2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題6 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式 第14講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用學(xué)案 文

2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題6 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式 第14講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用學(xué)案 文熱點(diǎn)題型真題統(tǒng)計(jì)命題規(guī)律題型1：“輔助函數(shù)法”證明不等式(構(gòu)造法)2018全國(guó)卷T21；2018全國(guó)卷T212017全國(guó)卷T21；2016全國(guó)卷T211.每年必考內(nèi)容，出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度很大.2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題是近幾年高考的一個(gè)亮點(diǎn)，熱點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)引起高度重視.題型2：“轉(zhuǎn)化法”解決不等式恒成立中的參數(shù)問題2017全國(guó)卷T21；2017全國(guó)卷T212016全國(guó)卷T20；2014全國(guó)卷T21題型3：“圖象輔助法”解決函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問題2018全國(guó)卷T21；2016全國(guó)卷T212015全國(guó)卷T21；2014全國(guó)卷T21高考考法示例·【例1】(2018·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)aexln x1.(1)設(shè)x2是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)a時(shí)，f(x)0.思路點(diǎn)撥(1)(2)解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)aex.由題設(shè)知，f(2)0，所以a.從而f(x)exln x1，f(x)ex.當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0.所以f(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2，)單調(diào)遞增(2)證明：當(dāng)a時(shí)，f(x)ln x1.設(shè)g(x)ln x1，則g(x).當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0.所以x1是g(x)的最小值點(diǎn)故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)g(1)0.因此，當(dāng)a時(shí)，f(x)0.方法歸納構(gòu)造輔助函數(shù)的4種方法【教師備選】(2017·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ln xax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a<0時(shí)，證明f(x)2.解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2ax2a1.若a0，則當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增若a<0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)證明：由(1)知，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在x處取得最大值，最大值為fln1.所以f(x)2等價(jià)于ln12，即ln10.設(shè)g(x)ln xx1，則g(x)1.當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)>0；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)<0，所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減故當(dāng)x1時(shí)，g(x)取得最大值，最大值為g(1)0.所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)0.從而當(dāng)a<0時(shí)，ln10，即f(x)2.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·已知函數(shù)f(x)ex3x3a(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，aR)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)aln，且x0時(shí)，x3a.解(1)由f(x)ex3x3a，知f(x)ex3.令f(x)0，得xln 3，于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 3)ln 3(ln 3，)f(x)0f(x)3(1ln 3a)故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 3)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 3，)，f(x)在xln 3處取得極小值，極小值為f(ln 3)3(1ln 3a)(2)證明：待證不等式等價(jià)于exx23ax1，設(shè)g(x)exx23ax1，于是g(x)ex3x3a.由(1)及a>ln ln 31知，g(x)的最小值為g(ln 3)3(1ln 3a)>0.于是對(duì)任意xR，都有g(shù)(x)>0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)a>lnln 31時(shí)，對(duì)任意x(0，)，都有g(shù)(x)>g(0)而g(0)0，從而對(duì)任意x(0，)，g(x)0.即ex>x23ax1，故x3a.題型2“轉(zhuǎn)化法”解決不等式恒成立中的參數(shù)問題利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題是高考?？伎键c(diǎn)，主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值的方法，以及轉(zhuǎn)化與化歸，函數(shù)與方程、分類討論的思想高考考法示例·【例2】(2017·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ex(exa)a2x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)0，求a的取值范圍. 解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，則f(x)e2x在(，)上單調(diào)遞增若a0，則由f(x)0得xln a.