2017-2018學年高中數(shù)學 第3章 概率 1 隨機事件的概率教學案 北師大版必修3

1 隨機事件的概率 核心必知1概率在相同的條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動，即隨機事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性這時，我們把這個常數(shù)叫作隨機事件A的概率，記為P(A)2頻率與概率的關(guān)系頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，因此，人們用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小在實際問題中，某些隨機事件的概率往往難以確切得到，常常通過做大量的重復試驗，用隨機事件發(fā)生的頻率作為它的概率的估計值3隨機事件在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但是隨機性中含有規(guī)律性認識了這種隨機性中的規(guī)律性，就能使我們比較準確地預測隨機事件發(fā)生的可能性概率只是度量事件發(fā)生的可能性的大小，不能確定是否發(fā)生4任何事件的概率是區(qū)間0,1上的一個確定數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性大小小概率(接近于0)事件不是不發(fā)生，而是很少發(fā)生，大概率(接近于1)事件不是一定發(fā)生，而是經(jīng)常發(fā)生問題思考1把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)擲1 000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，那么說此次試驗正面朝上的頻率為0.498，擲一次硬幣正面朝上的概率為0.5，這樣理解正確嗎？提示：正確由題意，正面朝上的頻率為0.498，通過做大量的試驗可以發(fā)現(xiàn)，正面朝上的頻率都在0.5附近擺動，故擲一次硬幣，正面朝上的概率是0.5.即0.498是1 000次試驗中正面朝上的頻率；而概率是一個確定的常數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗無關(guān)2如果某種病治愈的概率是0.3，那么10個人中，前7個人沒有治愈，后3個人一定能夠治愈嗎？如何理解治愈的概率是0.3?提示：如果把治療一個病人作為一次試驗，對于一次試驗來說，其結(jié)果是隨機的，因此前7個人沒有治愈是可能的，對后3個人來說，其結(jié)果仍然是隨機的，有可能治愈，也可能沒有治愈“治愈的概率是0.3”指隨著試驗次數(shù)的增加，即治療人數(shù)的增加，大約有30%的人能夠治愈，如果患病的有1 000人，那么我們根據(jù)治愈的頻率應(yīng)在治愈的概率附近擺動這一前提，就可以認為這1 000個人中大約有300人能治愈 講一講1.下面的表中列出10次拋擲硬幣的試驗結(jié)果n為拋擲硬幣的次數(shù)，m為硬幣正面向上的次數(shù)計算每次試驗中“正面向上”這一事件的頻率，并考查它的概率實驗序號拋擲的次數(shù)n正面向上的次數(shù)m“正面向上”出現(xiàn)的頻率15002512500249350025645002535500251650024675002448500258950026210500247嘗試解答利用頻率的定義，可分別得出這10次試驗中“正面向上”這一事件出現(xiàn)的頻率依次為：0502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488，0.516，0.524,0.494，這些數(shù)字在0.5附近左右擺動，由概率的統(tǒng)計定義可得，“正面向上”的概率為0.5.頻數(shù)、頻率和概率三者之間的關(guān)系：(1)頻數(shù)是指在n次重復試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，頻率是頻數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，而概率是隨機事件發(fā)生的可能性的規(guī)律體現(xiàn)；(2)隨機事件的頻率在每次試驗中都可能會有不同的結(jié)果，但它具有一定的穩(wěn)定性；概率是頻率的穩(wěn)定值，不會隨試驗次數(shù)的變化而變化練一練1某籃球運動員在最近幾場大賽中罰球投籃的結(jié)果如下：投籃次數(shù)n8101291016進球次數(shù)m6897712進球頻率(1)計算表中進球的頻率；(2)這位運動員投籃一次進球的概率是多少？解：(1)進球的頻率依次是：0.75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75.(2)這位運動員投籃一次進球的概率P0.76. 講一講 2.擲一顆均勻的正方體骰子得到6點的概率是，是否意味著把它擲6次能得到1次6點？嘗試解答把一顆均勻的骰子擲6次相當于做6次試驗，因為每次試驗的結(jié)果都是隨機的，所以做6次試驗的結(jié)果也是隨機的這就是說，每擲一次總是隨機地出現(xiàn)一個點數(shù)，可以是1點，2點，也可以是其他點數(shù)，不一定出現(xiàn)6點所以擲一顆骰子得到6點的概率是，并不意味著把它擲6次能得到1次6點隨機事件在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機中含有規(guī)律性，而概率恰是其規(guī)律在數(shù)量上的反映，概率是客觀存在的，它與試驗次數(shù)沒有關(guān)系 練一練2擲一枚硬幣，連續(xù)出現(xiàn)5次正面向上，有人認為下次出現(xiàn)反面向上的概率大于，這種理解正確嗎？