（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 4 閱讀與欣賞（九）教案 理

（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 4 閱讀與欣賞（九）教案 理 　　　　　　　　　　　概率、統(tǒng)計(jì)綜合問題的三種常用求解策略 　公式法 在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場投6個球，至少投進(jìn)4個球且最后2個球都投進(jìn)者獲獎；否則不獲獎．已知教師甲投進(jìn)每個球的概率都是. (1)記教師甲在每場的6次投球中投進(jìn)球的個數(shù)為X，求X的分布列； (2)求教師甲在一場比賽中獲獎的概率． 【解】　(1)X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6. 依條件可知，X～B(6，)， P(X＝k)＝C·()k·()6－k(k＝0，1，2，3，4，5，6)． 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 6 P (2)設(shè)教師甲在一場比賽中獲獎為事件A， 則P(A)＝C·()2·()4＋C··()5＋()6＝，即教師甲在一場比賽中獲獎的概率為. 對于此類問題求解，若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，則其概率、均值與方差可直接利用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求得．　 　間接法 隨機(jī)觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠20名工人的日加工零件數(shù)(單位：件)，獲得數(shù)據(jù)如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36.根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下： 分組 頻數(shù) 頻率 [25，30] 2 0.10 (30，35] 4 0.20 (35，40] 5 0.25 (40，45] m fm (45，50] n fn (1)確定樣本頻率分布表中m，n，fm和fn的值； (2)根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖； (3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取3人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30，35]內(nèi)的概率． 【解】　(1)由已知數(shù)據(jù)，得區(qū)間(40，45]內(nèi)的頻數(shù)m＝6，區(qū)間(45，50]內(nèi)的頻數(shù)n＝3，故fm＝＝0.3，fn＝＝0.15. (2)由頻率分布表，畫出頻率分布直方圖如下圖： (3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，每人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30，35]內(nèi)的頻率為0.2，設(shè)所取的3人中，日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30，35]內(nèi)的人數(shù)為ξ，則ξ～B(3，0.2)， 故P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)3＝0.488. 因此至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30，35]內(nèi)的概率為0.488. 當(dāng)復(fù)雜事件正面情況比較多，反面情況較少時，可利用其對立事件進(jìn)行求解，即“正難則反”．對于“至少”“至多”等問題往往用這種方法求解．　 　對稱法 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖： (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)； (2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2. ①利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)； ②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2)的產(chǎn)品件數(shù)．利用①的結(jié)果，求EX. 附：≈12.2. 若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 5. 【解】　(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200， s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)①由(1)知，Z～N(200，150)， 從而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 7. ②由①知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2)的概率為0.682 7， 依題意知X～B(100，0.682 7)， 所以EX＝100×0.682 7＝68.27. 解決與正態(tài)分布有關(guān)的問題，在理解μ，σ2的意義情況下，記清正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于μ對稱的鐘形曲線，很多問題都是利用圖象的對稱性解決的．