
又點A(1，)在橢圓C上，
所以＋＝1，得b＝1，又c＝＝，
所以橢圓C的離心率e＝＝.
4．(2017·新課標卷Ⅰ)設A，B是橢
3、圓C：＋＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是(A)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
當03時，焦點在y軸上，
要使C上存在點M滿足∠AMB＝120°，
則≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)．
5．(2017·石家莊市第一次模擬)已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點F1關
4、于直線y＝－x的對稱點P在橢圓上，則△PF1F2的周長為 2＋2 _.
因為F1(－c,0)關于直線y＝－x的對稱點P(0，c)在橢圓上，
所以c2＝1，c＝1，易知b＝1，所以a＝.
所以周長為2c＋2a＝2＋2.
6．橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P的橫坐標的取值范圍為 (－，) .
由題意知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，
設P(x0，y0)，
則1＝(－－x0，－y0)，2＝(－x0，－y0)，
所以1·2＝x－5＋y<0.①
又＋＝1，②
由①②得x<，所以－
5、，)．
7．已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限的一點，若·＝0，橢圓的離心率為，△AOF2的面積為2，求橢圓的方程．
因為·＝0，所以AF2⊥x軸．
設點A的坐標為(c，y)(y>0)，
將(c，y)代入＋＝1得y＝，
所以S△AOF2＝·c·＝2，
又e＝＝，所以b2＝2，所以b2＝8.
由＝，設c＝k，a＝2k(k>0)，則4k2＝8＋2k2，
所以k＝2，所以a＝4，b2＝8，
所以橢圓方程為＋＝1.
8．設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大
6、值為(B)
A．20 B．15
C．10 D．5
因為P在橢圓上，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|
＝10＋|PM|－|PF2|≤10＋|MF2|＝10＋5＝15，
當P在MF2的延長線上取等號．
9．(2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點，直線y＝與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是 .
將y＝代入橢圓的標準方程，得＋＝1，
所以x＝±a，故B(－a，)，C(a，)．
又因為F(c,0)，所以＝(c＋a，－)，
＝(
7、c－a，－)．
因為∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以(c＋a)(c－a)＋(－)2＝0，
即c2－a2＋b2＝0，將b2＝a2－c2代入并化簡，
得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(負值舍去)．
10．已知橢圓C：＋＝1(a>)的離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若P是橢圓C上任意一點，Q為圓E：x2＋(y－2)2＝1上任意一點，求PQ的最大值．
(1)由題設知e＝，
所以e2＝＝＝＝＝，解得a2＝6.
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)圓E：x2＋(y－2)2＝1的圓心為E(0,2)，點Q在圓E上，
所以PQ≤EP＋EQ＝EP＋1(當且僅當直線PQ過點E時取等號)．
設P(x0，y0)是橢圓C上的任意一點，
則＋＝1，即x＝6－3y.
所以EP2＝x＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12.
因為y0∈[－，]，
所以當y0＝－1時，EP2取得最大值12，即PQ≤2＋1.
所以PQ的最大值為2＋1.
2022屆高考數(shù)學總復習 第九單元 解析幾何 第58講 橢圓檢測
