江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題三 解析幾何 3.4 專(zhuān)題提能—“解析幾何”專(zhuān)題提能課達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析）

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題三 解析幾何 3.4 專(zhuān)題提能—“解析幾何”專(zhuān)題提能課達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析） 1．過(guò)點(diǎn)P(2，－1)且傾斜角的正弦值為的直線(xiàn)方程為_(kāi)_______________________． 解析：設(shè)所求直線(xiàn)的傾斜角為α，則由題設(shè)知sin α＝，因?yàn)?≤α<π， 所以cos α＝±＝±，所以tan α＝＝±，則所求直線(xiàn)方程為y＋1＝±(x－2)，即5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0. 答案：5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0 2．若橢圓的短軸長(zhǎng)為2，長(zhǎng)軸是短軸的2倍，則橢圓的中心到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離是________． 解析：因?yàn)槎梯S長(zhǎng)為2，即b

2、＝1，所以a＝2，則橢圓的中心到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離是. 答案： 3．設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y＝±x，則其離心率為_(kāi)_______． 解析：由題意可得＝或＝，從而e＝＝＝或. 答案：或 4．若關(guān)于x的方程 ＝a(x－1)＋1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：作出函數(shù)y＝的圖象，它是單位圓的上半部分，作出直線(xiàn)y＝a(x－1)＋1，它是過(guò)點(diǎn)A(1,1)的直線(xiàn)，由圖象可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 答案： B組——方法技巧練 1．已知直線(xiàn)l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線(xiàn)與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝2，則

3、|CD|＝________. 解析：由直線(xiàn)l：mx＋y＋3m－＝0知其過(guò)定點(diǎn)(－3，)，圓心O到直線(xiàn)l的距離為d＝. 由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直線(xiàn)l 的斜率為－m＝，所以直線(xiàn)l的傾斜角α＝. 畫(huà)出符合題意的圖形如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD，則∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4. 答案：4 2.如圖，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線(xiàn)交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為_(kāi)_______． 解析：設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，

4、其中c＝， 則可設(shè)A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|， 可得＝3，故 即代入橢圓方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故橢圓方程為x2＋＝1. 答案：x2＋y2＝1 3．橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線(xiàn)y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是________． 解析：法一：設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F1(－c,0)，如圖，連結(jié)QF1，QF，設(shè)QF與直線(xiàn)y＝x交于點(diǎn)M，又題意知M為線(xiàn)段QF的中點(diǎn)，且OM⊥FQ，O為線(xiàn)段F1F的中點(diǎn)， ∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，F(xiàn)1Q＝2OM. 在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，OF＝c. 解得OM＝，

5、MF＝，故QF＝2MF＝，QF1＝2OM＝. 由橢圓的定義QF＋QF1＝＋＝2a，整理得b＝c，∴a＝＝c， 故e＝. 法二：設(shè)Q(x0，y0)，則FQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為，kFQ＝. 依題意得 解得 又因?yàn)?x0，y0)在橢圓上，所以＋＝1. 令e＝，則4e6＋e2＝1，故離心率e＝. 答案： 4．若橢圓＋＝1(a>b>0)上存在一點(diǎn)M，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右準(zhǔn)線(xiàn)距離的2倍，則橢圓離心率的最小值為_(kāi)_______. 解析：由題意，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)焦半徑公式得，a＋ex＝2，x＝，有－a≤≤a，不等式各邊同除以a，得－1≤≤1，則－1≤e＋2，即e2＋3e－2≥0，又0

6、

7、DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面積為，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2＝a2－b2. 由＝2，得|DF1|＝＝c. 從而S△DF1F2＝|DF1|·|F1F2|＝c2＝，故c＝1. 從而|DF1|＝.由DF1⊥F1F2，得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，因此|DF2|＝， 所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2， 故a＝，b2＝a2－c2＝1. 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. C組——?jiǎng)?chuàng)新應(yīng)用練 1．設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)x＋my＝0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線(xiàn)mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB

