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1、福建省2022年中考數(shù)學總復(fù)習 第五單元 四邊形 課時訓(xùn)練30 菱形練習
1．[xx·益陽]下列性質(zhì)中菱形不一定具有的性質(zhì)是( )
A．對角線互相平分
B．對角線互相垂直
C．對角線相等
D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
2．[xx·淮安]如圖K30－1，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6和8，則這個菱形的周長是( )
圖K30－1
A．20 B．24 C．40 D．48
3．[xx·臨沂]如圖K30－2所示，在△ABC中，點D是邊BC上的點(與B，C兩點不重合)，過點D作
2、DE∥AC，DF∥AB，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，下列說法正確的是( )
圖K30－2
A．若AD⊥BC，則四邊形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，則四邊形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，則四邊形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形
4．[xx·貴陽]如圖K30－3，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF∥CB，交AB于點F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周長為( )
圖K30－3
A．24 B．18 C．12 D．9
5．如圖
3、K30－4，四邊形ABCD的四邊相等，且面積為120 cm2，對角線AC＝24 cm，則四邊形ABCD的周長為( )
圖K30－4
A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm
6．[xx·葫蘆島]如圖K30－5，在菱形OABC中，點B在x軸上，點A的坐標為(2，3)，則點C的坐標為 ?。?
圖K30－5
7．如圖K30－6所示，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足為E，則AE的長為 ．?
圖K30－6
8．[xx
4、·龍巖質(zhì)檢]如圖K30－7，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是菱形，連接AG，GE，AE，若∠F＝60°，EF＝4，則△AEG的面積為 ．?
圖K30－7
9．[xx·沈陽]如圖K30－8，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩直線相交于點E．
(1)求證：四邊形OCED是矩形；
(2)若CE＝1，DE＝2，則菱形ABCD的面積是 ?。?
圖K30－8
能力提升
10．如圖K30－9，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，則四邊形
5、OCED的面積為( )
圖K30－9
A．2 B．4 C．4 D．8
11．[xx·上海]對于一個位置確定的圖形，如果它的所有點都在一個水平放置的矩形內(nèi)部或邊上，且該圖形與矩形的每條邊都至少有一個公共點(如圖K30－10①)，那么這個矩形水平方向的邊長稱為該圖形的寬，鉛垂方向的邊長稱為該圖形的高．如圖②，菱形ABCD的邊長為1，邊AB水平放置．如果該菱形的高是寬的，那么它的寬的值是 ?。?
圖K30－10
12．[xx·深圳]已知菱形的一個角與三角形的一個角重合，然
6、后它的對角頂點在這個重合角的對邊上，這個菱形稱為這個三角形的親密菱形，如圖K30－11，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以點C為圓心，以任意長為半徑作弧AD，再分別以點A和點D為圓心，大于AD長為半徑作弧，交EF于點B，AB∥CD．
(1)求證：四邊形ACDB為△FEC的親密菱形；
(2)求四邊形ACDB的面積．
圖K30－11
拓展練習
13．[xx·鎮(zhèn)江]如圖K30－12，點E，F(xiàn)，G分別在菱形ABCD的邊AB，BC，AD上，AE＝AB，CF＝CB，AG＝AD．已知△EFG的面積等于6，則菱形ABCD的面積
7、等于 ?。?
