2022年高三數(shù)學經(jīng)典示范 單調(diào)性與最大（?。┲担?）教案 新人教A版

2022年高三數(shù)學經(jīng)典示范 單調(diào)性與最大（?。┲担?）教案 新人教A版教學分析在研究函數(shù)的性質(zhì)時，單調(diào)性和最值是一個重要內(nèi)容.實際上，在初中學習函數(shù)時，已經(jīng)重點研究了一些函數(shù)的增減性，只是當時的研究較為粗略，未明確給出有關(guān)函數(shù)增減性的定義，對于函數(shù)增減性的判斷也主要根據(jù)觀察圖象得出，而本小節(jié)內(nèi)容，正是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和提高：給出函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的定義，明確指出函數(shù)的增減性是相對于某個區(qū)間來說的，還說明判斷函數(shù)的增減性既有從圖象上進行觀察的較為粗略的方法，又有根據(jù)定義進行證明的較為嚴格的方法、最好根據(jù)圖象觀察得出猜想，用推理證明猜想的正確性,這樣就將以上兩種方法統(tǒng)一起來了.由于函數(shù)圖象是發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，因此，在本節(jié)教學時可以充分使用信息技術(shù)創(chuàng)設教學情境，以利于學生作函數(shù)圖象，有更多的時間用于思考、探究函數(shù)的單調(diào)性、最值等性質(zhì).還要特別重視讓學生經(jīng)歷這些概念的形成過程，以便加深對單調(diào)性和最值的理解.三維目標1.函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，以圖識數(shù)的過程，在這個過程中，讓學生通過自主探究活動，體驗數(shù)學概念的形成過程的真諦，學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).2.理解并掌握函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提高應用知識解決問題的能力.3.通過實例，使學生體會、理解到函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x，能夠借助函數(shù)圖象的直觀性得出函數(shù)的最值，培養(yǎng)以形識數(shù)的解題意識.4.能夠用函數(shù)的性質(zhì)解決日常生活中的簡單的實際問題，使學生感受到學習函數(shù)單調(diào)性的必要性與重要性，增強學生學習函數(shù)的緊迫感，激發(fā)學生學習的積極性.重點難點教學重點:函數(shù)的單調(diào)性和最值.教學難點:增函數(shù)、減函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)形式化定義的形成.課時安排2課時設計方案（一）教學過程第1課時 函數(shù)的單調(diào)性導入新課思路1.德國有一位著名的心理學家名叫艾賓浩斯(Hermann Ebbinghaus，18501909)，他以自己為實驗對象，共做了163次實驗，每次實驗連續(xù)要做兩次無誤的背誦.經(jīng)過一定時間后再重學一次，達到與第一次學會的同樣的標準.他經(jīng)過對自己的測試，得到了一些數(shù)據(jù).時間間隔t0分鐘20分鐘60分鐘89小時1天2天6天一個月記憶量y(百分比)100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%觀察這些數(shù)據(jù)，可以看出：記憶量y是時間間隔t的函數(shù).當自變量（時間間隔t）逐漸增大時，你能看出對應的函數(shù)值（記憶量y）有什么變化趨勢嗎？描出這個函數(shù)圖象的草圖(這就是著名的艾賓浩斯曲線).從左向右看,圖象是上升的還是下降的？你能用數(shù)學符號來刻畫嗎？通過這個實驗,你打算以后如何對待剛學過的知識?（可以借助信息技術(shù)畫圖象）圖1-3-1-1學生：先思考或討論，回答：記憶量y隨時間間隔t的增大而增大；以時間間隔t為x軸，以記憶量y為y軸建立平面直角坐標系，描點連線得函數(shù)的草圖艾賓浩斯遺忘曲線如圖1-3-1-1所示.遺忘曲線是一條衰減曲線，它表明了遺忘的規(guī)律.隨著時間的推移，記憶保持量在遞減，剛開始遺忘速度最快，我們應利用這一規(guī)律，在學習新知識時一定要及時復習鞏固，加深理解和記憶.教師提示、點撥，并引出本節(jié)課題.思路2.在第23屆奧運會上，中國首次參加就獲15枚金牌；在第24屆奧運會上，中國獲5枚金牌；在第25屆奧運會上，中國獲16枚金牌；在第26屆奧運會上，中國獲16枚金牌；在第27屆奧運會上，中國獲28枚金牌；在第28屆奧運會上，中國獲32枚金牌.按這個變化趨勢，xx年，在北京舉行的第29屆奧運會上，請你預測一下中國能獲得多少枚金牌？學生回答(只要大于32就可以算準確),教師：提示、點撥，并引出本節(jié)課題.推進新課新知探究提出問題如圖1-3-1-2所示為一次函數(shù)y=x，二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象,它們的圖象有什么變化規(guī)律?這反映了相應的函數(shù)值的哪些變化規(guī)律?圖1-3-1-2函數(shù)圖象上任意點P(x,y)的坐標有什么意義？如何理解圖象是上升的？對于二次函數(shù)y=x2，列出x,y的對應值表(1).完成表(1)并體會圖象在y軸右側(cè)上升.x-4-3-2-101234f(x)=x2表(1)在數(shù)學上規(guī)定：函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+)上是增函數(shù).誰能給出增函數(shù)的定義？增函數(shù)的定義中，把“當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)”改為“當x1>x2時，都有f(x1)>f(x2)”,這樣行嗎?增函數(shù)的定義中，“當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)”反映了函數(shù)值有什么變化趨勢?