江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 數(shù)列 4.1 小題考法—數(shù)列中的基本量計算講義（含解析）

《江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 數(shù)列 4.1 小題考法—數(shù)列中的基本量計算講義（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 數(shù)列 4.1 小題考法—數(shù)列中的基本量計算講義（含解析）（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 數(shù)列 4.1 小題考法—數(shù)列中的基本量計算講義（含解析） 小題考情分析 大題考情分析 ?？键c 等差數(shù)列的基本量計算(5年2考) 等比數(shù)列的基本量計算(5年3考) 近幾年的數(shù)列解答題，其常規(guī)類型可分為二類：一類是判斷、證明某個數(shù)列是等差、等比數(shù)列(如2017年T19)；另一類是已知等差、等比數(shù)列求基本量，這個基本量涵義很廣泛，有項、項數(shù)、公差、公比、通項、和式以及它們的組合式，甚至還包括相關參數(shù)(如2018年T20)． 數(shù)列的壓軸題還對代數(shù)推理能力的要求較高，其中數(shù)列與不等式的結合(如2018年T20,2016年T20)；數(shù)列與方程的結合(如

2、2015年T20)．這些壓軸題難度很大，綜合能力要求較高. 偶考點 等差、等比數(shù)列的性質及最值問題 考點(一) 等差、等比數(shù)列的基本運算 　主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式及有關的五個基本量間的“知三求二”運算. 答案： 2．公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，則λ的值為________． 解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由a6＝3a4，得a1＋5d＝3(a1＋3d)，則a1＝－2d，又S10＝λa4，所以λ＝＝＝＝25. 答案：25 3．(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項

3、和為Sn.已知S3＝，S6＝，則a8＝________. 解析：設等比數(shù)列{an}的公比為q，則由S6≠2S3，得q≠1，則解得 則a8＝a1q7＝×27＝32. 答案：32 4．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，a3，a1成等差數(shù)列，則的值為________． 解析：設{an}的公比為q且q>0，因為a2，a3，a1成等差數(shù)列，所以a1＋a2＝2×a3＝a3，即a1＋a1q＝a1q2，因為a1≠0，所以q2－q－1＝0，解得q＝或q＝<0(舍去)，所以＝＝q2＝. 答案： [方法技巧] 等差(比)數(shù)列基本運算的策略 (1)在等差(比)數(shù)列中，首項a1和公差d(公比q

4、)是兩個最基本的元素． (2)在進行等差(比)數(shù)列項的運算時，若條件和結論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體代換法的使用，以減少計算量. 考點(二) 等差、等比數(shù)列的性質 　　 　　　　　　　　　　　　 主要考查等差、等比數(shù)列的性質及與前n項和有關的最值問題. [題組練透] 1．在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，則log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________. 解析：由等差數(shù)列的性質知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，則2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a

5、10＝25(a5＋a6)＝25×4，∴l(xiāng)og2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20. 答案：20 2．(2018·南京、鹽城、連云港二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S15＝30，a7＝1，則S9的值為________． 解析：因為S15＝30，所以＝30，a1＋a15＝4，即2a8＝4，a8＝2，又因為a7＝1，所以公差d＝1，a5＝a7－2d＝－1，S9＝＝9a5＝－9. 答案：－9 3．在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，則＝________. 解析：由題知，a3＋a15＝6>0，a3a15＝8>0，則a3>0，a1

6、5>0，由等比數(shù)列的性質知a1a17＝a3a15＝8＝a?a9＝±2.設等比數(shù)列{an}的公比為q，則a9＝a3q6>0，故a9＝2，故＝＝2. 答案：2 4．設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝3，S9－S6＝12，則S6＝________. 解析：在等比數(shù)列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即3，S6－3,12成等比數(shù)列，所以(S6－3)2＝3×12＝36，所以S6－3＝±6，所以S6＝9或S6＝－3(舍去)． 答案：9 5．(2018·蘇州暑假測試)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，若對任意n

