2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 概率 1 隨機(jī)事件的概率教學(xué)案 北師大版必修3

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1、1 隨機(jī)事件的概率 核心必知1概率在相同的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性這時(shí)，我們把這個(gè)常數(shù)叫作隨機(jī)事件A的概率，記為P(A)2頻率與概率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，因此，人們用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小在實(shí)際問(wèn)題中，某些隨機(jī)事件的概率往往難以確切得到，常常通過(guò)做大量的重復(fù)試驗(yàn)，用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率作為它的概率的估計(jì)值3隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但是隨機(jī)性中含有規(guī)律性認(rèn)識(shí)了這種隨機(jī)性中的規(guī)律性，就能使我們比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性概率只

2、是度量事件發(fā)生的可能性的大小，不能確定是否發(fā)生4任何事件的概率是區(qū)間0,1上的一個(gè)確定數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性大小小概率(接近于0)事件不是不發(fā)生，而是很少發(fā)生，大概率(接近于1)事件不是一定發(fā)生，而是經(jīng)常發(fā)生問(wèn)題思考1把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)擲1 000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，那么說(shuō)此次試驗(yàn)正面朝上的頻率為0.498，擲一次硬幣正面朝上的概率為0.5，這樣理解正確嗎？提示：正確由題意，正面朝上的頻率為0.498，通過(guò)做大量的試驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，正面朝上的頻率都在0.5附近擺動(dòng)，故擲一次硬幣，正面朝上的概率是0.5.即0.498是1 000次試驗(yàn)中正面朝上的頻率；而概率是一

3、個(gè)確定的常數(shù)，是客觀(guān)存在的，與每次試驗(yàn)無(wú)關(guān)2如果某種病治愈的概率是0.3，那么10個(gè)人中，前7個(gè)人沒(méi)有治愈，后3個(gè)人一定能夠治愈嗎？如何理解治愈的概率是0.3?提示：如果把治療一個(gè)病人作為一次試驗(yàn)，對(duì)于一次試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，其結(jié)果是隨機(jī)的，因此前7個(gè)人沒(méi)有治愈是可能的，對(duì)后3個(gè)人來(lái)說(shuō)，其結(jié)果仍然是隨機(jī)的，有可能治愈，也可能沒(méi)有治愈“治愈的概率是0.3”指隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，即治療人數(shù)的增加，大約有30%的人能夠治愈，如果患病的有1 000人，那么我們根據(jù)治愈的頻率應(yīng)在治愈的概率附近擺動(dòng)這一前提，就可以認(rèn)為這1 000個(gè)人中大約有300人能治愈 講一講1.下面的表中列出10次拋擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果n為拋擲硬

4、幣的次數(shù)，m為硬幣正面向上的次數(shù)計(jì)算每次試驗(yàn)中“正面向上”這一事件的頻率，并考查它的概率實(shí)驗(yàn)序號(hào)拋擲的次數(shù)n正面向上的次數(shù)m“正面向上”出現(xiàn)的頻率15002512500249350025645002535500251650024675002448500258950026210500247嘗試解答利用頻率的定義，可分別得出這10次試驗(yàn)中“正面向上”這一事件出現(xiàn)的頻率依次為：0502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488，0.516，0.524,0.494，這些數(shù)字在0.5附近左右擺動(dòng)，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可得，“正面向上”的概率為0.5.頻數(shù)、頻率和概率三者之間的關(guān)

5、系：(1)頻數(shù)是指在n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，頻率是頻數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，而概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的規(guī)律體現(xiàn)；(2)隨機(jī)事件的頻率在每次試驗(yàn)中都可能會(huì)有不同的結(jié)果，但它具有一定的穩(wěn)定性；概率是頻率的穩(wěn)定值，不會(huì)隨試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化練一練1某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾場(chǎng)大賽中罰球投籃的結(jié)果如下：投籃次數(shù)n8101291016進(jìn)球次數(shù)m6897712進(jìn)球頻率(1)計(jì)算表中進(jìn)球的頻率；(2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次進(jìn)球的概率是多少？解：(1)進(jìn)球的頻率依次是：0.75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75.(2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次進(jìn)球的概率P0.76. 講一講 2.擲一顆均勻的正方體骰子