函數(shù)的圖象有什么特點?增函數(shù)的幾何意義是什么？類比增函數(shù)的定義，請給出減函數(shù)的定義及其幾何意義？函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上具有單調(diào)性，說明了函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的圖象有什么變化趨勢？討論結(jié)果:函數(shù)y=x的圖象,從左向右看是上升的；函數(shù)y=x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的；函數(shù)y=-x2的圖象在y軸左側(cè)是上升的，在y軸右側(cè)是下降的.函數(shù)圖象上任意點P的坐標(x,y)的意義：橫坐標x是自變量的取值,縱坐標y是自變量為x時對應的函數(shù)值的大小.按從左向右的方向看函數(shù)的圖象,意味著圖象上點的橫坐標逐漸增大即函數(shù)的自變量逐漸增大.圖象是上升的意味著圖象上點的縱坐標逐漸變大,也就是對應的函數(shù)值隨著逐漸增大.也就是說從左向右看圖象上升,反映了函數(shù)值隨著自變量的增大而增大.在區(qū)間(0,+)上，任取x1、x2，且x1<x2,那么就有y1<y2,也就是有f(x1)<f(x2).這樣可以體會用數(shù)學符號來刻畫圖象上升.一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).可以.增函數(shù)的定義：由于當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，即都是相同的不等號“<”，也就是說前面是“<”，后面也是“<”,步調(diào)一致；“當x1>x2時，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等號“>”，也就是說前面是“>”，后面也是“>”,步調(diào)一致.因此我們可以簡稱為：步調(diào)一致增函數(shù).函數(shù)值隨著自變量的增大而增大;從左向右看,圖象是上升的.從左向右看,圖象是上升的.一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).簡稱為：步調(diào)不一致減函數(shù).減函數(shù)的幾何意義：從左向右看,圖象是下降的.函數(shù)值變化趨勢：函數(shù)值隨著自變量的增大而減小.總結(jié)：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)(或減函數(shù))，那么就說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f（x）的單調(diào)遞增(或減)區(qū)間.函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上，函數(shù)值的變化趨勢是隨自變量的增大而增大（減?。?，幾何意義：從左向右看,圖象是上升（下降）的.應用示例思路1例1如圖1-3-1-3是定義在區(qū)間5，5上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？圖1-3-1-3活動：教師提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.學生先思考或討論后再回答，教師點撥、提示并及時評價學生.圖象上升則在此區(qū)間上是增函數(shù)，圖象下降則在此區(qū)間上是減函數(shù).解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是-5,2),-2,1),1,3),3,5.其中函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-5,2),1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間-2,1),3,5上是增函數(shù).點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義，以及圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性適合于選擇題和填空題.如果解答題中給出了函數(shù)的圖象，通常用圖象法判斷單調(diào)性.函數(shù)的圖象類似于人的照片，我們能根據(jù)人的照片來估計其身高，同樣我們根據(jù)函數(shù)的圖象可以分析出函數(shù)值的變化趨勢即單調(diào)性.圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是第一步：畫函數(shù)的圖象；第二步：觀察圖象，利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.變式訓練課本P32練習1、3.例2物理學中的玻意耳定律p=（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減少時，壓強p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明.活動：學生先思考或討論，再到黑板上書寫.當學生沒有證明思路時，教師再提示,及時糾正學生解答過程出現(xiàn)的問題，并標出關(guān)鍵的地方，以便學生總結(jié)定義法的步驟.體積V減少時，壓強p將增大是指函數(shù)p=是減函數(shù)；刻畫體積V減少時，壓強p將增大的方法是用不等式表達.已知函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性時，常用單調(diào)性的定義來解決.解：利用函數(shù)單調(diào)性的定義只要證明函數(shù)p=在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù)即可.點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，以及定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性.