（通用版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第七章 不等式學案 理

第七章 不 等 式第一節(jié) 不等式的性質(zhì)及一元二次不等式本節(jié)主要包括2個知識點：1.不等式的性質(zhì)；2.一元二次不等式.突破點(一)不等式的性質(zhì) 1比較兩個實數(shù)大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性a>bb<a傳遞性a>b，b>ca>c可加性a>bac>bc可乘性ac>bc注意c的符號ac<bc同向可加性ac>bd同向同正可乘性ac>bd>0可乘方性a>b>0an>bn(nN，n1)a，b同為正數(shù)可開方性a>b>0>(nN，n2)3.不等式的一些常用性質(zhì)(1)倒數(shù)的性質(zhì)a>b，ab>0<.a<0<b<.a>b>0,0<c<d>.0<a<x<b或a<x<b<0<<.(2)有關分數(shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則：<；>(bm>0)>；<(bm>0)1判斷題(1)a>b>0，c>d>0>.()(2)若>，則a>b.()(3)若a>b，c>d，則ac>bd.()答案：(1)(2)×(3)×2填空題(1)若ab>0，且a>b，則與的大小關系是_答案：<(2)a，bR，ab和同時成立的條件是_解析：若ab0，由ab兩邊同除以ab得，即；若ab0，則.ab和同時成立的條件是a0b.答案：a0b(3)已知ab>0，則與的大小關系是_解析：(ab)·.ab>0，(ab)20，0.答案：(4)設M2a(a2)，N(a1)(a3)，則M與N的大小關系為M_N.答案：>比較大小例1(1)已知xR，m(x1)，n(x2x1)，則m，n的大小關系為()AmnBmnCmnDmn(2)若a，b，則a_b(填“”或“”)(3)已知等比數(shù)列an中，a10，q0，前n項和為Sn，則與的大小關系為_解析(1)mx31，nx3，mn>0，故m>n.(2)易知a，b都是正數(shù)，log891，所以ba.(3)當q1時，3，5，所以.當q0且q1時，0，所以.綜上可知.答案(1)B(2)(3)方法技巧比較大小的常用方法差值比較商值比較原理設a，bR，則a>bab>0，abab0，a<bab<0設a>0，b>0，則>1a>b，1ab，<1a<b步驟作差并變形；判斷差的符號；下結論作商并變形；判斷商與1的大小；下結論注意事項只要判斷差的符號(正負號)，至于差的值究竟是什么無關緊要，通常將差化為完全平方式的形式或者多個因式積的形式作商時結果與“1”比較大小，注意分母的正負，如果a，b均小于0，所得結論與“商值比較原理”中的結論相反解題關鍵利用通分、因式分解、配方等變形，變形是為了更有利于判斷符號利用分母(或分子)有理化、指數(shù)恒等變換、對數(shù)恒等變換等變形不等式的性質(zhì)例2(1)(2018·河南六市模擬)若<<0，則下列結論不正確的是()Aa2<b2Bab<b2Cab<0D|a|b|>|ab|(2)(2018·泰安調(diào)研)設a，bR，若p：a<b，q：<<0，則p是q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件(3)(2018·山東煙臺期中)下列四個命題中，為真命題的是()A若a>b，則ac2>bc2B若a>b，c>d，則ac>bdC若a>|b|，則a2>b2D若a>b，則<解析(1)<<0，b<a<0，b2>a2，ab<b2，ab<0，A，B，C均正確b<a<0，|a|b|ab|，故D錯誤(2)當a<b時，<<0不一定成立；當<<0時，a<b<0.綜上可得，p是q的必要不充分條件，故選B.(3)當c0時，A不成立；2>1,3>1，而23<1(1)，故B不成立；a2，b1時，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故選C.答案(1)D(2)B(3)C 方法技巧不等式性質(zhì)應用問題的常見類型及解題策略(1)利用不等式性質(zhì)比較大小熟記不等式性質(zhì)的條件和結論是基礎，靈活運用是關鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件(2)與充要條件相結合的問題用不等式的性質(zhì)分別判斷pq和qp是否正確，要注意特殊值法的應用(3)與命題真假判斷相結合的問題解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法1.設a，b0，)，A，B，則A，B的大小關系是()AABBABCABDAB解析：選B由題意得，A2B220，且A0，B0，可得AB.2.(2018·安徽淮北一中模擬)若a<b<0，給出下列不等式：a21>b2；|1a|>|b1|；>>.其中正確的個數(shù)是()A0B1 C2D3解析：選D由于a<b<0，所以|a|>|b|>0，a2>b2，故a21>b2，正確；a>b>0，a1>b1>1，故|1a|>|b1|，正確；ab<a<b<0，所以>>，正確故3個不等式均正確3.若x>y>1,0<a<b<1，則下列各式中一定成立的是()Axa>ybBxa<ybCax<byDax>by解析：選C易知函數(shù)yax(0<a<1)在R上單調(diào)遞減，因為x>y>1,0<a<b<1，所以ax<ay<by.故選C.4.(2018·河南三市調(diào)研)若x，yR，則x>y的一個充分不必要條件是()A|x|>|y|Bx2>y2C.>Dx3>y3解析：選C由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除A，B；由>可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要條件，故選C.