解：不正確擲一次硬幣，作為一次試驗，其結(jié)果是隨機的，但通過做大量的試驗，呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，即“正面朝上”、“反面朝上”的可能性都為.連續(xù)5次正面向上這種結(jié)果是可能的，對下一次試驗來說，仍然是隨機的，其出現(xiàn)正面和反面的可能性還是，不會大于. 講一講3.為了估計某自然保護區(qū)中天鵝的數(shù)量，可以使用以下方法：先從該保護區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，如200只，給每只天鵝作上記號且不影響其存活，然后放回保護區(qū)經(jīng)過適當?shù)臅r間，讓它們和保護區(qū)中其余的天鵝充分混合，再從保護區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，如150只查看其中有記號的天鵝，設(shè)有20只試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計該自然保護區(qū)中天鵝的數(shù)量嘗試解答設(shè)保護區(qū)中天鵝的數(shù)量為n，假定每只天鵝被捕到的可能性是相等的，從保護區(qū)中任捕一只，設(shè)事件A捕到帶有記號的天鵝，則P(A).第二次從保護區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號，由概率的定義可知P(A).所以，解得n1 500，所以該自然保護區(qū)中天鵝的數(shù)量約為1 500.利用頻率近似等于概率的關(guān)系求未知量：(1)抽出m個樣本進行標記，設(shè)總體容量為n，則標記概率為；(2)隨機抽取n1個個體，發(fā)現(xiàn)其中m1個被標記，則標記頻率為；(3)用頻率近似等于概率建立關(guān)系式；(4)求出n，注意這個n值僅是真實值的近似練一練3為了估計水庫中的魚的條數(shù)，可以使用以下的方法：先從水庫中捕出一定數(shù)量的魚，如2 000條，給每條魚作上記號且不影響其存活，然后放回水庫經(jīng)過適當?shù)臅r間，讓它們和水庫中其余的魚充分混合，再從水庫中捕出一定數(shù)量的魚，如500條，查看其中有記號的魚，設(shè)有40條試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計水庫中魚的條數(shù)解：設(shè)水庫中魚的條數(shù)為n，從水庫中任捕一條，捕到標記魚的概率為.第二次從水庫中捕出500條，帶有記號的魚有40條，則捕到帶記號的魚的頻率(代替概率)為，由，得n25 000，所以水庫中約有魚25 000條【解題高手】【易錯題】一家保險公司連續(xù)多年對某城市出租車事故做了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)出租車發(fā)生事故的頻率總是在0.001左右如果這個調(diào)查繼續(xù)做下去，10年后發(fā)生事故的頻率就會等于0.001(假定出租車發(fā)生事故都不會隨著時間的改變而改變)你覺得這種看法對嗎？說出你的理由錯解這種看法是正確的，10年后發(fā)生事故的頻率等于0.001.錯因頻率會在某個常數(shù)附近擺動，隨著試驗次數(shù)的增加，擺動會越來越小，但不一定等于該常數(shù)正解這種看法是錯誤的隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會穩(wěn)定于一個常數(shù)附近，這個常數(shù)就是概率，但穩(wěn)定于不一定是等于，況且0.001未必是出租車發(fā)生事故的概率1下列事件：長度為3,4,5的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形；經(jīng)過有信號燈的路口，遇上紅燈；從10個玻璃杯(其中8個正品，2個次品)中，任取3個，3個都是次品；下周六是晴天其中，是隨機事件的是()AB C D解析：選D 為必然事件；對于，次品總數(shù)為2，故取到的3個不可能都是次品，所以是不可能事件；為隨機事件2在某市的天氣預報中有“降水概率預報”，例如預報“明天降水概率為90%”，這是指()A明天該地區(qū)約有90%的地方會降水，其余地方不降水B明天該地區(qū)約有90%的時間會降水，其余時間不降水C在氣象臺的專家中，有90%認為明天會降水，其余專家認為不降水D明天該地區(qū)降水的可能性為90%解析：選D 明天降水的概率為90%指的是明天該地區(qū)降水的可能性為90%.3在5張不同的彩票中有2張獎票，5個人依次從中各抽取1張，則每個人抽到獎票的概率()A遞減 B遞增 C相等 D不確定解析：選C 因為每個人獲得獎票的概率均為，即抽到獎票的概率與抽取順序無關(guān)4下列事件：明天進行的某場足球賽的比分是31；下周一某地的最高氣溫與最低氣溫相差10 ；同時擲兩枚大小相同的骰子，向上一面的兩個點數(shù)之和不小于2；射擊一次，命中靶心；當x為實數(shù)時，x24x40.其中必然事件有_，不可能事件有_，隨機事件有_(填序號)答案：5某工廠為了節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標為1 000度，按照上個月的用電記錄，在30天中有12天的用電量超過指標，若第二個月仍沒有具體的節(jié)電措施，則該月的第一天用電量超過指標的概率是_解析：由頻率定義可知用電量超過指標的頻率為0.4，頻率約為概率答案：0.46某質(zhì)檢員從一批種子中抽取若干組種子，在同一條件下進行發(fā)芽試驗，有關(guān)數(shù)據(jù)如下(單位：粒)：種子粒數(shù)25701307002 0003 000發(fā)芽粒數(shù)24601166391 8062 713發(fā)芽率(1)計算各組種子的發(fā)芽率，填入上表；(精確到0.01)(2)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性估計種子的發(fā)芽率解：(1)種子發(fā)芽率從左到右依次為0.96,0.86,0.89，0.91,0.90,0.90.