（全國通用版）2018-2019高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語章末復習學案 新人教A版選修2-1

第一章 常用邏輯用語章末復習學習目標1.掌握充分條件、必要條件的判定方法.2.理解全稱量詞、存在量詞的含義，會判斷全稱命題、特稱命題的真假，會求含有一個量詞的命題的否定1充分條件、必要條件和充要條件(1)定義一般地，若p則q為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可推出q，記作pq，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件一般地，如果既有pq，又有qp，就記作pq.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件(2)特征充分條件與必要條件具有以下兩個特征：對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件；傳遞性：若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的充分條件即若pq，qr，則pr.必要條件和充分條件一樣具有傳遞性，但若p是q的充分條件，q是r的必要條件，則p與r的關系不能確定2量詞(1)短語“所有”“任意”“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中通常稱為全稱量詞，通常用符號“x”表示“對任意x”(2)短語“有一個”“有些”“存在一個”“至少一個”等表示部分的量詞在邏輯中通常稱為存在量詞，通常用符號“x0”表示“存在x0”3含有全稱量詞的命題叫做全稱命題，含有存在量詞的命題叫做特稱命題(1)“所有奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)”的否定“至少有一個奇數(shù)不是質(zhì)數(shù)”是真命題()(2)當p是q的充要條件時，也可說成q成立當且僅當p成立()(3)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件()類型一充要條件例1(1)已知函數(shù)f(x)x2bx，則“b0”是“f(f(x)的最小值與f(x)的最小值相等”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件(2)已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案(1)A(2)A解析(1)當b0，且x0時，f(x)取得最小值，則f(x)的值域為，則當f(x)時，f(f(x)的最小值與f(x)的最小值相等，故是充分條件；當b0時，f(x)x2，f(f(x)x4的最小值都是0，故不是必要條件故選A.(2)當兩個平面內(nèi)的直線相交時，這兩個平面有公共點，即兩個平面相交；但當兩個平面相交時，兩個平面內(nèi)的直線不一定有交點反思與感悟分清條件與結論，準確判斷pq，還是qp.跟蹤訓練1已知p：2，q：x22x1m20(m0)，若q是p的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍解由x22x1m20(m0)，得1mx1m.由2，得2x10.由q是p的必要不充分條件知，p是q的充分不必要條件，且不等式組中的等號不能同時成立，得m9.類型二含有一個量詞的命題例2 下列命題中的假命題是()AxR,2x1>0 BxN*，(x1)2>0Cx0R，lg x0<1 Dx0R，tan x02答案B解析當xN*時，x1N，可得(x1)20，當且僅當x1時取等號，故B不正確；易知A，C，D正確，故選B.反思與感悟判定全稱命題“xM，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個xx0，使p(x0)成立跟蹤訓練2 下列命題中的真命題是()Ax0R，使得sin x0cos x0BxR，1sin x1Cx0(，0)，2x0<3x0Dx(0，)，sin x>cos x答案B解析因為sin xcos xsin<，故A錯誤；由正弦函數(shù)的值域可知B正確；當x<0時，y2x的圖象在y3x的圖象上方，故C錯誤；因為當x時，sin x<cos x，故D錯誤故選B.例3(1)命題“xR，x0”的否定是()Ax0R，0 BxR，x0CxR，x0 Dx0R，0答案D解析全稱命題的否定是特稱命題，“>”的否定是“”(2)命題“x0R,1f(x0)2”的否定形式是()AxR,1f(x)2Bx0R,1f(x0)2Cx0R，f(x0)1或f(x0)2DxR，f(x)1或f(x)2答案D解析特稱命題的否定是全稱命題，原命題的否定形式為“xR，f(x)1或f(x)2”反思與感悟?qū)θ?特)稱命題進行否定的方法(1)找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結合命題的含義先加上量詞，再改變量詞；(2)對原命題的結論進行否定跟蹤訓練3已知命題p：“x0R，x010”，則命題p的否定為()Ax0R，x010Bx0R，x01>0CxR，exx1>0DxR，exx10答案C解析根據(jù)全稱命題與特稱命題的否定關系，可得命題p的否定為“xR，exx1>0”，故選C.1設x0，yR，則“xy”是“x|y|”的()A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件答案C解析xyx|y|(如x1，y2)，但當x|y|時，能有xy.“xy”是“x|y|”的必要不充分條件2“0m1”是“函數(shù)f(x)cos xm1有零點”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析方法一若0m1，則01m1，cos x1m有解要使函數(shù)f(x)cos xm1有零點，只需|m1|1，解得0m2，故選A.方法二函數(shù)f(x)cos xm1有零點，則|m1|1，解得0m2，m|0m1m|0m2“0m1”是“函數(shù)f(x)cos xm1”有零點的充分不必要條件3已知命題“x0R，使2x(a1)x00”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1) B(1,3)C(3，) D(3,1)答案B解析原命題的否定為xR,2x2(a1)x0，由題意知，其為真命題，即(a1)24×2×0，則2a12，即1a3.4對任意x1,2，x2a0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，0解析由x2a0，得ax2，故a(x2)min，得a0.5已知命題“xR，x25xa>0”的否定為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是_答案解析由“xR，x25xa>0”的否定為假命題，可知原命題必為真命題，即不等式x25xa>0對任意實數(shù)x恒成立設f(x)x25xa，則其圖象恒在x軸的上方，故254×a<0，解得a>，即實數(shù)a的取值范圍為.