6、得到6點(diǎn)的概率是，是否意味著把它擲6次能得到1次6點(diǎn)？嘗試解答把一顆均勻的骰子擲6次相當(dāng)于做6次試驗(yàn)，因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，所以做6次試驗(yàn)的結(jié)果也是隨機(jī)的這就是說(shuō)，每擲一次總是隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)數(shù)，可以是1點(diǎn)，2點(diǎn)，也可以是其他點(diǎn)數(shù)，不一定出現(xiàn)6點(diǎn)所以擲一顆骰子得到6點(diǎn)的概率是，并不意味著把它擲6次能得到1次6點(diǎn)隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率恰是其規(guī)律在數(shù)量上的反映，概率是客觀(guān)存在的，它與試驗(yàn)次數(shù)沒(méi)有關(guān)系 練一練2擲一枚硬幣，連續(xù)出現(xiàn)5次正面向上，有人認(rèn)為下次出現(xiàn)反面向上的概率大于，這種理解正確嗎？解：不正確擲一次硬幣，作為一次試驗(yàn)，其結(jié)果是隨機(jī)的，但通

7、過(guò)做大量的試驗(yàn)，呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，即“正面朝上”、“反面朝上”的可能性都為.連續(xù)5次正面向上這種結(jié)果是可能的，對(duì)下一次試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，仍然是隨機(jī)的，其出現(xiàn)正面和反面的可能性還是，不會(huì)大于. 講一講3.為了估計(jì)某自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量，可以使用以下方法：先從該保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，如200只，給每只天鵝作上記號(hào)且不影響其存活，然后放回保護(hù)區(qū)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓它們和保護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合，再?gòu)谋Ｗo(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，如150只查看其中有記號(hào)的天鵝，設(shè)有20只試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量嘗試解答設(shè)保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量為n，假定每只天鵝被捕到的可能性是相等的，從保護(hù)區(qū)中任捕一只，

8、設(shè)事件A捕到帶有記號(hào)的天鵝，則P(A).第二次從保護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號(hào)，由概率的定義可知P(A).所以，解得n1 500，所以該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量約為1 500.利用頻率近似等于概率的關(guān)系求未知量：(1)抽出m個(gè)樣本進(jìn)行標(biāo)記，設(shè)總體容量為n，則標(biāo)記概率為；(2)隨機(jī)抽取n1個(gè)個(gè)體，發(fā)現(xiàn)其中m1個(gè)被標(biāo)記，則標(biāo)記頻率為；(3)用頻率近似等于概率建立關(guān)系式；(4)求出n，注意這個(gè)n值僅是真實(shí)值的近似練一練3為了估計(jì)水庫(kù)中的魚(yú)的條數(shù)，可以使用以下的方法：先從水庫(kù)中捕出一定數(shù)量的魚(yú)，如2 000條，給每條魚(yú)作上記號(hào)且不影響其存活，然后放回水庫(kù)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓它們和水庫(kù)中其余

9、的魚(yú)充分混合，再?gòu)乃畮?kù)中捕出一定數(shù)量的魚(yú)，如500條，查看其中有記號(hào)的魚(yú)，設(shè)有40條試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)水庫(kù)中魚(yú)的條數(shù)解：設(shè)水庫(kù)中魚(yú)的條數(shù)為n，從水庫(kù)中任捕一條，捕到標(biāo)記魚(yú)的概率為.第二次從水庫(kù)中捕出500條，帶有記號(hào)的魚(yú)有40條，則捕到帶記號(hào)的魚(yú)的頻率(代替概率)為，由，得n25 000，所以水庫(kù)中約有魚(yú)25 000條【解題高手】【易錯(cuò)題】一家保險(xiǎn)公司連續(xù)多年對(duì)某城市出租車(chē)事故做了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)出租車(chē)發(fā)生事故的頻率總是在0.001左右如果這個(gè)調(diào)查繼續(xù)做下去，10年后發(fā)生事故的頻率就會(huì)等于0.001(假定出租車(chē)發(fā)生事故都不會(huì)隨著時(shí)間的改變而改變)你覺(jué)得這種看法對(duì)嗎？說(shuō)出你的理由錯(cuò)解這種看法是正確的