定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是第一步：在所給的區(qū)間上任取兩個自變量x1和x2,通常令x1<x2；第二步：比較f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比較法比較大小,此時比較它們大小的步驟是作差、變形、看符號；第三步：再歸納結(jié)論.定義法的步驟可以總結(jié)為：一“取(去)”、二“比”、三“再(賽)”,因此簡稱為：“去比賽”.變式訓練課本P32練習4.思路2例1（1）畫出已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象；（2）證明函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-,1上是增函數(shù)；（3）當函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,m上是增函數(shù)時，求實數(shù)m的取值范圍.圖1-3-1-4解：（1）函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象如圖1-3-1-4所示.(2)設x1、x2(-,1，且x1<x2，則有f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)=(x22-x12)+2(x1-x2)=(x1-x2)(2-x1-x2).x1、x2(-,1，且x1<x2，x1-x2<0,x1+x2<2.2-x1-x2>0.f(x1)-f(x2)<0.f(x1)<f(x2).函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-,1上是增函數(shù).（3）函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的對稱軸是直線x=1，在對稱軸的左側(cè)是增函數(shù)，那么當區(qū)間(-,m位于對稱軸的左側(cè)時滿足題意，則有m1，即實數(shù)m的取值范圍是(-,1.點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象、函數(shù)的單調(diào)性及其應用.討論有關(guān)二次函數(shù)的單調(diào)性問題時，常用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合二次函數(shù)圖象的特點來分析；二次函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性相反；二次函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù)，那么二次函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間D內(nèi).判斷函數(shù)單調(diào)性時，通常先畫出其圖象，由圖象觀察出單調(diào)區(qū)間，最后用單調(diào)性的定義證明.判斷函數(shù)單調(diào)性的三部曲：第一步，畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象，描述函數(shù)值的變化趨勢；第二步，結(jié)合圖象來發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第三步，用數(shù)學符號即函數(shù)單調(diào)性的定義來證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì),是高考的必考內(nèi)容之一.因此應理解單調(diào)函數(shù)及其幾何意義,會根據(jù)定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能綜合運用單調(diào)性解決一些問題，會判斷復合函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式等知識聯(lián)系極為密切，是高考命題的熱點題型.變式訓練已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，設F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù)；(2)證明函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(,0)成中心對稱圖形.活動：（1）本題中的函數(shù)解析式不明確即為抽象函數(shù)，用定義法判斷單調(diào)性的步驟是要按格式書寫；（2）證明函數(shù)y=F(x)的圖象上的任意點關(guān)于點(,0)的對稱點還是在函數(shù)y=F(x)的圖象上即可.解：（1）設x1、x2R，且x1<x2.則F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(a-x1)-f(x2)-f(a-x2)=f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1).又函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，x1<x2，a-x2<a-x2.f(x1)<f(x2),f(a-x2)<f(a-x1).f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1)<0.F(x1)<F(x2).F(x)是R上的增函數(shù).（2）設點M(x0,F(x0)是函數(shù)F(x)圖象上任意一點，則點M(x0,F(x0)關(guān)于點(,0)的對稱點M(a-x0,-F(x0).又F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0)f(a-x0)-f(x0)-f(x0)-f(a-x0)=-F(x0),點M(a-x0,-F(x0)也在函數(shù)F(x)圖象上，又點M(x0,F(x0)是函數(shù)F(x)圖象上任意一點，函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(,0)成中心對稱圖形.