7、∈N*，總有Sn≤Sk，則k的值是________． 解析：在等差數(shù)列{an}中，設公差為d，因為“an－Sn＝a1＋(n－1)d－＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)”的二次項系數(shù)為1，所以－＝1，即公差d＝－2，令n＝2，得a1＝13，所以前n項和Sn＝13n＋×(－2)＝14n－n2＝49－(n－7)2，故前7項和最大，所以k＝7. 答案：7 [方法技巧] 等差、等比數(shù)列性質問題求解策略 (1)等差、等比數(shù)列性質的應用的關鍵是抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系，從這些特點入手選擇恰當?shù)男再|進行求解． (2)應牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質，特別是等差數(shù)列中“若m＋n＝

8、p＋q，則am＋an＝ap＋aq”這一性質與求和公式Sn＝的綜合應用． [必備知能·自主補缺] (一) 主干知識要記牢 1．等差數(shù)列、等比數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0) 前n項和公式 Sn＝＝na1＋ d (1)q≠1，Sn＝＝； (2)q＝1，Sn＝na1 2．判斷等差數(shù)列的常用方法 (1)定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (2)通項公式法：an＝pn＋q(p，q為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (3)中項公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n

9、∈N*)?{an}是等差數(shù)列． 3．判斷等比數(shù)列的常用方法 (1)定義法：＝q(q是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． (2)通項公式法：an＝cqn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． (3)中項公式法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． (二) 二級結論要用好 1．等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論 (1)p＋q＝m＋n?ap＋aq＝am＋an. (2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd. (3)連續(xù)k項的和(如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…)構成的數(shù)列是

10、等差數(shù)列． (4)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)2m，公差為d，所有奇數(shù)項之和為S奇，所有偶數(shù)項之和為S偶，則所有項之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝. (5)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)2m－1，所有奇數(shù)項之和為S奇，所有偶數(shù)項之和為S偶，則所有項之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝. [針對練]　一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32∶27，則該數(shù)列的公差d＝________. 解析：設等差數(shù)列的前12項中奇數(shù)項的和為S奇，偶數(shù)項的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d. 由已

11、知條件，得 解得 又S偶－S奇＝6d， 所以d＝＝5. 答案：5 2．等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論 (1)p＋q＝m＋n?ap·aq＝am·an. (2){an}，{bn}成等比數(shù)列?{anbn}成等比數(shù)列． (3)連續(xù)m項的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)構成的數(shù)列是等比數(shù)列(注意：這連續(xù)m項的和必須非零才能成立)． (4)若等比數(shù)列有2n項，公比為q，奇數(shù)項之和為S奇，偶數(shù)項之和為S偶，則＝q. (5)對于等比數(shù)列前n項和Sn，有： ①Sm＋n＝Sm＋qmSn； ②＝(q≠±1)． [課時達標訓練] A組——抓牢中檔小題 1．(2018·南京三模)若

12、等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，n∈N*，且a1＝1，S6＝3S3，則a7的值為________． 解析：由S6＝3S3，得(1＋q3)S3＝3S3.因為S3＝a1(1＋q＋q2)≠0，所以q3＝2，得a7＝4. 答案：4 2．(2018·南通三模)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若公差d＝2，a5＝10，則S10的值是________． 解析：法一：因為等差數(shù)列{an}中a5＝a1＋4d＝10，d＝2，所以a1＝2，所以S10＝10×2＋×2＝110. 法二：在等差數(shù)列{an}中，a6＝a5＋d＝12，所以S10＝＝5(a5＋a6)＝5×(10＋12)＝110. 答案：11

13、0 3．(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調研(二))已知公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝4，則＝________. 解析：因為S10＝10a1＋d＝10a1＋45d，S5＝5a1＋d＝5a1＋10d，所以＝＝＝4，可得d＝2a1，故＝2. 答案：2 4．(2018·蘇中三市、蘇北四市三調)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和．若a3＝2，S12＝4S6，則a9的值為________． 解析：由S12＝4S6，當q＝1，顯然不成立，所以q≠1，則＝4，因為≠0，所以1－q12＝4(1－q6)，即(1－q6)(q6－3)＝0，所以q6＝3或q＝－1，所以a9＝a3q6＝6或2.