突破點(二)一元二次不等式1三個“二次”之間的關系判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩個相異實根x1，x2(x1x2)有兩個相等實根x1x2沒有實數(shù)根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x<x1或x>x2R一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx22.不等式ax2bxc>0(<0)恒成立的條件(1)不等式ax2bxc>0對任意實數(shù)x恒成立或(2)不等式ax2bxc<0對任意實數(shù)x恒成立或1判斷題(1)若不等式ax2bxc<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0.()(2)若方程ax2bxc0(a0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2bxc>0的解集為空集()(3)若不等式ax2bxc0對xR恒成立，則其判別式0.()答案：(1)(2)×(3)×2填空題(1)不等式x22x30的解集為_答案：(2)不等式ax2bx2>0的解集是，則ab的值是_解析：由題意知，是ax2bx20的兩根，所以解得a12，b2.所以ab14.答案：14(3)若不等式mx22mx1>0的解集為R，則m的取值范圍是_解析：當m0時，1>0顯然成立當m0時，由條件知得0<m<1.由知0m<1.答案：0,1)一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法和步驟例1(1)(2018·石家莊一模)不等式2x2x3>0的解集是()A.B(，1)C.D.(1，)(2)(2018·江西八校聯(lián)考)已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(2，)上單調(diào)遞減，且yf(x2)為偶函數(shù)，則關于x的不等式f(2x1)f(x1)>0的解集為()A.(2，)B.C.(2，)D.(3)(2018·青島模擬)求不等式12x2ax>a2(aR)的解集解析(1)2x2x3>0可因式分解為(x1)(2x3)>0，解得x>或x<1，不等式2x2x3>0的解集是(，1).故選B.(2)yf(x2)為偶函數(shù)，yf(x)的圖象關于x2對稱又f(x)在(2，)上單調(diào)遞減，由f(2x1)f(x1)>0得f(2x1)>f(x1)，|2x12|<|x12|，(2x3)2<(x1)2，即3x210x8<0，(x2)(3x4)<0，解得<x<2，故選D.(3)原不等式可化為12x2axa2>0，即(4xa)(3xa)>0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.當a>0時，不等式的解集為；當a0時，不等式的解集為(，0)(0，)；當a<0時，不等式的解集為.答案(1)B(2)D方法技巧解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的依據(jù)(1)二次項中若含有參數(shù)應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式(2)當不等式對應方程的實根的個數(shù)不確定時，討論判別式與0的關系(3)確定無實根時可直接寫出解集，確定方程有兩個實根時，要討論兩實根的大小關系，從而確定解集形式 由一元二次不等式恒成立求參數(shù)范圍考法(一)在實數(shù)集R上恒成立例2(1)(2018·山西平遙中學月考)若不等式x22ax<3xa2恒成立，則a的取值范圍為()A(0,1)BC.D(2)(2018·湖南湘潭一中模擬)若不等式(m1)x2(m1)x3(m1)<0對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A(1，)B(，1)C.D(1，)解析(1)由題意得x22ax<3xa2恒成立，即x2(32a)xa2>0恒成立所以(32a)24a2<0，解得a>，故選B.(2)分情況討論，當m1時，不等式化為2x6<0，即x<3，顯然不對任意實數(shù)x恒成立當m1時，由題意得所以m<.故選C.答案(1)B(2)C考法(二)在某區(qū)間上恒成立例3(2018·湖北沙市中學月考)已知函數(shù)f(x)mx2mx1.若對于任意的x1,3，f(x)<5m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A.B(，1)C(1,5)D(1，)解析因為f(x)<m5m(x2x1)<6，而x2x1>0，所以將不等式變形為m<，即不等式m<對于任意x1,3恒成立，所以只需求在1,3上的最小值即可記g(x)，x1,3，記h(x)x2x12，顯然h(x)在x1,3上為增函數(shù)所以g(x)在1,3上為減函數(shù)，所以g(x)ming(3)，所以m<.故選A.答案A方法技巧解決一元二次不等式在某區(qū)間恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題或用分離參數(shù)法求最值問題考法(三)在參數(shù)的區(qū)間上恒成立時求變量范圍例4對任意m1,1，函數(shù)f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范圍解由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由題意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x<1或x>3.