例2(1)寫出函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱軸,觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點?(2)寫出函數(shù)y=|x|的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱軸,觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點?圖1-3-1-5(3)定義在-4,8上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,y=f(x)的部分圖象如圖1-3-1-5所示,請補全函數(shù)y=f(x)的圖象,并寫出其單調(diào)區(qū)間,觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點?(4)由以上你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?試加以證明.活動：學生先思考，再回答，教師適時點撥和提示:（1）畫出二次函數(shù)y=x2-2x的圖象，借助于圖象解決；（2）類似于（1）；（3）根據(jù)軸對稱的含義補全函數(shù)的圖象，也是借助于圖象寫出單調(diào)區(qū)間；（4）歸納函數(shù)對稱軸兩側(cè)對稱區(qū)間上的單調(diào)性的異同來發(fā)現(xiàn)結(jié)論，利用軸對稱的定義證明.解：(1)函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+);對稱軸是直線x=1;區(qū)間(-,1)和區(qū)間(1,+)關(guān)于直線x=1對稱,而單調(diào)性相反.(2)函數(shù)y=|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0),單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+);對稱軸是y軸即直線x=0;區(qū)間(-,0)和區(qū)間(0,+)關(guān)于直線x=0對稱,而單調(diào)性相反.(3)函數(shù)y=f(x),x-4,8的圖象如圖1-3-1-6.圖1-3-1-6函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-4,-1,2,5;單調(diào)遞減區(qū)間是5,8,-1,2;區(qū)間-4,-1和區(qū)間5,8關(guān)于直線x=2對稱,而單調(diào)性相反,區(qū)間-1,2和區(qū)間2,5關(guān)于直線x=2對稱,而單調(diào)性相反.(4)可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,那么函數(shù)y=f(x)在直線x=m兩側(cè)對稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.證明如下:不妨設函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側(cè)一個區(qū)間a,b上是增函數(shù),區(qū)間a,b關(guān)于直線x=m的對稱區(qū)間是2m-b,2m-a.由于函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,則f(x)=f(2m-x).設2m-bx1<x22m-a,則b2m-x1>2m-x2a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又函數(shù)y=f(x)在a,b上是增函數(shù),f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.f(x1)-f(x2)>0.f(x1)>f(x2).函數(shù)y=f(x)在區(qū)間2m-b,2m-a上是減函數(shù).當函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側(cè)一個區(qū)間a,b上是增函數(shù)時,其在a,b關(guān)于直線x=m的對稱區(qū)間2m-b,2m-a上是減函數(shù),即單調(diào)性相反.因此有結(jié)論:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,那么函數(shù)y=f(x)在對稱軸兩側(cè)的對稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.點評：本題通過歸納猜想證明得到了正確的結(jié)論,這是我們認識世界發(fā)現(xiàn)問題的主要方法,這種方法的難點是猜想,突破路徑是尋找共同的特征.本題作為結(jié)論記住，可以提高解題速度.圖象類似于人的照片，看見人的照片就能估計這個人的身高、五官等特點，同樣根據(jù)函數(shù)的圖象也能觀察出函數(shù)的性質(zhì)特征.這需要有細致的觀察能力.變式訓練函數(shù)y=f(x)滿足以下條件:定義域是R;圖象關(guān)于直線x=1對稱;在區(qū)間2,+)上是增函數(shù).試寫出函數(shù)y=f(x)的一個解析式f(x)=(只需寫出一個即可,不必考慮所有情況).活動：根據(jù)這三個條件，畫出函數(shù)y=f(x)的圖象簡圖（只要能體現(xiàn)這三個條件即可），再根據(jù)圖象簡圖，聯(lián)系猜想基本初等函數(shù)及其圖象和已有的解題經(jīng)驗寫出.解：定義域是R的函數(shù)解析式通常不含分式或根式，常是整式；圖象關(guān)于直線x=1對稱的函數(shù)解析式滿足：f(x)=f(2-x)，基本初等函數(shù)中有對稱軸的僅有二次函數(shù)，則由想到了二次函數(shù)；結(jié)合二次函數(shù)的圖象，在區(qū)間2,+)上是增函數(shù)說明開口必定向上，且正好滿足二次函數(shù)的對稱軸直線x=1不在區(qū)間2,+)內(nèi)，故函數(shù)的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0).