圖K30－12
14．[xx·紹興]小敏思考解決如下問題：
原題：如圖K30－13①，點P，Q分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求證：AP＝AQ．
(1)小敏進行探索，若將點P，Q的位置特殊化：把∠PAQ繞點A旋轉(zhuǎn)得到∠EAF，使AE⊥BC，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，如圖②，此時她證明了AE＝AF．請你證明．
(2)受以上(1)的啟發(fā)，在原題中，添加輔助線：如圖③，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．請你繼續(xù)完成原題的證明．
(3)如果在原題中添加條件：AB＝4，∠B＝60°，如圖①．請你編制一個計算題(不標注新的字母)，
8、并直接給出答案．
圖K30－13
參考答案
1．C 2．A 3．D
4．A [解析] ∵E是AC的中點，EF∥CB，EF＝3，∴EF是△ABC的中位線，∴BC＝2EF＝6．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝6，∴菱形ABCD的周長＝6×4＝24．
5．A 6．(2，－3)
7． [解析] ∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4．
在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝5，∴BC＝5．
∵S△ABC＝AC·BD＝BC·A
9、E，∴AE＝．
8．4
9．解：(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．
∵CE∥OD，DE∥OC，∴四邊形OCED是平行四邊形．
∵∠COD＝90°，∴平行四邊形OCED是矩形．
(2)4
10．A
11． [解析] 如圖，將菱形ABCD放置在一個水平矩形AFCE中，設(shè)寬AF為a，則高CF為a，因為菱形ABCD的邊長為1，所以BF為a－1，在Rt△BCF中，由勾股定理得(a－1)2＋2＝12，解得a＝或a＝0(舍去)．
12．解：(1)證明：由已知尺規(guī)作圖痕跡得：AC＝CD，AB＝BD，CB是∠FCE的平分線，
∴∠ACB＝∠DCB，又
10、∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB．又∵AC＝CD，AB＝BD，∴AC＝CD＝AB＝BD，∴四邊形ACDB為菱形，又∵∠ACD與△FEC中的∠FCE重合，它的對角∠ABD的頂點B在重合角的對邊FE上，∴四邊形ACDB為△FEC的親密菱形．
(2)設(shè)菱形ACDB的邊長為x，∵CF＝6，CE＝12，∴FA＝CF－AC＝6－x，∵AB∥CD，∴△FAB∽△FCE，∴，即，解得x＝4，
過點A作AG⊥CE于點G，則在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，sin∠ACG＝，即sin45°＝，解得AG＝4×＝2，∴四邊形ACDB的面積＝AG·CD＝2×4＝8．
1
11、3．27 [解析] 在邊CD上取點H，使CH＝CD，連接FH，HG，AC，BD，AC與BD相交于點O，EG交AC于點P，EF交BD于點Q，連接PQ，則由對稱性可知，四邊形EFHG是平行四邊形，且EG∥BD∥FH，EF∥AC∥GH，點O在FG上，S四邊形OPEQ＝2S△OPG＝2S△OFQ．因為△EFG的面積為6，所以S△OPG＝S△OFQ＝，S四邊形OPEQ＝3．因為EP∥OB，所以△AEP∽△ABO，設(shè)S△AEP＝x，所以＝2＝2＝，即S△AOB＝9x．同理S△BQE＝S△AOB＝4x，所以S四邊形OPEQ＝9x－x－4x＝4x＝3，解得x＝，所以S△AOB＝9×，所以S菱形ABCD＝4S△
12、AOB＝4×＝27．
14．[解析] (1)可先求出∠AFC＝∠AFD＝90°，然后證明△AEB≌△AFD即可;
(2)先求出∠EAP＝∠FAQ，再證明△AEP≌△AFQ即可;
(3)可以分三個不同的層次，①直接求菱形本身其他內(nèi)角的度數(shù)或邊的長度，也可求菱形的周長．②可求PC＋CQ，BP＋QD，∠APC＋∠AQC的值．③可求四邊形APCQ的面積、△ABP與△AQD的面積和、四邊形APCQ周長的最小值等．
解：(1)證明：如圖①，
在菱形ABCD中，∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD，
∵∠EAF＝∠B，∴∠C＋∠EAF＝180°，∴∠AEC＋∠AFC＝180°．
∵
13、AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴∠AFC＝90°，∠AFD＝90°，
∴△AEB≌△AFD，
∴AE＝AF．
(2)證明：如圖②，∵∠PAQ＝∠EAF＝∠B，
∴∠EAP＝∠EAF－∠PAF＝∠PAQ－∠PAF＝∠FAQ．
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEP＝∠AFQ＝90°．
∵AE＝AF，
∴△AEP≌△AFQ，
∴AP＝AQ．
(3)答案不唯一，舉例如下：
層次1：①求∠D的度數(shù)．答案：∠D＝60°．
②分別求∠BAD，∠BCD的度數(shù)．
答案：∠BAD＝∠BCD＝120°．
③求菱形ABCD的周長．答案：16．
④分別求BC，CD，AD的長．答案：4，4，4．
層次2：①求PC＋CQ的值．答案：4．
②求BP＋QD的值．答案：4．
③求∠APC＋∠AQC的值．答案：180°．
層次3：①求四邊形APCQ的面積．答案：4．
②求△ABP與△AQD的面積和．答案：4．
③求四邊形APCQ周長的最小值．
答案：4＋4．
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