2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練07 以圓為背景的綜合計(jì)算與證明題練習(xí) 湘教版

2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練07 以圓為背景的綜合計(jì)算與證明題練習(xí) 湘教版 |類型1|　圓與切線有關(guān)的問(wèn)題 1.[xx·咸寧] 如圖T7-1,以△ABC的邊AC為直徑的☉O恰為△ABC的外接圓,∠ABC的平分線交☉O于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. (1)求證:DE是☉O的切線; (2)若AB=2,BC=,求DE的長(zhǎng). 圖T7-1 2.[xx·徐州] 如圖T7-2,AB為☉O的直徑,點(diǎn)C在☉O外,∠ABC的平分線與☉O交于點(diǎn)D,∠C=90°. (1)CD與☉O有怎樣的位置關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由. (2)若∠CDB=60°,AB=6,求的長(zhǎng). 圖T7-2 |類型2|　圓與四邊形結(jié)合的問(wèn)題 3.[xx·宜昌] 如圖T7-3,四邊形ABCD中,E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),ED=EC,以AE為直徑的☉O與邊CD相切于點(diǎn)D,B點(diǎn)在☉O上,連接OB. (1)求證:DE=OE; (2)若AB∥CD,求證:四邊形ABCD是菱形. 圖T7-3 4.[xx·鎮(zhèn)江] 如圖T7-4①,平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng),以P為圓心,PA為半徑的☉P與對(duì)角線AC交于A,E兩點(diǎn). (1)如圖②,當(dāng)☉P與邊CD相切于點(diǎn)F時(shí),求AP的長(zhǎng); (2)不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)☉P與邊CD相切時(shí),☉P與平行四邊形ABCD的邊有三個(gè)公共點(diǎn),隨著AP的變化,☉P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在變化,若公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4,直接寫(xiě)出相對(duì)應(yīng)的AP的長(zhǎng)的取值范圍　　　　.  圖T7-4 |類型3|　圓與三角函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題 5.[xx·貴港] 如圖T7-5,已知☉O是△ABC的外接圓,且AB=BC=CD,AB∥CD,連接BD. (1)求證:BD是☉O的切線; (2)若AB=10,cos∠BAC=,求BD的長(zhǎng)及☉O的半徑. 圖T7-5 6.[xx·銅仁] 如圖T7-6,在三角形ABC中,AB=6,AC=BC=5,以BC為直徑作☉O交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)G,直線DF是☉O的切線,D為切點(diǎn),交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. (1)求證:DF⊥AC; (2)求tanE的值. 圖T7-6 |類型4|　圓與相似三角形結(jié)合的問(wèn)題 7.[xx·通遼] 如圖T7-7,☉O是△ABC的外接圓,點(diǎn)O在BC邊上,∠BAC的平分線交☉O于點(diǎn)D,連接BD,CD,過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P. (1)求證:PD是☉O的切線; (2)求證:△ABD∽△DCP; (3)當(dāng)AB=5 cm,AC=12 cm時(shí),求線段PC的長(zhǎng). 圖T7-7 8.[xx·蘇州] 如圖T7-8,已知△ABC內(nèi)接于☉O,AB是直徑,點(diǎn)D在☉O上,OD∥BC,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E,連接CD交OE于點(diǎn)F. (1)求證:△DOE∽△ABC; (2)求證:∠ODF=∠BDE; (3)連接OC,設(shè)△DOE的面積為S1,四邊形BCOD的面積為S2,若=,求sinA的值. 圖T7-8 參考答案 1.解:(1)證明:連接OD, ∵AC是☉O的直徑, ∴∠ABC=90°, ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=45°, ∴∠AOD=90°. ∵DE∥AC, ∴∠ODE=∠AOD=90°, ∴DE是☉O的切線. (2)在Rt△ABC中,AB=2,BC=, ∴AC==5, ∴OD=. 