結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知這三條都可滿足開口向上的拋物線，故有：形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或為y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.知能訓練課本P32練習2.【補充練習】1.利用圖象法寫出基本初等函數(shù)的單調(diào)性.解：正比例函數(shù)：y=kx(k0)當k>0時，函數(shù)y=kx在定義域R上是增函數(shù)；當k<0時，函數(shù)y=kx在定義域R上是減函數(shù).反比例函數(shù)：y=(k0)當k>0時，函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0)，(0,+)，不存在單調(diào)遞增區(qū)間；當k<0時，函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,0)，(0,+),不存在單調(diào)遞減區(qū)間.一次函數(shù)：y=kx+b(k0)當k>0時，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是增函數(shù)；當k<0時，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是減函數(shù).二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(a0)當a>0時，函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,，單調(diào)遞增區(qū)間是,+)；當a<0時，函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是,+)，單調(diào)遞增區(qū)間是(-,.點評：以上基本初等函數(shù)的單調(diào)性作為結(jié)論記住，可以提高解題速度.2.已知函數(shù)y=kx+2在R上是增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.答案：k(0,+).3.二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+m在(-,2)上是減函數(shù)，在(2,+)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的值.答案：a=2.4.xx年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試卷，8已知f(x)是定義在(0,+)上的減函數(shù)，若f(2a2+a+1)<f(3a2-4a+1)成立，則a的取值范圍是_.分析:f(x)的定義域是(0,+)，解得a<或a>1.f(x)在(0,+)上是減函數(shù)，2a2+a+1>3a2-4a+1.a2-5a<0.0<a<5.0<a<或1<a<5,即a的取值范圍是(0,)(1,5).答案：(0,)(1,5)點評：本題實質(zhì)是解不等式，但是這是一個不具體的不等式，是抽象不等式.解與函數(shù)有關(guān)的抽象不等式時，常用的技巧是利用函數(shù)的單調(diào)性“剝掉外衣”，轉(zhuǎn)化為整式不等式.拓展提升問題：1.畫出函數(shù)y=的圖象，結(jié)合圖象探討下列說法是否正確？（1）函數(shù)y=是減函數(shù)；（2）函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0)(0,+).2.對函數(shù)y=,取x1=-1<x2=2，則f(x1)=-1<f(x2)=，滿足當x1x2時f(x1)<f(x2)，說函數(shù)y=在定義域上是增函數(shù)對嗎？為什么？3.通過上面兩道題,你對函數(shù)的單調(diào)性定義有什么新的理解？解答：1.（1）是錯誤的，從左向右看,函數(shù)y=的圖象不是下降的.（2）是錯誤的，函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0),(0,+).這表示在區(qū)間(-,0)(0,+)即定義域上是減函數(shù)，在定義域上函數(shù)y=的圖象，從左向右看不是下降的，因此這是錯誤的.2.不對.這個過程看似是定義法，實質(zhì)上不是.定義中x1、x2是在某區(qū)間內(nèi)任意取的兩個值，不能用特殊值來代替.3.函數(shù)單調(diào)性定義中的x1、x2必須是任意的，應用單調(diào)性定義解決問題時，要注意保持其任意性.點評：函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在其定義域的子集上的性質(zhì)，是函數(shù)的“局部性質(zhì)”；函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)和(b,c)上均是增（減）函數(shù)，那么在區(qū)間(a,b)(b,c)上的單調(diào)性不能確定.課堂小結(jié)本節(jié)學習了:函數(shù)的單調(diào)性;判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:定義法和圖象法.活動：學生先思考或討論，再回答.教師提示、點撥，及時評價.引導方法：從基本知識和基本技能兩方面來總結(jié).作業(yè)課本P39習題1.3A組2、3、4.設計感想“函數(shù)單調(diào)性”是一個重要的數(shù)學概念，以往的教學方法一般是由教師講解為主，在單調(diào)性的定義教學中，往往缺少從定性的描述到定量表示的思維過程，即缺少“意義建構(gòu)”.本設計致力于展示概念是如何生成的.在概念的發(fā)生、發(fā)展中，通過層層設問，調(diào)動學生的思維，突出培養(yǎng)了學生的思維能力，體現(xiàn)了教師是用教材教，而不是教教材.本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課,采用教師啟發(fā)引導,學生探究學習的教學方法,通過創(chuàng)設情境,引導探究,師生交流,最終形成概念,獲得方法.