當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(ln a，)時(shí)，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增若a<0，則由f(x)0得xln.當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.故f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)若a0，則f(x)e2x，所以f(x)0.若a>0，則由(1)得，當(dāng)xln a時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(ln a)a2ln a.從而當(dāng)且僅當(dāng)a2ln a0，即0a1時(shí)，f(x)0.若a<0，則由(1)得，當(dāng)xln時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為fa2，從而當(dāng)且僅當(dāng)a20，即2ea0時(shí)，f(x)0.綜上，a的取值范圍是2e，1方法歸納解決不等式恒成立問題的兩種方法(1)分離參數(shù)法：若能夠?qū)?shù)分離，且分離后含x變量的函數(shù)關(guān)系式的最值易求，則用分離參數(shù)法.,即：f(x)恒成立，則f(x)max.f(x)恒成立，則f(x)min.(2)最值轉(zhuǎn)化法：若參數(shù)不易分離或分離后含x變量的函數(shù)關(guān)系式的最值不易求，則常用最值轉(zhuǎn)化法.可通過求最值建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解.如f(x)0，則只需f(x)min0.(教師備選)已知函數(shù)f(x)exx2(1m)x1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，m為常數(shù))(1)若曲線yf(x)與x軸相切，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若存在實(shí)數(shù)x1，x20,1使得2f(x1)<f(x2)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)exx2(1m)x1ex(2x1m)exx2(m1)xmex(xm)(x1)，設(shè)切點(diǎn)為(t,0)，則f(t)0，f(t)0，即解得或所以m的值是3或1.(2)依題意，當(dāng)x0,1時(shí)，函數(shù)f(x)max2f(x)min，m1時(shí)，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以f(0)2f(1)，即12×m3；m0時(shí)，x0,1時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(1)2f(0)，即2m32e；當(dāng)0m1時(shí)，當(dāng)x(0，m)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(m,1)時(shí)，f(x)0，所以f(x)minf(m)，f(x)maxf(0)或f(1)，記函數(shù)g(m)，g(m)，當(dāng)m0時(shí)，g(m)0，g(m)單調(diào)遞減，所以m(0,1)時(shí)，g(m)g(1)，所以2f(x)min1f(0)，2f(x)minf(1)，不存在m(0,1)使得f(x)max2f(x)min，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，32e).對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·(2018·湖北七市模擬)函數(shù)f(x)ln xx2ax(aR)，g(x)exx2.(1)討論f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若對(duì)于任意x(0，)，總有f(x)g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)由題意得f(x)xa(x0，令f(x)0，即x2ax10，a24.當(dāng)a240，即2a2時(shí)，x2ax10對(duì)x>0恒成立，即f(x)0對(duì)x>0恒成立，此時(shí)f(x)沒有極值點(diǎn)當(dāng)a24>0，即a<2或a>2時(shí)，若a<2，設(shè)方程x2ax10的兩個(gè)不同實(shí)根為x1，x2，不妨設(shè)x1<x2，則x1x2a>0，x1x210，故x2x10，當(dāng)0<x<x1或x>x2時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)<0，故x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)若a>2，設(shè)方程x2ax10的兩個(gè)不同實(shí)根為x3，x4，則x3x4a<0，x3x410，故x30，x40.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，故函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn)綜上，當(dāng)a<2時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn)(2)f(x)g(x)exln xx2ax，因?yàn)閤>0，所以ax0恒成立，設(shè)(x)(x0)，(x)，x0，當(dāng)x(0,1)時(shí)，(x)0，(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(1，)時(shí)，(x)>0，(x)單調(diào)遞增，(x)(1)e1，ae1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，e1題型3“圖象輔助法”解決函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問題核心知識(shí)儲(chǔ)備·導(dǎo)數(shù)法研究方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)問題是指利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性與極值，進(jìn)而畫出函數(shù)的大致圖象，并根據(jù)圖象判斷方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)如下：定函數(shù)，即確定與方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)或研究零點(diǎn)問題中的函數(shù)解析式求性質(zhì)，求解函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)，根據(jù)f(x)的符號(hào)變化研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，畫出函數(shù)的大致圖象列關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖象的分布判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，或根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)列出參數(shù)所滿足的關(guān)系式得結(jié)論，求解關(guān)系式，得出結(jié)論高考考法示例·【例3】(2018·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)x3a(x2x1)(1)若a3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)解(1)當(dāng)a3時(shí)，f(x)x33x23x3，f(x)x26x3.