2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第6講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)講義 理(含解析)
2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第6講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)講義 理(含解析)考綱解讀1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì),能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù),熟悉對數(shù)在簡化運算中的作用2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及對數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),掌握其圖象通過的特殊點(重點、難點)3.通過具體實例了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系,并體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型4.了解指數(shù)函數(shù)yax(a>0且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a1)互為反函數(shù)考向預(yù)測從近三年高考情況來看,本講為高考中的一個熱點預(yù)測2020年高考主要以考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用、最值、比較大小為主要命題方向,此外,與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)也是一個重要的考查方向,主要以復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題呈現(xiàn).1對數(shù)2對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)續(xù)表3反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a>0,且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0,且a1)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線yx對稱1概念辨析(1)log2x22log2x.()(2)函數(shù)ylog2(x1)是對數(shù)函數(shù)()(3)函數(shù)yln 與yln (1x)ln (1x)的定義域相同()(4)當(dāng)x>1時,若logax>logbx,則a<b.()答案(1)×(2)×(3)(4)× 2小題熱身(1)已知a>0,a1,函數(shù)yax與yloga(x)的圖象可能是()答案B解析yloga(x)的定義域是(,0),所以排除A,C;對于選項D,由yax的圖象知0<a<1,由yloga(x)的圖象知a>1,矛盾,故排除D.故選B.(2)設(shè)alog2,be,cln ,則()Ac<a<b Ba<c<bCa<b<c Db<a<c答案C解析alog2<0,be(0,1),cln >1,所以a<b<c.(3)有下列結(jié)論:lg (lg 10)0;lg (ln e)0;若lg x1,則x10;若log22x,則x1;若logmn·log3m2,則n9.其中正確結(jié)論的序號是_答案解析lg (lg 10)lg 10,故正確;lg (ln e)lg 10,故正確;正確;logmn·log3m·log3mlog3n2,故n9,故正確(4)若函數(shù)yf(x)是函數(shù)y2x的反函數(shù),則f(2)_.答案1解析由已知得f(x)log2x,所以f(2)log221.題型 對數(shù)式的化簡與求值1已知函數(shù)f(x)則ff(1)f的值是_答案5解析因為f(1)log210,所以ff(1)f(0)2.因為log3<0,所以f3log313log321213.所以ff(1)f235.2計算下列各式:(1);(2)log3log54log210(3)7log72解(1)原式1.·log5(1032)log55.3已知log189a,18b5,試用a,b表示log3645.解因為log189a,18b5,所以log185b,于是log3645.對數(shù)運算的一般思路(1)拆:首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形,化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后正用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并(2)合:將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算,然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì),轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算如舉例說明2(1)(3)轉(zhuǎn)化:abNblogaN(a>0,且a1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法,在運算中應(yīng)注意互化如舉例說明3中18b5的變形 計算下列各式:(1)計算(lg 2)2lg 2·lg 50lg 25的結(jié)果為_;(2)若lg xlg y2lg (2x3y),則log的值為_;(3)計算:(log32log92)·(log43log83)_.答案(1)2(2)2(3)解析(1)原式lg 2(lg 2lg 50)lg 52lg 2×lg 1002lg 52(lg 2lg 5)2lg 102.(2)由已知得lg (xy)lg (2x3y)2,所以xy(2x3y)2,整理得4x213xy9y20,即4213×90,解得1或.由x>0,y>0,2x3y>0可得1,不符合題意,舍去,所以loglog2.(3)原式···.題型 對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用1(2019·青島模擬)函數(shù)f(x)lg (|x|1)的大致圖象是()答案B解析易知f(x)為偶函數(shù),且f(x)當(dāng)x1時,ylg x的圖象向右平移1個單位,可得ylg (x1)的圖象,結(jié)合選項可知,f(x)的大致圖象是B.2當(dāng)0<x時,4x<logax,則a的取值范圍是()A. B. C(1,) D(,2)答案B解析構(gòu)造函數(shù)f(x)4x和g(x)logax,畫出兩個函數(shù)在上的草圖(圖略),可知,若g(x)經(jīng)過點,則a,所以a的取值范圍為.條件探究1若舉例說明2變?yōu)椋喝舴匠?xlogax在上有解,求實數(shù)a的取值范圍解若方程4xlogax在上有解,則函數(shù)y4x和函數(shù)ylogax在上有交點,由圖象知解得0<a.條件探究2若舉例說明2變?yōu)椋喝舨坏仁絰2logax<0對x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍解由x2logax<0得x2<logax,設(shè)f1(x)x2,f2(x)logax,要使x時,不等式x2<logax恒成立,只需f1(x)x2在上的圖象在f2(x)logax圖象的下方即可當(dāng)a>1時,顯然不成立;當(dāng)0<a<1時,如圖所示,要使x2<logax在x上恒成立,需f1f2,所以有2loga,解得a,所以a<1.