8、|的最大值是________． 解析：易求定點(diǎn)A(0,0)，B(1,3)．當(dāng)P與A和B均不重合時(shí)，不難驗(yàn)證PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝時(shí)，等號(hào)成立)，當(dāng)P與A或B重合時(shí)，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5. 答案：5 2．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與線(xiàn)段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線(xiàn)BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為_(kāi)_______． 解析：如圖所示，由題意得 A(－

9、a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(－c,0)． 設(shè)E(0，m)， 由PF∥OE，得＝， 則|MF|＝.① 又由OE∥MF，得＝， 則|MF|＝.② 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝. 答案： 3．設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是________． 解析：依題意，直線(xiàn)MN與圓O有公共點(diǎn)即可，即圓心O到直線(xiàn)MN的距離小于等于1即可，過(guò)O作OA⊥MN，垂足為A，在Rt△OMA中，因?yàn)椤螼MA＝45°，故|OA|＝|OM|sin 45°＝|OM|≤1，所以|OM|≤，則≤，解得－1≤x1≤1. 答案：[－1,

10、1] 4．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得＝，則該橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：在△MF1F2中，＝， 而＝， ∴＝＝.① 又M是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)， ∴|MF1|＋|MF2|＝2a.② 由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝. 顯然|MF2|>|MF1|， ∴a－c<|MF2|0，∴e2＋2e－1>0，又0b>0)，四點(diǎn)P1(1

11、,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上． (1)求C的方程； (2)設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為－1，證明：l過(guò)定點(diǎn)． 解：(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)， 故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn)． 又由＋>＋知，橢圓C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1， 所以點(diǎn)P2在橢圓C上． 因此解得 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明：設(shè)直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率分別為k1，k2. 如果l與x軸垂直，設(shè)l：x＝t，由題設(shè)知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐標(biāo)分別為，. 則k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合題設(shè)． 從而可

12、設(shè)l：y＝kx＋m(m≠1)． 將y＝kx＋m代入＋y2＝1得 (4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由題設(shè)可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 而k1＋k2＝＋ ＝＋ ＝. 由題設(shè)k1＋k2＝－1， 故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. 即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0. 解得k＝－. 當(dāng)且僅當(dāng)m>－1時(shí)，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l過(guò)定點(diǎn)(2，－1)． 6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的中心在原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)F在x軸上，橢

13、圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)，其右準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸交于T點(diǎn)，直線(xiàn)BF交橢圓于C點(diǎn)，P為橢圓上弧AC上的一點(diǎn)． (1)求證：A，C，T三點(diǎn)共線(xiàn)； (2)如果＝3，四邊形APCB的面積最大值為，求此時(shí)橢圓的方程和P點(diǎn)坐標(biāo)． 解：(1)證明：設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，① 則A(0，b)，B(0，－b)，T， AT：＋＝1，② BF：＋＝1，③ 聯(lián)立②③，解得交點(diǎn)C，代入①得： ＋＝＝1. 滿(mǎn)足①式，則C點(diǎn)在橢圓上，A，C，T三點(diǎn)共線(xiàn)． (2)過(guò)C作CE⊥x軸，垂足為E(圖略)，則△OBF∽△ECF. ∵＝3，CE＝b，EF＝c，則C，代入①得： ＋＝1，∴a2＝2c2，b2＝c2. 設(shè)P(x0，y0)，則x0＋2y＝2c2， 此時(shí)C，AC＝c，S△ABC＝·2c·＝c2， 直線(xiàn)AC的方程為x＋2y－2c＝0， 點(diǎn)P到直線(xiàn)AC的距離為d＝＝， S△APC＝d·AC＝··c＝·c. 只需求x0＋2y0的最大值． ∵(x0＋2y0)2＝x＋4y＋2·2x0y0≤x＋4y＋2(x＋y)＝3(x＋2y)＝6c2， ∴x0＋2y0≤c， 當(dāng)且僅當(dāng)x0＝y(tǒng)0＝c時(shí)，(x0＋2y0)max＝c. ∴四邊形的面積最大值為c2＋c2＝c2＝， ∴c2＝1，a2＝2，b2＝1， 此時(shí)橢圓方程為＋y2＝1，P點(diǎn)坐標(biāo).