(1)判定全稱命題“xM，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個xx0，使p(x0)成立(2)對全(特)稱命題進行否定的方法找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結合命題的含義先加上量詞，再改變量詞；對原命題的結論進行否定一、選擇題1“直線l垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線”是“直線l垂直于平面”的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件答案C2下列命題中，既是真命題又是特稱命題的是()A有一個，使tan(90°)B存在實數(shù)x0，使sin x0C對一切，sin(180°)sin Dsin 15°sin 60°cos 45°cos 60°sin 45°答案A3命題“有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)”的否定是()AxR，|x|0 Bx0R，|x0|0CxR，|x|0 Dx0R，|x0|0答案C4若向量a(x,3)(xR)，則“x4”是“|a|5”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析若x4，則a(4,3)，|a|5，若|a|5，則5，x±4，故“x4”是“|a|5”的充分不必要條件5王昌齡的從軍行中兩句詩為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的()A充分條件 B必要條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要條件故選B.6命題“xR，x2x”的否定是()AxR，x2x BxR，x2xCx0R，xx0 Dx0R，xx0答案D解析全稱命題的否定是特稱命題，所以“xR，x2x”的否定為“x0R，xx0”二、填空題7若命題p：常數(shù)列是等差數(shù)列，則其否定為：_.答案存在一個常數(shù)列，不是等差數(shù)列解析全稱命題的否定是特稱命題8設p：實數(shù)x，y滿足x>1且y>1，q：實數(shù)x，y滿足xy>2，則p是q的_條件(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析當x>1，y>1時，xy>2一定成立，即pq，當xy>2時，可令x1，y4，則x1且y1不成立，即qD/p，故p是q的充分不必要條件9已知命題p：axa1，命題q：x24x0，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是_答案(0,3)解析令Mx|axa1，Nx|x24x0x|0x4p是q的充分不必要條件，MN，解得0a3.10定義f(x)x(x表示不小于x的最小整數(shù))為“取上整函數(shù)”，例如1.22，44.“取上整函數(shù)”在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，諸如停車收費，出租車收費等都是按照“取上整函數(shù)”進行計費的以下關于“取上整函數(shù)”的性質(zhì)是真命題的序號是_f(2x)2f(x)；若f(x)f(y)，則xy<1；任意x，yR，f(xy)f(x)f(y)；f(x)ff(2x)；函數(shù)f(x)為奇函數(shù)答案解析根據(jù)新定義“取上整函數(shù)”的意義f(2x)2f(x)不一定成立，如x取1.5；f(x)ff(2x)不一定成立，如x取0；函數(shù)f(x)不滿足奇函數(shù)的關系，如f(1.6)f(2)，f(1.6)f(1)故答案為.三、解答題11設p：2x23x10，q：x2(2a1)xa(a1)0，若q是p的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍解由題意得，p：x1，q：axa1.q是p的必要不充分條件，或0a.故實數(shù)a的取值范圍為.12求證：函數(shù)f(x)x2|xa|1是偶函數(shù)的充要條件是a0.證明先證充分性，若a0，則函數(shù)f(x)x2|xa|1是偶函數(shù)因為a0，所以f(x)x2|x|1(xR)因為f(x)(x)2|x|1x2|x|1，所以f(x)是偶函數(shù)再證必要性，若f(x)x2|xa|1是偶函數(shù)，則a0.因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)，即(x)2|xa|1x2|xa|1，從而|xa|xa|，即(xa)2(xa)2，展開并整理，得ax0.因為xR，所以a0.13已知c>0，設p：函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減；q：不等式x|x2c|>1的解集為R.如果p和q有且僅有一個為真命題，求c的取值范圍解函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減等價于0<c<1.不等式x|x2c|>1的解集為R等價于函數(shù)yx|x2c|在R上恒大于1.x|x2c|函數(shù)yx|x2c|在R上的最小值為2c，2c>1，得c>.如果p真q假，則解得0<c；如果q真p假，則解得c1.c的取值范圍為1，)四、探究與拓展14已知直線l：ykx1與圓O：x2y21相交于A，B兩點，則“k1”是“OAB的面積為”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析由直線l：ykx1與圓O：x2y21相交于A，B兩點，易知k0，且圓心O到直線l的距離d1，所以|AB|222.若k1，則|AB|，d，所以OAB的面積為××.反過來，若OAB的面積為，則S××2，解得k±1.故“k1”是“OAB的面積為”的充分不必要條件15已知函數(shù)f(x)x22x5.(1)是否存在實數(shù)m，使不等式mf(x)0對任意xR恒成立？說明理由(2)若存在一個實數(shù)x0，使不等式mf(x0)0成立，求實數(shù)m的取值范圍解(1)不等式mf(x)0可化為mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24對任意xR恒成立，只需m4即可故存在實數(shù)m，使不等式mf(x)0對任意xR恒成立，此時，只需m4.(2)不等式mf(x0)0可化為mf(x0)，若存在一個實數(shù)x0，使不等式mf(x0)成立，則只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4，所求實數(shù)m的取值范圍是(4，)11