令f(x)0解得x32或x32.當(dāng)x(，32)(32，)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(32，32)時(shí)，f(x)<0.故f(x)在(，32)，(32，)單調(diào)遞增，在(32，32)單調(diào)遞減(2)證明：由于x2x1>0，所以f(x)0等價(jià)于3a0.設(shè)g(x)3a，則g(x)0，僅當(dāng)x0時(shí)g(x)0，所以g(x)在(，)單調(diào)遞增故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)又f(3a1)6a22a6a2<0，f(3a1)>0，故f(x)有一個(gè)零點(diǎn)綜上，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)方法歸納判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法(1)直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，畫出草圖.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.(2)分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為ag(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出函數(shù)g(x)在某區(qū)間的單調(diào)性，求出極值以及最值，畫出草圖.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是直線ya與函數(shù)yg(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.只需要用a與函數(shù)g(x)的極值和最值進(jìn)行比較即可.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·已知函數(shù)f(x)ex，xR.(1)若直線ykx與f(x)的反函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若m0，討論函數(shù)g(x)f(x)mx2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解(1)f(x)的反函數(shù)為yln x，x>0，則y.設(shè)切點(diǎn)為(x0，ln x0)，則切線斜率為k，故x0e，k.(2)函數(shù)g(x)f(x)mx2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即是方程f(x)mx20的實(shí)根的個(gè)數(shù)(當(dāng)x0時(shí)，方程無解)，等價(jià)于函數(shù)h(x)(x0)與函數(shù)ym圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)h(x).當(dāng)x(，0)時(shí)，h(x)>0，h(x)在(，0)上單調(diào)遞增；當(dāng)x(0,2)時(shí)，h(x)0，h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(2，)時(shí)，h(x)>0，h(x)在(2，)上單調(diào)遞增h(x)的大致圖象如圖：h(x)在(0，)上的最小值為h(2).當(dāng)m，即m時(shí)，函數(shù)h(x)與函數(shù)ym圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)m，即m時(shí)，函數(shù)h(x)與函數(shù)ym圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；當(dāng)m，即m時(shí)，函數(shù)h(x)與函數(shù)ym圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.綜上所述，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m時(shí)，函數(shù)g(x)有一個(gè)零點(diǎn)1(2018·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x).(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0，1)處的切線方程；(2)證明：當(dāng)a1時(shí)，f(x)e0.解(1)f(x)，f(0)2.因此曲線yf(x)在(0，1)處的切線方程是2xy10.(2)當(dāng)a1時(shí)，f(x)e(x2x1ex1)ex.令g(x)x2x1ex1，則g(x)2x1ex1.當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)g(1)0.因此f(x)e0.2(2017·全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)(1x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)ax1，求a的取值范圍解(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1或x1.當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(1，)單調(diào)遞減，在(1，1)單調(diào)遞增(2)f(x)(1x)(1x)ex.當(dāng)a1時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)(1x)ex，則h(x)xex0(x>0)，因此h(x)在0，)單調(diào)遞減而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.當(dāng)0<a<1時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)exx1，則g(x)ex10(x0)，所以g(x)在0，)單調(diào)遞增而g(0)0，故exx1.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，則x0(0,1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01.當(dāng)a0時(shí)，取x0，則x0(0,1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.