(2)由(1)知，發(fā)芽率逐漸穩(wěn)定在0.90，因此可以估計種子的發(fā)芽率為0.90.一、選擇題1“某彩票的中獎概率為”意味著()A買100張彩票就一定能中獎B買100張彩票能中一次獎C買100張彩票一次獎也不中D購買彩票中獎的可能性為答案：D2拋擲一枚骰子兩次，用隨機模擬方法估計上面的點數(shù)和為7的概率，共進行了兩次試驗，第一次產(chǎn)生了60組隨機數(shù)，第二次產(chǎn)生了200組隨機數(shù)，那么這兩次估計的結(jié)果相比較()A第一次準確 B第二次準確 C兩次的準確率相同 D無法比較解析：選B 用隨機模擬方法估計概率時，產(chǎn)生的隨機數(shù)越多，估計的結(jié)果越準確3下列結(jié)論正確的是()A事件A發(fā)生的概率P(A)滿足0P(A)1B事件A發(fā)生的概率P(A)0.999，則事件A是必然事件C用某種藥物對患有胃潰瘍的500 名病人進行治療，結(jié)果有380人有明顯的療效，現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥，則估計有明顯療效的可能性為76%D某獎券的中獎率為50%，則某人購買此獎券10張，一定有5張中獎解析：選C A不正確，因為0P(A)1；B不正確，若事件A是必然事件，則P(A)1；D不正確，某獎券的中獎率為50%,10張獎券可能會有5張中獎，但不一定會發(fā)生4給出下列三個命題，其中正確命題的個數(shù)為()設(shè)有一批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品；做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面朝上，則硬幣出現(xiàn)正面朝上的概率是；隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率A0B1C2D3解析：選A 均不正確5在給病人動手術(shù)之前，外科醫(yī)生會告知病人或家屬一些情況，其中有一項是說這種手術(shù)的成功率大約是99%，下列解釋正確的是()A100個手術(shù)有99個手術(shù)成功，有1個手術(shù)失敗B這個手術(shù)一定成功C99%的醫(yī)生能做這個手術(shù)，另外1%的醫(yī)生不能做這個手術(shù)D這個手術(shù)成功的可能性是99%解析：選D 成功率大約是99%，說明手術(shù)成功的可能性是99%.二、填空題6一個口袋裝有除顏色外其他均相同的白球、紅球共100個，若摸出一個球為白球的概率為，則估計這100個球內(nèi)，有白球_個解析：100×75.答案：757在200件產(chǎn)品中，有192件一級品，8件二級品，則下列事件：在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級品；在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級品；在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是二級品；在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，其中不是一級品的件數(shù)小于10；其中_是必然事件；_是不可能事件；_是隨機事件解析：200件產(chǎn)品中，8件是二級品，現(xiàn)從中任意選出9件，當然不可能全是二級品，不是一級品的件數(shù)最多為8，小于10.答案：8下列說法：一年按365天計算，兩名學生的生日相同的概率是；甲乙兩人做游戲：拋一枚骰子，向上的點數(shù)是奇數(shù)，甲勝，向上的點數(shù)是偶數(shù)，乙勝，這種游戲是公平的；乒乓球比賽前，決定誰先發(fā)球，抽簽方法是從110共10個數(shù)字中各抽取1個，再比較大小，這種抽簽方法是公平的；昨天沒有下雨，則說明昨天氣象局的天氣預報“降水概率為90%”是錯誤的其中正確的有_(填序號)解析：對于，甲勝、乙勝的概率都是，是公平的；對于，降水概率為90%只說明下雨的可能性很大，但也可能不下雨，故錯誤答案：三、解答題9高一(2)班有50名同學，其中男、女各25人，今有這個班的一個學生在街上碰到一位同班同學，試問：碰到異性同學的概率大還是碰到同性同學的概率大？有人說可能性一樣大，這種說法對嗎？解：這種說法不正確這個同學在街上碰到的同班同學是除了自己以外的49個人中的一個，其中碰到同性同學有24種可能，碰到異性同學有25種可能，每碰到一個同學相當于做了一次試驗，因為每次試驗的結(jié)果是隨機的，所以碰到異性同學的可能性大，碰到同性同學的可能性小10某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管1 000支，該公司對這些燈管的使用壽命(單位：小時)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：分組500，900)900，1 100)1 100，1 300)1 300，1 500)1 500，1 700)1 700，1 900)1 900，)頻數(shù)4812120822319316542頻率(1)將各組的頻率填入表中；(2)根據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，估計燈管使用壽命不足1 500小時的概率解：(1)頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042.(2)樣本中壽命不足1 500小時的頻數(shù)是48121208223600，所以樣本中壽命不足1 500小時的頻率是0.6，即燈管使用壽命不足1 500小時的概率約為0.6.- 8 -