故當x(，1)(3，)時，對任意的m1,1，函數(shù)f(x)的值恒大于零方法技巧解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)一般地，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)即把變元與參數(shù)交換位置，構造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解1.(2018·山東日照聯(lián)考)一元二次不等式ax2bxc>0的解集為(，)(>0)，則不等式cx2bxa>0的解集為()A.BC.D解析：選C因為不等式ax2bxc>0的解集為(，)，所以a<0且，.所以不等式cx2bxa>0可化為x2()x1<0，所以(x1)(x1)<0，即<0，所以不等式的解集是，故選C.h2.(2018·汕頭一模)已知關于x的不等式kx26kxk80對任意的xR恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是()A0,1 B(0,1C(，0)(1，) D(，01，)解析：選A當k0時，不等式kx26kxk80化為80，其對任意的xR恒成立；當k<0時，不等式kx26kxk80不能恒成立；當k>0時，要使不等式kx26kxk80對任意的xR恒成立，對于方程kx26kxk80，需36k24(k28k)0，得0<k1.綜上，實數(shù)k的取值范圍是0,1，故選A.3.(2018·吉林省實驗中學月考)不等式x2的解集是()A(，0(2,4B0,2)4，)C2,4)D(，2)(4，)解析：選B將原不等式移項通分得0，于是原不等式等價于或解得x4或0x<2.故選B.4.若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，則a的取值范圍是()A4,1B4,3C1,3D1,3解析：選B原不等式為(xa)(x1)0，當a<1時，不等式的解集為a,1，此時只要a4即可，即4a<1；當a1時，不等式的解為x1，此時符合要求；當a>1時，不等式的解集為1，a，此時只要a3即可，即1<a3.綜上可得4a3.5.要使不等式x2(a6)x93a>0，|a|1恒成立，則x的取值范圍為_解析：將原不等式整理為形式上是關于a的不等式(x3)ax26x9>0.令f(a)(x3)ax26x9.因為f(a)>0在|a|1時恒成立，所以若x3，則f(a)0，不符合題意，應舍去若x3，則由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得即解得x<2或x>4.答案：(，2)(4，)全國卷5年真題集中演練明規(guī)律 1(2014·全國卷)已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，則AB()A2，1B1,2) C1,1D1,2)解析：選AAx|x1或x3，故AB2，1，故選A.2(2014·全國卷)設集合M0,1,2，Nx|x23x20，則MN()A1B2 C0,1D1,2解析：選DNx|x23x20x|1x2，又M0,1,2，所以MN1,23(2013·全國卷)已知集合Ax|x22x0，Bx|x，則()AABBABR CBADAB解析：選B集合Ax|x2或x0，所以ABx|x2或x0x|xR，故選B. 課時達標檢測 小題對點練點點落實對點練(一)不等式的性質(zhì)1(2018·安徽合肥質(zhì)檢)下列三個不等式：x2(x0)；<(a>b>c>0)；>(a，b，m>0且a<b)，恒成立的個數(shù)為()A3B2 C1D0解析：選B當x<0時，不成立；由a>b>c>0得<，所以<成立，所以恒成立；，由a，b，m>0且a<b知>0恒成立，故恒成立，所以選B.2若a>b>0，c<d<0，則一定有()Aac>bdBac<bdCad<bcDad>bc解析：選B根據(jù)c<d<0，有c>d>0，由于a>b>0，故ac>bd，ac<bd，故選B.3已知實數(shù)a，b滿足關系a2b2b1，則下列結論正確的是()A若a<1，b<，則a>bB若a<1，b<，則a<bC若a>1，b>，則a>bD若a>1，b>，則a<b解析：選D由題意知，a2b2b12，對于A，取a1，b0，a>b不成立；對于B，取a，b，a<b不成立；對于C，取a，b2，a>b不成立；對于D，若a>1，則b2b>0，又b>，得b>1,1b<0，所以a2b2b1<b2，則a<b，故選D.4若0<a<b，且ab1，則a，2ab，a2b2中最大的數(shù)為()AaBC2abDa2b2解析：選D因為0<a<b，且ab1，所以a<，a2b2>，2ab2a(1a)22<，所以a，2ab，a2b2中最大的數(shù)為a2b2.5(2018·山西康杰中學月考)設a>b>1，則下列不等式成立的是()Aaln b>bln aBaln b<bln aCaeb<beaDaeb>bea解析：選C觀察A，B兩項，實際上是在比較和的大小，引入函數(shù)y，x>1.則y，可見函數(shù)y在(1，e)上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減函數(shù)y在(1，)上不單調(diào)，所以函數(shù)在xa和xb處的函數(shù)值無法比較大小對于C，D兩項，引入函數(shù)f(x)，x>1，則f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，又因為a>b>1，所以f(a)>f(b)，即>，所以aeb<bea，故選C.6已知函數(shù)f(x)axb,0<f(1)<2，1<f(1)<1，則2ab的取值范圍是_解析：設2abmf(1)nf(1)(mn)·a(mn)b，則解得m，n，2abf(1)f(1)，0<f(1)<2，1<f(1)<1，0<f(1)<1，<f(1)<，則<2ab<.