綜上，a的取值范圍是1，)3(2016·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍解(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)()設(shè)a0，則當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增()設(shè)a0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，則f(x)(x1)(exe)，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增若a，則ln(2a)1，故當(dāng)x(，ln(2a)(1，)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(ln(2a)，1)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)上單調(diào)遞增，在(ln(2a)，1)上單調(diào)遞減若a，則ln(2a)1，故當(dāng)x(，1)(ln(2a)，)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，ln(2a)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(ln(2a)，)上單調(diào)遞增，在(1，ln(2a)上單調(diào)遞減(2)()設(shè)a0，則由(1)知，f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增又f(1)e，f(2)a，取b滿足b0且bln，則f(b)(b2)a(b1)2a0，所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)()設(shè)a0，則f(x)(x2)ex，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)()設(shè)a0，若a，則由(1)知，f(x)在(1，)上單調(diào)遞增又當(dāng)x1時(shí)f(x)0，故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)；若a，則由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上單調(diào)遞減，在(ln(2a)，)上單調(diào)遞增又當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上，a的取值范圍為(0，)兩類壓軸大題是導(dǎo)數(shù)和圓錐曲線，難度大、綜合性強(qiáng)，取得滿分不容易，但要得到盡可能多的分?jǐn)?shù)還是有方法可行的高考是選拔性的考試，同時(shí)又是一場(chǎng)智者的競(jìng)爭(zhēng)，真正的高考高手是坦然的，他們懂得有舍才有得的真正道理，面對(duì)高考大題，特別是壓軸題，哪些應(yīng)該勇于割舍，哪些應(yīng)努力爭(zhēng)取本講教你四招，讓你在考試中盡可能多得分、巧得分策略1缺步解答化繁為簡(jiǎn)，能解多少算多少如果遇到一個(gè)很困難的問題，確實(shí)啃不動(dòng)，一個(gè)聰明的解題策略是，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個(gè)個(gè)小問題，先解決問題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，尚未成功不等于失敗特別是那些解題層次明顯的題目，或者是已經(jīng)程序化了的方法，每進(jìn)行一步得分點(diǎn)的演算都可以得分，最后結(jié)論雖然未得出，但分?jǐn)?shù)卻已過半，這叫“大題巧拿分”【例1】(12分)已知橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)Q的軌跡方程解(1)由橢圓定義知，2a|PF1|PF2|2，所以a.2分又由已知，c1，所以橢圓C的離心率e，4分(2)由(1)知，橢圓C的方程為y21.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于(0,1)，(0，1)兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.6分當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx2.因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx12)，(x2，kx22)，則|AM|2(1k2)x，|AN|2(1k2)x.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得，即.8分將ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24×(2k21)×60，得k2.由可知，x1x2，x1x2，代入中并化簡(jiǎn)，得x2.9分因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線ykx2上，所以k，代入中并化簡(jiǎn)，得10(y2)23x218.10分由及k2，可知0x2，即x.又滿足10(y2)23x218，故x.由題意，Q(x，y)在橢圓C內(nèi)，所以1y1，又由10(y2)2183x2有(y2)2且1y1，則y.所以點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y2)23x218，其中x，y.12分名師點(diǎn)題(1)本題第(1)問為已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的離心率問題，屬于容易題.(2)本題的難點(diǎn)在于第(2)問中確定軌跡方程及方程中各變量的取值范圍，本題有一定的難度，要想拿到全分很難，這就應(yīng)該學(xué)會(huì)缺步解答.,首先，解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí)，若需要設(shè)直線方程，應(yīng)考慮直線的斜率是否存在，因此當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，這是每位考生都應(yīng)該能做到的.其次，聯(lián)立直線方程與橢圓方程并設(shè)出M，N，Q的坐標(biāo)，通過，得到，然后由x1x2及x1x2聯(lián)想一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將問題解決到是完全可以做到的，到此已經(jīng)可以得到9分.另外，考慮到點(diǎn)Q在直線l上，將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入所設(shè)直線方程就能得到10(y2)23x218，到此便可以得到10分.到此不能繼續(xù)往下解時(shí)，我們也已經(jīng)得到絕大部分分?jǐn)?shù)了.