江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 選修4系列強化練（二）選修4-4 坐標系與參數(shù)方程（理）（含解析）

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 選修4系列強化練（二）選修4-4 坐標系與參數(shù)方程（理）（含解析） 題型一　曲線的極坐標方程 1．在極坐標系中，已知曲線C：ρ＝2sin θ，過極點O的直線l與曲線C交于A，B兩點，且AB＝，求直線l的極坐標方程． 解：設(shè)直線l的方程為θ＝θ0(ρ∈R)，A(0,0)，B(ρ1，θ0)． 則AB＝|ρ1－0|＝|2sin θ0|. 又AB＝，故sin θ0＝±. 解得θ0＝＋kπ或θ0＝－＋kπ，k∈Z. 所以直線l的方程為θ＝或θ＝(ρ∈R)． 2．求以C(4,0)為圓心，半徑為4的圓的極坐標方程． 解：如圖所示，由題設(shè)可

2、知，這個圓經(jīng)過極點，圓心在極軸上，設(shè)圓與極軸的另一個交點是A，在圓上任取一點P(ρ，θ)，連結(jié)OP，PA， 在Rt△OPA中，|OA|＝8，|OP|＝ρ，∠AOP＝θ， ∴|OA|·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圓C的極坐標方程． [臨門一腳] 1．在極坐標系中，求直線的極坐標方程的一般方法為：設(shè)M(ρ，θ)為直線上任意一點，極點為O，連結(jié)OM，構(gòu)造出含有OM的三角形，再找出我們需求的ρ與θ的關(guān)系，即為直線的極坐標方程．也可以先求出直角坐標方程，再化為極坐標方程． 2．求圓的極坐標方程要注意作出圖形，充分利用三角函數(shù)和解三角形的知識，探究極徑和極角的關(guān)系，

3、幾種特殊圓的極坐標方程需要記憶清楚． 3．解極坐標方程時如果求出ρ＝0，需要進行檢驗，防止漏解． 題型二　方程互化 1．已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程． 解：(1)由ρ2＝x2＋y2，且得圓O1的直角坐標方程為x2＋y2＝4， 由ρ2－2ρcos＝2， 得ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝2， x2＋y2－2(x＋y)＝2， 故圓O2的直角坐標方程為x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)聯(lián)立方程兩式相減，得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x＋y－

4、1＝0， 該直線的極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ－1＝0. 2．在平面直角坐標系xOy中，圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標原點O為極點、x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．求： (1)圓的普通方程； (2)圓的極坐標方程． 解：(1) 圓的普通方程為(x－2)2＋y2＝4. (2) 把代入上述方程，得圓的極坐標方程為ρ＝4cos θ. 3．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：(t為參數(shù))與橢圓C：(θ為參數(shù)，a＞0)的一條準線的交點位于y軸上，求實數(shù)a的值． 解：由題意，直線l的普通方程為2x＋y＝9， 橢圓C的普通方程為＋＝1(0＜a＜3)， 橢圓C的準線方程為y

5、＝±， 故＝9，解得a＝2(負值舍去)． [臨門一腳] 1．極坐標與直角坐標互化的基本公式為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，也經(jīng)常需要用到ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)． 2．通過消去參數(shù)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識別曲線的類型． (1)消去參數(shù)的方法一般有三種： ①利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式，然后代入消去參數(shù)； ②利用三角恒等式消去參數(shù)； ③根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，選用一些靈活的方法從整體上消去參數(shù)． (2)在參數(shù)方程與普通方程的互化中， 必須使兩種方程中的x，y的取值范圍保持一致，否則將導(dǎo)致兩種方程所對應(yīng)的曲線不一致． 題型三　位置關(guān)系

6、及參數(shù)方程應(yīng)用 1．在極坐標系中，求直線θ＝(ρ∈R)被曲線ρ＝4sin θ所截得的弦長． 解：法一：在ρ＝4sin θ中，令θ＝，得ρ＝4sin＝2，即所求弦長為2. 法二：以極點O為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系． 直線θ＝(ρ∈R)的直角坐標方程為y＝x，① 曲線ρ＝4sin θ的直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0，② 由①②得或 故直線θ＝(ρ∈R)被曲線ρ＝4sin θ所截弦長的端點坐標分別為(0,0)，(2,2)， 所以直線θ＝(ρ∈R)被曲線ρ＝4sin θ所截得的弦長為＝2. 2．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標方程為ρ＝3c

7、os θ，試判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系． 解：由題意知，直線l的普通方程為2x－y－2＝0， 由ρ2＝x2＋y2，且得曲線C的直角坐標方程為2＋y2＝，它表示圓． 由圓心到直線l的距離d＝＝＜，得直線l與曲線C相交． 3．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(其中φ為參數(shù))，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρcosθ＋＝3.求橢圓C上的點到直線l距離的最大值和最小值． 解：直線l的直角坐標方程為x－y－3＝0. 設(shè)橢圓C上的點到直線l的距離為d. 則d＝＝. 所以當(dāng)sin＝1時，dmax＝2； 當(dāng)sin＝－1時，dmin＝. 所以橢

8、圓C上的點到直線l距離的最大值為2，最小值為. 4．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù))．設(shè)P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值． 解：直線l的普通方程為x－2y＋8＝0. 因為點P在曲線C上，設(shè)P(2s2,2s)， 從而點P到直線l的距離 d＝＝. 當(dāng)s＝時，dmin＝. 因此當(dāng)點P的坐標為(4,4)時，曲線C上點P到直線l的距離取到最小值. [臨門一腳] 1．如果遇到直線與圓的位置關(guān)系問題，應(yīng)優(yōu)先將方程化為普通方程后再研究較為方便． 2．圓或橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用于求曲線上的點到直線距離的最值問題，需要輔助角公式的運用，等號成立的條件一定要寫出． 3．直線的參數(shù)方程為中t的幾何意義要清楚，但如果給的方程不是標準形式，此時不要直接用t的幾何意義來處理弦的問題．