本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的理解和認識.考慮到部分學生數(shù)學基礎較好、思維較為活躍的特點,對判斷方法進行適當?shù)难诱?加深對定義的理解,同時也為用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆.設計方案（二）教學過程第1課時 函數(shù)的單調(diào)性導入新課思路1.為了預測北京奧運會開幕式當天的天氣情況，數(shù)學興趣小組研究了xx年到xx年每年這一天的天氣情況，如圖1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.圖1-3-1-7問題：觀察圖1-3-1-7，能得到什么信息？(1)當天的最高溫度、最低溫度以及達到的時刻；(2)在某時刻的溫度；(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考回答.教師：在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的.歸納：用函數(shù)觀點看，其實這些例子反映的就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大或變小.思路2.如圖1-3-1-8所示,觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應函數(shù)的哪些變化規(guī)律：圖1-3-1-8隨x的增大，y的值有什么變化？引導學生回答，點撥提示，引出課題.設計意圖:創(chuàng)設情景，引起學生興趣.推進新課新知探究提出問題問題:分別作出函數(shù)y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=的圖象，并且觀察自變量變化時，函數(shù)值的變化規(guī)律.如圖1-3-1-9所示:圖1-3-1-9問題:能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)?設計意圖:從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認識：直觀感知.問題:如圖1-3-1-10是函數(shù)y=x+(x>0)的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎？圖1-3-1-10設計意圖:使學生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性.問題:如何從解析式的角度說明f(x)=x2在0,+)上為增函數(shù)？設計意圖:把對單調(diào)性的認識由感性上升到理性的高度,完成對概念的第二次認識.事實上也給出了證明單調(diào)性的方法，為第三階段的學習作好鋪墊.問題:你能用準確的數(shù)學符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?設計意圖:讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.活動：先讓學生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.引導方法與過程：問題：引導學生進行分類描述圖象是上升的、下降的(增函數(shù)、減函數(shù))，同時明確函數(shù)的圖象變化（單調(diào)性）是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì).問題：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀、描述性的認識.學生的困難是難以確定分界點的確切位置.問題：通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究.問題：對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量x1、x2.問題：師生共同探究：利用不等式表示變大或變小,得出增函數(shù)嚴格的定義，然后學生類比得出減函數(shù)的定義.歸納總結(jié)：1.函數(shù)單調(diào)性的幾何意義：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，那么在區(qū)間D上的圖象是上升的（下降的）.2.函數(shù)單調(diào)性的定義：略.可以簡稱為步調(diào)一致增函數(shù)，步調(diào)相反減函數(shù).討論結(jié)果：(1)函數(shù)y=x+2，在整個定義域內(nèi)y隨x的增大而增大；函數(shù)y=-x+2，在整個定義域內(nèi)y隨x的增大而減小.(2)函數(shù)y=x2，在0,+)上y隨x的增大而增大，在(-,0)上y隨x的增大而減小.(3)函數(shù)y=，在(0,+)上y隨x的增大而減小，在(-,0)上y隨x的增大而減小.如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為減函數(shù).不能.(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如2和3，因為22<32，所以f(x)=x2在0,+)上為增函數(shù).(2)仿(1)，取多組數(shù)值驗證均滿足，所以f(x)=x2在0,+)上為增函數(shù).(3)任取x1、x20,+),且x1<x2,因為x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)<0,即x12<x22.所以f(x)=x2在0,+)上為增函數(shù).略應用示例思路1例1課本P29頁例1.思路分析：利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.學生先思考或討論，再回答.點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:畫函數(shù)的圖象；觀察圖象，利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.圖象法的難點是畫函數(shù)的圖象，常見畫法有描點法和變換法.答案：略.變式訓練課本P32練習4.