策略2跳步解答左右逢源，會(huì)做哪問做哪問解題過程中卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的這時(shí)，我們可以先承認(rèn)中間結(jié)論，往后推，看能否得到結(jié)論若題目有兩問，第(1)問想不出來，可把第(1)問當(dāng)作“已知”，先做第(2)問，跳一步解答【例2】(12分)設(shè)函數(shù)fn(x)xnbxc(nN*，b，cR)(1)設(shè)n2，b1，c1，證明：fn(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；(2)設(shè)n2，若對(duì)任意x1，x21,1，有|f2(x1)f2(x2)|4，求b的取值范圍；(3)在(1)的條件下，設(shè)xn是fn(x)在內(nèi)的零點(diǎn)，判斷數(shù)列x2，x3，xn，的增減性解(1)證明：b1，c1，n2時(shí)，fn(x)xnx1.fnfn(1)×10，fn(x)在內(nèi)存在零點(diǎn).2分又當(dāng)x時(shí)，fn(x)nxn110，fn(x)在上是單調(diào)遞增的fn(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn).4分(2)當(dāng)n2時(shí)，f2(x)x2bxc.對(duì)任意x1，x21,1都有|f2(x1)f2(x2)|4.等價(jià)于f2(x)在1,1上的最大值與最小值之差M4.據(jù)此分類討論如下：5分當(dāng)1，即|b|2時(shí)，M|f2(1)f2(1)|2|b|4，與題設(shè)矛盾.6分當(dāng)10，即0b2時(shí)，Mf2(1)f224恒成立.7分當(dāng)01，即2b0時(shí)，Mf2(1)f224恒成立綜上可知，2b2.8分故a的取值范圍為2,2(3)法一：設(shè)xn是fn(x)在內(nèi)的唯一零點(diǎn)(n2)，fn(xn)xxn10，fn1(xn1)xxn110，xn1，于是有fn(xn)0fn1(xn1)xxn11xxn11fn(xn1)又由(1)知fn(x)在上是單調(diào)遞增的，故xnxn1(n2)，所以數(shù)列x2，x3，xn，是遞增數(shù)列.12分法二：設(shè)xn是fn(x)在內(nèi)的唯一零點(diǎn)，fn1(xn)fn1(1)(xxn1)(1n111)xxn1xxn10，則fn1(x)的零點(diǎn)xn1在(xn,1)內(nèi)，故xnxn1(n2)，所以數(shù)列x2，x3，xn，是遞增數(shù)列.12分名師點(diǎn)題第(1)問可利用函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理較簡(jiǎn)單解決，但第(2)問較麻煩，很多同學(xué)不會(huì)做或耽誤較長(zhǎng)時(shí)間，從而延誤了第(3)問的解答.事實(shí)上，由題意可知，第(3)問的解答與第(2)問沒有任何關(guān)系，但與第(1)問是相關(guān)的，且非常容易解答，因此我們可跨過第(2)問，先解決第(3)問，從而增大了本題的得分率，這是解決此類題的上策之舉.策略3逆向解答逆水行舟，往往也能解決問題對(duì)一個(gè)問題正面思考發(fā)生思維受阻時(shí)，用逆向思維的方法去探求新的解題途徑，往往能得到突破性的進(jìn)展順向推有困難就逆推，直接證有困難就反證【例3】(12分)已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)對(duì)一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：對(duì)一切x(0，)，都有l(wèi)n x成立解(1)f(x)ln x1，1分當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；所以f(x)的最小值為f.3分(2)2xln xx2ax3，則a2ln xx設(shè)h(x)2ln xx(x0)，則h(x)，4分當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增，5分所以h(x)minh(1)4.因?yàn)閷?duì)一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4，即a的取值范圍為(，4.7分(3)證明：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明xln x(x(0，).8分由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取得.9分設(shè)m(x)(x(0，)，則m(x)，易知m(x)maxm(1).且兩函數(shù)不會(huì)同時(shí)取得.所以有xln x，11分從而對(duì)一切x(0，)，都有l(wèi)n x成立.12分名師點(diǎn)題解答本題第(3)問利用了逆向解答，把不等式巧妙地轉(zhuǎn)化為，不等式左邊是f(x)，右邊看作一個(gè)新的函數(shù)m(x)，只需說明f(x)min>m(x)max即可.策略4退步解答以退為進(jìn)，列出相關(guān)內(nèi)容也能得分“以退求進(jìn)”是一個(gè)重要的解題策略對(duì)于一個(gè)較一般的問題，如果你一時(shí)不能解決所提出的問題，那么，你可以從一般退到特殊，從抽象退到具體，從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單，從整體退到部分，從參變量退到常量，從較強(qiáng)的結(jié)論退到較弱的結(jié)論總之，退到一個(gè)你能夠解決的問題，通過對(duì)“特殊”的思考與解決，啟發(fā)思維，達(dá)到對(duì)“一般”的解決【例4】(12分)如圖1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C1：1(a10，b10)和橢圓C2：1(a2b20)均過點(diǎn)P，且以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)和C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形圖1(1)求C1，C2的方程；(2)是否存在直線l，使得l與C1交于A，B兩點(diǎn)，與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，且|，證明你的結(jié)論解(1)設(shè)C2的焦距為2c2，由題意知，2c22,2a12.從而a11，c21.因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x21上，所以21，故b3.2分由橢圓的定義知2a22.于是a2，bac2.故c1，c2的方程分別為x21，1.4分(2)不存在符合題設(shè)條件的直線.5分若直線l垂直于x軸，因?yàn)閘與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線l的方程為x或x.當(dāng)x時(shí)，易知A(，)，B(，)，所以|2，|2.此時(shí)，|.當(dāng)x時(shí)，同理可知，|.7分若直線l不垂直于x軸，設(shè)l的方程為ykxm.由得(3k2)x22kmxm230.當(dāng)l與C1相交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，從而x1x2，x1x2.于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.9分由得(2k23)x24kmx2m260.因?yàn)橹本€l與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以上述方程的判別式16k2m28(2k23)(m23)0.化簡(jiǎn)，得m22k23，10分因此·x1x2y1y20.于是222·222·，即|2|2，故|.綜合可知，不存在符合題設(shè)條件的直線.12分名師點(diǎn)題在求解第(2)問時(shí)可采用退步解答，若不能正確判斷其結(jié)論也應(yīng)說明直線是否存在，同時(shí)應(yīng)對(duì)直線垂直于x軸時(shí)給予說明，這就是所謂的從一般到特殊.