過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DE,垂足為G, 則四邊形ODGC為正方形, ∴DG=CG=OD=. ∵DE∥AC, ∴∠CEG=∠ACB, 又∵∠ABC=∠CGE=90°, ∴△ABC∽△CGE, ∴=,即=,解得GE=, ∴DE=DG+GE=. 2.解:(1)CD是☉O的切線,理由如下: 連接OD,則OD=OB, ∴∠2=∠3. ∵BD平分∠ABC,∴∠2=∠1, ∴∠1=∠3,∴OD∥BC. ∵∠C=90°,∴BC⊥CD, ∴OD⊥CD, ∴CD是☉O的切線. (2)∵∠CDB=60°,∠C=90°, ∴∠2=∠1=∠3=30°, ∴∠AOD=∠2+∠3=30°+30°=60°. ∵AB=6,∴OA=3, ∴的長(zhǎng)=×π×3=π. 3.證明:(1)如圖,連接OD,∵CD是☉O的切線, ∴OD⊥CD, ∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°, 又∵DE=EC,∴∠2=∠1,∴∠3=∠COD, ∴DE=OE. (2)∵OD=OE,DE=OE,∴OD=DE=OE, ∴∠3=∠COD=∠DEO=60°,∴∠2=∠1=30°. ∵OA=OB=OE,且OE=DE=EC,∴OA=OB=DE=EC, 又∵AB∥CD,∴∠4=∠1,∴∠2=∠1=∠4=∠OBA=30°, ∴△ABO≌△CDE,∴AB=CD. 又∵AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形. ∵∠DAE=∠DOE=30°,∴∠1=∠DAE, ∴CD=AD,∴四邊形ABCD是菱形. 4.解:(1)如圖,連接PF. 在Rt△ABC中,由勾股定理得AC===8.設(shè)AP=x,則DP=10-x,PF=x.∵☉P與邊CD相切于點(diǎn)F,∴PF⊥CD. ∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD. 又∵AB⊥AC,∴AC⊥CD,∴PF∥AC, ∴△DPF∽△DAC. ∴=,即=. 解得x=,即AP=. (2)<AP<或AP=5 5.解:(1)證明:連接BO并延長(zhǎng)交AC于H,如圖, 由于☉O是△ABC的外接圓,AB=BC,則BH⊥AC且AH=CH.∵AB=CD,AB∥CD,∴四邊形ABDC是平行四邊形,∴AC∥BD,∴BH⊥BD,即OB⊥BD, ∴BD是☉O的切線. (2)由(1)知,BD=AC,而AC=2AH=2AB·cos∠BAC=2×10×=12,∴BD=12. 設(shè)☉O的半徑為r,且OH=x,則有r+x=BH,AH2+x2=r2,又BH===8,∴r+x=8①,又由AH2+x2=r2得(r+x)(r-x)=AH2=36, ∴r-x=②,①②聯(lián)立,解得r=,∴☉O的半徑為. 6.解:(1)證明:如圖,連接OD,∵DF是☉O的切線, ∴OD⊥EF,∴∠ODE=90°. ∵AC=BC,∴∠ABC=∠A. ∵OD=OB,∴∠OBD=∠ODB,∴∠A=∠ODB, ∴OD∥AC, ∴∠CFE=∠ODE=90°,∴DF⊥AC. (2)如圖,連接BG,∵BC是直徑,∴∠BGC=90°. 在Rt△ACD中,DC===4. ∵AB·CD=2S△ABC=AC·BG, ∴BG===,∴CG===.∵BG⊥AC,EF⊥AC,∴BG∥EF,∴∠E=∠CBG,∴tanE=tan∠CBG==. 7.解:(1)證明:連接OD.∵BC是☉O的直徑,∴∠BAC=90°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD.又∵∠BOD=2∠BAD,∴∠BOD=∠BAC=90°.∵DP∥BC,∴∠ODP=∠BOD=90°,即PD⊥OD,又OD是☉O的半徑,∴PD是☉O的切線. (2)證明:∵DP∥BC,∴∠ACB=∠P,又∠ACB=∠ADB,∴∠ADB=∠P.∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠DCP=180°,∴∠DCP=∠ABD,∴△ABD∽△DCP. (3)∵BC是☉O的直徑,∴∠BDC=∠BAC=90°.在Rt△ABC中,BC===13(cm). ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠BCD=∠CBD,∴BD=CD.在Rt△BCD中,∵BD2+CD2=BC2,∴BD=CD=BC=×13=(cm). ∵△ABD∽△DCP,∴=,即=, ∴PC=16.9(cm). 8.解:(1)證明:∵AB是☉O的直徑, ∴∠ACB=90°. ∵DE⊥AB,∴∠DEO=90°. ∴∠DEO=∠ACB. ∵OD∥BC,∴∠DOE=∠ABC, ∴△DOE∽△ABC. (2)證明:∵△DOE∽△ABC,∴∠ODE=∠A. ∵∠A和∠BDC是所對(duì)的圓周角, ∴∠A=∠BDC,∴∠ODE=∠BDC, ∴∠ODE-∠CDE=∠BDC-∠CDE, 即∠ODF=∠BDE. (3)∵△DOE∽△ABC,∴=2=, 即S△ABC=4S△DOE=4S1. ∵OA=OB,∴S△BOC=S△ABC, 即S△BOC=2S1. ∵=,S2=S△BOC+S△DOE+S△DBE=2S1+S1+S△DBE, ∴S△DBE=S1,∴BE=OE, 即OE=OB=OD, ∴sinA=sin∠ODE==.