即實數(shù)a的取值范圍是.條件探究3若舉例說明2變?yōu)椋寒?dāng)0<x時,<logax,求實數(shù)a的取值范圍解若<logax在x時成立,則0<a<1,且y的圖象在ylogax圖象的下方,如圖所示,由圖象知 <loga,所以解得<a<1.即實數(shù)a的取值范圍是.1對數(shù)函數(shù)圖象的特征(1)底數(shù)與1的大小關(guān)系決定了圖象的升降,即a>1時,圖象上升;0<a<1時,圖象下降(2)對數(shù)函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象如圖,其中圖象的相對位置與底數(shù)大小有關(guān),圖中0<c<d<1<a<b.在x軸上側(cè),圖象從左到右相應(yīng)的底數(shù)由小變大;在x軸下側(cè),圖象從右到左相應(yīng)的底數(shù)由小變大(無論在x軸的上側(cè)還是下側(cè),底數(shù)都按順時針方向變大)2利用對數(shù)函數(shù)的圖象可求解的三類問題(1)對數(shù)型函數(shù)圖象的識別解此類問題應(yīng)從對數(shù)函數(shù)ylogax的圖象入手,抓住圖象上的三個關(guān)鍵點(a,1),(1,0),特別地要注意a>1和0<a<1的兩種不同情況(2)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù),在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時,常利用數(shù)形結(jié)合思想求解(3)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解如舉例說明2. 1已知lgalgb0(a>0且a1,b>0且b1),則函數(shù)f(x)ax與g(x)logbx的圖象可能是()答案B解析因為lg alg b0,所以lg (ab)0,所以ab1,即b,故g(x)logbxlogxlogax,則f(x)與g(x)互為反函數(shù),其圖象關(guān)于直線yx對稱,結(jié)合圖象知,B正確2設(shè)實數(shù)a,b是關(guān)于x的方程|lg x|c的兩個不同實數(shù)根,且a<b<10,則abc的取值范圍是_答案(0,1)解析由圖象可知0<a<1<b<10,又因為|lg a|lg b|c,所以lg ac,lg bc,即lg alg b,lg alg b0,所以ab1,于是abcc,而0<c<1.故abc的取值范圍是(0,1)題型 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1比較對數(shù)值的大小1(2018·天津高考)已知alog2e,bln 2,clog,則a,b,c的大小關(guān)系為()Aa>b>c Bb>a>c Cc>b>a Dc>a>b答案D解析因為e2.71828>2,所以alog2e>log221;bln 2<ln e1;又因為cloglog23>log221,又因為alog2e<log23c,所以c>a>b.角度2解對數(shù)不等式2(2018·銀川模擬)設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)>f(a),則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,0)(0,1)B(,1)(1,)C(1,0)(1,)D(,1)(0,1)答案C解析若a>0,則log2a>loga,即2log2a>0,所以a>1.若a<0,則log(a)>log2(a),即2log2(a)<0,所以0<a<1,1<a<0.綜上知,實數(shù)a的取值范圍是(1,0)(1,)角度3與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問題3已知函數(shù)f(x3)loga(a>0,且a1)(1)判斷f(x)的奇偶性,并說明理由;(2)當(dāng)0<a<1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解令x3u,則xu3,于是f(u)loga(a>0,且a1,3<u<3),所以f(x)loga(a>0,且a1,3<x<3)(1)因為f(x)f(x)logalogaloga10,所以f(x)f(x)又定義域(3,3)關(guān)于原點對稱所以f(x)是奇函數(shù)(2)令t1,則t在(3,3)上是增函數(shù),當(dāng)0<a<1時,函數(shù)ylogat是減函數(shù),所以f(x)loga(0<a<1)在(3,3)上是減函數(shù),即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(3,3)1比較對數(shù)值大小的方法若底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷;若底數(shù)為同一字母,則需對底數(shù)進行分類討論若底數(shù)不同,真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后,再進行比較若底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1,0等中間量進行比較,如舉例說明12求解對數(shù)不等式的兩種類型及方法類型方法形如logax>logab借助ylogax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況討論形如logax>b需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式,再借助ylogax的單調(diào)性求解3解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問題單調(diào)性的步驟一求求出函數(shù)的定義域二判判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的關(guān)系,分a>1與0<a<1兩種情況判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性,運用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則判斷函數(shù)的單調(diào)性,如舉例說明3(2)1(2016·全國卷)若a>b>1,0<c<1,則()Aac<bc Babc<bacCalogbc<blogac Dlogac<logbc答案C解析解法一:由a>b>1,0<c<1,知ac>bc,A錯誤;0<c<1,1<c1<0,yxc1在x(0,)上是減函數(shù),bc1>ac1,又ab>0,ab·bc1>ab·ac1,即abc>bac,B錯誤;易知ylogcx是減函數(shù),0>logcb>logca,logbc<logac,D錯誤;由logbc<logac<0,得logbc>logac>0,又a>b>1>0,alogbc>blogac>0,alogbc<blogac,故C正確解法二:依題意,不妨取a10,b2,c.易驗證A,B,D錯誤,只有C正確2已知函數(shù)f(x)若ff(x)2,則x的取值范圍為()A2,1 B,)C2,1,) D0,1,)答案C解析解法一:若x0,則ff(x)log22xx2,所以2x0.若x>1,則ff(x)log2(log2x)2,log2x22,x2,所以x.若0<x1,則ff(x)2log2xx2,所以0<x1.綜上知,x的取值范圍是2,1,)解法二:作出函數(shù)f(x)的圖象如下:由圖象可知,若ff(x)2,則f(x)或f(x)0.再次利用圖象可知x的取值范圍是2,1,)3函數(shù)f(x)log2·log (2x)的最小值為_答案解析f(x)log2x·2log2(2x)log2x(log22log2x)log2x(log2x)22,所以當(dāng)log2x,即x時,f(x)取得最小值.