14、 答案：2或6 5．若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝________. 解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q， 則a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3； b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2. 所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2， 所以＝1. 答案：1 6．已知公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝3，則的值為________． 解析：由題意＝＝3，化簡得d＝4a1， 則＝＝＝. 答案： 7．(2018·常州期末)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4

15、，則a3的最小值為________． 解析：依題意有a2a4＝a，a2a3a4＝(a3)3＝a2＋a3＋a4≥a3＋2＝3a3，整理有a3(a－3)≥0，因為an>0，所以a3≥，所以a3的最小值為. 答案： 8．(2018·鹽城期中)在數(shù)列{an}中，a1＝－2101，且當2≤n≤100時，an＋2a102－n＝3×2n恒成立，則數(shù)列{an}的前100項和S100＝________. 解析：因為當2≤n≤100時，an＋2a102－n＝3×2n恒成立， 所以a2＋2a100＝3×22，a3＋2a99＝3×23，…，a100＋2a2＝3×2100，以上99個等式相加， 得3(a2＋

16、a3＋…＋a100)＝3(22＋23＋…＋2100)＝3(2101－4)，所以a2＋a3＋…＋a100＝2101－4， 又因為a1＝－2101，所以S100＝a1＋(a2＋a3＋…＋a100)＝－4. 答案：－4 9．(2018·揚州期末)已知各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若4a4，a3,6a5成等差數(shù)列，且a3＝3a，則S3＝________. 解析：設各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q，則q>0，且a1>0， 由4a4，a3,6a5成等差數(shù)列，得2a3＝4a4＋6a5， 即2a3＝4a3q＋6a3q2，解得q＝. 又由a3＝3a，解得a1＝， 所以S

17、3＝a1＋a2＋a3＝＋＋＝. 答案： 10．設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，S10＝16，S100－S90＝24，則S100＝________. 解析：依題意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差數(shù)列，設該等差數(shù)列的公差為d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200. 答案：200 11．(2018·揚州期末)在正項等比數(shù)列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，則a5＋a6的最小值為________． 解析：令a

18、1＋a2＝t(t>0)，則a4＋a3－2a2－2a1＝6可化為tq2－2t＝6(其中q為公比)，所以a5＋a6＝tq4＝q4＝6 ≥6＝48(當且僅當q＝2時等號成立)． 答案：48 12．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，an＋1＝2Sn＋2n，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 解析：當n≥2時，an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＋2n－2n－1＝2an＋2n－1，從而an＋1＋2n＝3(an＋2n－1)． 又a2＝2a1＋2＝4，a2＋2＝6，故數(shù)列{an＋1＋2n}是以6為首項，3為公比的等比數(shù)列，從而an＋1＋2n＝6×3n－1，即an＋1＝2×

19、3n－2n，又a1＝1＝2×31－1－21－1，故an＝2×3n－1－2n－1. 答案：2×3n－1－2n－1 13．數(shù)列{an}中，若對?n∈N*，an＋an＋1＋an＋2＝k(k為常數(shù))，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，則該數(shù)列的前100項的和等于________． 解析：由an＋an＋1＋an＋2＝k，an＋1＋an＋2＋an＋3＝k，得an＋3＝an， 從而a7＝a1＝2，a9＝a3＝3，a98＝a2＝4， 因此a1＋a2＋a3＝9， 所以S100＝33(a1＋a2＋a3)＋a1＝33×9＋2＝299. 答案：299 14．(2018·無錫期末)已知等比數(shù)列{an}滿