10、，10年后發(fā)生事故的頻率等于0.001.錯(cuò)因頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，擺動(dòng)會(huì)越來(lái)越小，但不一定等于該常數(shù)正解這種看法是錯(cuò)誤的隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)穩(wěn)定于一個(gè)常數(shù)附近，這個(gè)常數(shù)就是概率，但穩(wěn)定于不一定是等于，況且0.001未必是出租車(chē)發(fā)生事故的概率1下列事件：長(zhǎng)度為3,4,5的三條線(xiàn)段可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形；經(jīng)過(guò)有信號(hào)燈的路口，遇上紅燈；從10個(gè)玻璃杯(其中8個(gè)正品，2個(gè)次品)中，任取3個(gè)，3個(gè)都是次品；下周六是晴天其中，是隨機(jī)事件的是()AB C D解析：選D 為必然事件；對(duì)于，次品總數(shù)為2，故取到的3個(gè)不可能都是次品，所以是不可能事件；為隨機(jī)事件2在某市的天氣預(yù)報(bào)中有

11、“降水概率預(yù)報(bào)”，例如預(yù)報(bào)“明天降水概率為90%”，這是指()A明天該地區(qū)約有90%的地方會(huì)降水，其余地方不降水B明天該地區(qū)約有90%的時(shí)間會(huì)降水，其余時(shí)間不降水C在氣象臺(tái)的專(zhuān)家中，有90%認(rèn)為明天會(huì)降水，其余專(zhuān)家認(rèn)為不降水D明天該地區(qū)降水的可能性為90%解析：選D 明天降水的概率為90%指的是明天該地區(qū)降水的可能性為90%.3在5張不同的彩票中有2張獎(jiǎng)票，5個(gè)人依次從中各抽取1張，則每個(gè)人抽到獎(jiǎng)票的概率()A遞減 B遞增 C相等 D不確定解析：選C 因?yàn)槊總€(gè)人獲得獎(jiǎng)票的概率均為，即抽到獎(jiǎng)票的概率與抽取順序無(wú)關(guān)4下列事件：明天進(jìn)行的某場(chǎng)足球賽的比分是31；下周一某地的最高氣溫與最低氣溫相差10

12、 ；同時(shí)擲兩枚大小相同的骰子，向上一面的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和不小于2；射擊一次，命中靶心；當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，x24x40.其中必然事件有_，不可能事件有_，隨機(jī)事件有_(填序號(hào))答案：5某工廠(chǎng)為了節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1 000度，按照上個(gè)月的用電記錄，在30天中有12天的用電量超過(guò)指標(biāo)，若第二個(gè)月仍沒(méi)有具體的節(jié)電措施，則該月的第一天用電量超過(guò)指標(biāo)的概率是_解析：由頻率定義可知用電量超過(guò)指標(biāo)的頻率為0.4，頻率約為概率答案：0.46某質(zhì)檢員從一批種子中抽取若干組種子，在同一條件下進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，有關(guān)數(shù)據(jù)如下(單位：粒)：種子粒數(shù)25701307002 0003 000發(fā)芽粒數(shù)24601166391

13、 8062 713發(fā)芽率(1)計(jì)算各組種子的發(fā)芽率，填入上表；(精確到0.01)(2)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性估計(jì)種子的發(fā)芽率解：(1)種子發(fā)芽率從左到右依次為0.96,0.86,0.89，0.91,0.90,0.90.(2)由(1)知，發(fā)芽率逐漸穩(wěn)定在0.90，因此可以估計(jì)種子的發(fā)芽率為0.90.一、選擇題1“某彩票的中獎(jiǎng)概率為”意味著()A買(mǎi)100張彩票就一定能中獎(jiǎng)B買(mǎi)100張彩票能中一次獎(jiǎng)C買(mǎi)100張彩票一次獎(jiǎng)也不中D購(gòu)買(mǎi)彩票中獎(jiǎng)的可能性為答案：D2拋擲一枚骰子兩次，用隨機(jī)模擬方法估計(jì)上面的點(diǎn)數(shù)和為7的概率，共進(jìn)行了兩次試驗(yàn)，第一次產(chǎn)生了60組隨機(jī)數(shù)，第二次產(chǎn)生了200組隨機(jī)數(shù)，那么這兩次估計(jì)的

14、結(jié)果相比較()A第一次準(zhǔn)確 B第二次準(zhǔn)確 C兩次的準(zhǔn)確率相同 D無(wú)法比較解析：選B 用隨機(jī)模擬方法估計(jì)概率時(shí)，產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)越多，估計(jì)的結(jié)果越準(zhǔn)確3下列結(jié)論正確的是()A事件A發(fā)生的概率P(A)滿(mǎn)足0P(A)1B事件A發(fā)生的概率P(A)0.999，則事件A是必然事件C用某種藥物對(duì)患有胃潰瘍的500 名病人進(jìn)行治療，結(jié)果有380人有明顯的療效，現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥，則估計(jì)有明顯療效的可能性為76%D某獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為50%，則某人購(gòu)買(mǎi)此獎(jiǎng)券10張，一定有5張中獎(jiǎng)解析：選C A不正確，因?yàn)?P(A)1；B不正確，若事件A是必然事件，則P(A)1；D不正確，某獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為50%,10張獎(jiǎng)券可能會(huì)有