例2課本P32頁例2.思路分析：按題意，只要證明函數(shù)p=在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù)即可，用定義證明.點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性.利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：（定義法）任取x1、x2D，且x1<x2；作差f(x1)f(x2)；變形（通常是因式分解和配方）；定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）；下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）.易錯分析：錯取兩個特殊值x1、x2來證明.答案：略.變式訓練判斷下列說法是否正確：已知f(x)=,因為f(-1)<f(2),所以函數(shù)f(x)是增函數(shù).若函數(shù)f(x)滿足f(2)<f(3),則函數(shù)f(x)在區(qū)間2,3上為增函數(shù).若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).因為函數(shù)f(x)=在區(qū)間(-,0)和(0,+)上都是減函數(shù)，所以f(x)=在(-,0)(0,+)上是減函數(shù).活動：教師強調(diào)以下三點后,讓學生判斷.1.單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調(diào)性.2.有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù)).3.函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A、B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在AB上是增（或減）函數(shù).答案：這四個判斷都是錯誤的.思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?證明一個命題成立時，需要有嚴格的邏輯推理過程，而否定一個命題只需舉一個反例即可.也就是說，只要找到兩個特殊的自變量，不符合定義就行.思路2例1證明函數(shù)f(x)=x+在(2,+)上是增函數(shù).思路分析：利用單調(diào)性的定義證明.可以利用信息技術(shù)，先畫出函數(shù)的圖象，體會一下再證明.點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性.引導學生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.答案：略.變式訓練證明函數(shù)f(x)=x在0,+)上是增函數(shù).思路分析：此函數(shù)是一個具體的函數(shù)，用定義法證明.思考：除了用定義外，如果證得對任意的x1、x2(a,b)，且x1x2有分 f(x2)-f(x1)x2-x1式>0，能斷定函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)嗎?活動：引導學生分析這種敘述與定義的等價性.讓學生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)f(x)=x在0,+)上是增函數(shù).討論結(jié)果：能.例2用計算機畫出函數(shù)y=的圖象，根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間，并用定義法證明.思路分析：在圖象上觀察在哪個區(qū)間函數(shù)圖象是上升的，在哪個區(qū)間函數(shù)圖象是下降的，借助于單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間，再用定義證明.教師畫出圖象，學生回答，如果遇到障礙，就提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.點評：討論函數(shù)單調(diào)性的三部曲：第一步，畫函數(shù)的圖象；第二步，借助單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間；第三步，利用定義加以證明.答案：略.變式訓練畫出函數(shù)y=的圖象，根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間.活動：教師引導學生利用變換法（也可以用計算機）畫出圖象，根據(jù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間，再利用定義法證明.答案：略.知能訓練課本P32練習2.拓展提升試分析函數(shù)y=x+的單調(diào)性.活動：先用計算機畫出圖象，找出單調(diào)區(qū)間，再用定義法證明.答案：略.課堂小結(jié)學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié).(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.(3)數(shù)學思想方法：數(shù)形結(jié)合.(4)函數(shù)單調(diào)性的幾何意義是:函數(shù)值的變化趨勢,即圖象是上升的或下降的.設計感想本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，采用教師啟發(fā)引導，學生探究學習的教學方法，通過創(chuàng)設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法.本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識.考慮到部分學生數(shù)學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當?shù)难诱?，加深對定義的理解，同時也為用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆.作業(yè):課本P39習題1.3A組2、3、4.