20、足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差數(shù)列，則a1·a2·…·an的最大值為________． 解析：設等比數(shù)列{an}的公比為q， 根據(jù)等比數(shù)列的性質可得a2a5＝a3a4＝2a3， 由于a3≠0，可得a4＝2. 因為a4，，2a7成等差數(shù)列， 所以2×＝a4＋2a7，可得a7＝， 由a7＝a4q3，可得q＝， 由a4＝a1q3，可得a1＝16， 從而an＝a1qn－1＝16×n－1. 法一：令an≥1可得n≤5，故當1≤n≤5時，an≥1，當n≥6時，0

21、24×23×22×…×25－n＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝2＝2. 因為n∈N*，所以當且僅當n＝4或5時，取得最大值10，從而Tn取得最大值T10＝210＝1 024. 答案：1 024 B組——力爭難度小題 1．已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋b(a＞0，b＞0)有兩個不同的零點m，n，且m，n和－2三個數(shù)適當排序后，既可成為等差數(shù)列，也可成為等比數(shù)列，則a＋b的值為________． 解析：由題意可得m＋n＝a，mn＝b，因為a＞0，b＞0，可得m＞0，n＞0，又m，n，－2這三個數(shù)適當排序后可成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，可得① 或② 解①得m＝4，n＝1，

22、解②得m＝1，n＝4. 所以a＝5，b＝4，則a＋b＝9. 答案：9 2．已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)且公比q>1，前n項積為Tn，且a2a4＝a3，則使得Tn>1的n的最小值為________． 解析：由a2a4＝a3得a＝a3，又{an}的各項均為正數(shù)，故a3＝1，T5＝a1a2a3a4a5＝a＝1，當n＝6時，T6＝T5·a6，又公比q>1，a3＝1，故a6>1，T6>1. 答案：6 3．設a1，a2，…，a10成等比數(shù)列，且a1a2·…·a10＝32，設x＝a1＋a2＋…＋a10，y＝＋＋…＋，則＝________. 解析：由a1a2·…·a10＝32，得a1a2·

23、…·a10＝(a1a10)5＝32，則a1a10＝2，設公比為q，則a1a10＝aq9＝2，因為x＝a1＋a2＋…＋a10＝，y＝＋＋…＋＝＝，所以＝aq9＝2. 答案：2 4．(2018·南京考前模擬)數(shù)列{an}中，an＝2n－1，現(xiàn)將{an}中的項依原順序按第k組有2k項的要求進行分組：(1,3)，(5,7,9,11)，(13,15,17,19,21,23)，…，則第n組中各數(shù)的和為________． 解析：設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn＝n2，因為2＋4＋…＋2n＝n(n＋1)＝n2＋n,2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)＝n2－n.所以第n組中各數(shù)的和為Sn2＋n－

24、Sn2－n＝(n2＋n)2－(n2－n)2＝4n3. 答案：4n3 5．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若2S4＝S2＋2，則S6的最小值為________． 解析：設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為2S4＝S2＋2， 當q＝1時，則8a1＝2a1＋2，解得a1＝，所以S6＝2. 當q≠1時，2×＝＋2，所以＝，則S6＝＝(1＋q2＋q4)＝＋≥2＝，當且僅當q2＝時取等號． 綜上可得S6的最小值為. 答案： 6．(2018·江蘇高考)已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}．將A∪B的所有元素從小到大依次排列構成一個數(shù)列{an}．記Sn

25、為數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn>12an＋1成立的n的最小值為________． 解析：所有的正奇數(shù)和2n(n∈N*)按照從小到大的順序排列構成{an}，在數(shù)列{an}中，25前面有16個正奇數(shù)，即a21＝25，a38＝26.當n＝1時，S1＝1<12a2＝24，不符合題意；當n＝2時，S2＝3<12a3＝36，不符合題意；當n＝3時，S3＝6<12a4＝48，不符合題意；當n＝4時，S4＝10<12a5＝60，不符合題意；……；當n＝26時，S26＝＋＝441＋62＝503<12a27＝516，不符合題意；當n＝27時，S27＝＋＝484＋62＝546>12a28＝540，符合題意．故使得Sn>12an＋1成立的n的最小值為27. 答案：27