15、5張中獎(jiǎng)，但不一定會(huì)發(fā)生4給出下列三個(gè)命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)為()設(shè)有一批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品；做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面朝上，則硬幣出現(xiàn)正面朝上的概率是；隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率A0B1C2D3解析：選A 均不正確5在給病人動(dòng)手術(shù)之前，外科醫(yī)生會(huì)告知病人或家屬一些情況，其中有一項(xiàng)是說(shuō)這種手術(shù)的成功率大約是99%，下列解釋正確的是()A100個(gè)手術(shù)有99個(gè)手術(shù)成功，有1個(gè)手術(shù)失敗B這個(gè)手術(shù)一定成功C99%的醫(yī)生能做這個(gè)手術(shù)，另外1%的醫(yī)生不能做這個(gè)手術(shù)D這個(gè)手術(shù)成功的可能性是99%解析：選D 成功率大約是99%，說(shuō)明手

16、術(shù)成功的可能性是99%.二、填空題6一個(gè)口袋裝有除顏色外其他均相同的白球、紅球共100個(gè)，若摸出一個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕蕿?，則估計(jì)這100個(gè)球內(nèi)，有白球_個(gè)解析：10075.答案：757在200件產(chǎn)品中，有192件一級(jí)品，8件二級(jí)品，則下列事件：在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級(jí)品；在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級(jí)品；在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是二級(jí)品；在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，其中不是一級(jí)品的件數(shù)小于10；其中_是必然事件；_是不可能事件；_是隨機(jī)事件解析：200件產(chǎn)品中，8件是二級(jí)品，現(xiàn)從中任意選出9件，當(dāng)然不可能全是二級(jí)品，不是一級(jí)品的件數(shù)最多為8，小于10.

17、答案：8下列說(shuō)法：一年按365天計(jì)算，兩名學(xué)生的生日相同的概率是；甲乙兩人做游戲：拋一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，甲勝，向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，乙勝，這種游戲是公平的；乒乓球比賽前，決定誰(shuí)先發(fā)球，抽簽方法是從110共10個(gè)數(shù)字中各抽取1個(gè)，再比較大小，這種抽簽方法是公平的；昨天沒(méi)有下雨，則說(shuō)明昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)“降水概率為90%”是錯(cuò)誤的其中正確的有_(填序號(hào))解析：對(duì)于，甲勝、乙勝的概率都是，是公平的；對(duì)于，降水概率為90%只說(shuō)明下雨的可能性很大，但也可能不下雨，故錯(cuò)誤答案：三、解答題9高一(2)班有50名同學(xué)，其中男、女各25人，今有這個(gè)班的一個(gè)學(xué)生在街上碰到一位同班同學(xué)，試問(wèn)：碰到異性同學(xué)的概

18、率大還是碰到同性同學(xué)的概率大？有人說(shuō)可能性一樣大，這種說(shuō)法對(duì)嗎？解：這種說(shuō)法不正確這個(gè)同學(xué)在街上碰到的同班同學(xué)是除了自己以外的49個(gè)人中的一個(gè)，其中碰到同性同學(xué)有24種可能，碰到異性同學(xué)有25種可能，每碰到一個(gè)同學(xué)相當(dāng)于做了一次試驗(yàn)，因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果是隨機(jī)的，所以碰到異性同學(xué)的可能性大，碰到同性同學(xué)的可能性小10某公司在過(guò)去幾年內(nèi)使用某種型號(hào)的燈管1 000支，該公司對(duì)這些燈管的使用壽命(單位：小時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：分組500，900)900，1 100)1 100，1 300)1 300，1 500)1 500，1 700)1 700，1 900)1 900，)頻數(shù)4812120822319316542頻率(1)將各組的頻率填入表中；(2)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的概率解：(1)頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042.(2)樣本中壽命不足1 500小時(shí)的頻數(shù)是48121208223600，所以樣本中壽命不足1 500小時(shí)的頻率是0.6，即燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的概率約為0.6.- 8 -