答案：7若a>b>0，給出以下幾個不等式：<；lg<；a>b；>.其中正確的是_(請?zhí)顚懰姓_的序號)解析：因為a>b>0，所以>0，正確；lg <lg ，不正確；因為aab>0，所以正確；()2a2>a，所以不正確答案：對點練(二)一元二次不等式1(2018·信陽一模)已知關于x的不等式x2ax6a2>0(a<0)的解集為(，x1)(x2，)，且x2x15，則a()AB CD解析：選C關于x的不等式x2ax6a2>0(a<0)可化簡為(x2a)(x3a)>0，因為a<0，所以2a>3a，所以解不等式得x>2a或x<3a，所以x13a，x22a.又x2x15，所以5a5，所以a.2設實數(shù)a(1,2)，關于x的一元二次不等式x2(a23a2)x3a(a22)<0的解集為()A(3a，a22)B(a22,3a)C(3,4)D(3,6)解析：選B由x2(a23a2)x3a(a22)<0，得(x3a)·(xa22)<0，a(1,2)，3a>a22，關于x的一元二次不等式x2(a23a2)x3a(a22)<0的解集為(a22,3a)故選B.3(2018·河北石家莊二中月考)在R上定義運算：abab2ab，則滿足x(x2)<0的實數(shù)x的取值范圍為()A(0,2)B(2,1)C(，2)(1，)D(1,2)解析：選B根據(jù)定義得x(x2)x(x2)2x(x2)x2x2<0，解得2<x<1，所以實數(shù)x的取值范圍為(2,1)，故選B.4(2018·河南洛陽診斷)若不等式x2ax2>0在區(qū)間1,5 上有解，則a的取值范圍是()A.BC(1，)D解析：選A由a28>0知方程恒有兩個不等實根，又因為x1x22<0，所以方程必有一正根，一負根，對應二次函數(shù)圖象的示意圖如圖所以不等式在區(qū)間1,5上有解的充要條件是f(5)>0，解得a>，故選A.5(2018·重慶鳳鳴山中學月考)若不存在整數(shù)x滿足不等式(kxk24)(x4)<0，則實數(shù)k的取值范圍是_解析：容易判斷k0或k<0時，均不符合題意，所以k>0.所以原不等式即為k(x4)<0，等價于(x4)<0，依題意應有35且k>0，所以1k4.答案：1,46(2018·遼寧沈陽模擬)若不等式mx22mx4<2x24x對任意x均成立，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：不等式等價于(m2)x22(m2)x4<0，當m2時，上式為4<0，對任意的x，不等式都成立；當m2<0時，4(m2)216(m2)<0，2<m<2.綜合，得m(2,2答案：(2,2大題綜合練遷移貫通1(2018·黑龍江虎林一中期中)已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)<0的解集是(0,5)(1)求f(x)的解析式；(2)若對于任意的x1,1，不等式f(x)t2恒成立，求t的取值范圍解：(1)f(x)2x2bxc，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，0和5是方程2x2bxc0的兩個根，由根與系數(shù)的關系知，5，0，b10，c0，f(x)2x210x.(2)f(x)t2恒成立等價于2x210xt20恒成立，2x210xt2的最大值小于或等于0.設g(x)2x210xt2，則由二次函數(shù)的圖象可知g(x)2x210xt2在區(qū)間1,1上為減函數(shù)，g(x)maxg(1)10t，10t0，即t10.t的取值范圍為(，102已知函數(shù)f(x)的定義域為R.(1)求a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)的最小值為，解關于x的不等式x2xa2a0.解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為R， ax22ax10恒成立，當a0時，10恒成立當a0時，需滿足題意，則需解得0a1，綜上可知，a的取值范圍是0,1(2)f(x)，由題意及(1)可知0a1，當x1時，f(x)min，由題意得，a，不等式x2xa2a0可化為x2x0.解得x，不等式的解集為.3(2018·江西八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x22ax1a，aR.(1)若a2，試求函數(shù)y(x>0)的最小值；(2)對于任意的x0,2，不等式f(x)a成立，試求a的取值范圍解：(1)依題意得yx4.因為x>0，所以x2.當且僅當x時，即x1時，等號成立所以y2.所以當x1時，y的最小值為2.(2)因為f(x)ax22ax1，所以要使得“x0,2，不等式f(x)a成立”，只要“x22ax10在0,2恒成立”不妨設g(x)x22ax1，則只要g(x)0在0,2上恒成立即可所以即解得a.則a的取值范圍為.第二節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題本節(jié)主要包括3個知識點：1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域；2.簡單的線性規(guī)劃問題；3.線性規(guī)劃的實際應用.突破點(一)二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域AxByC0直線AxByC0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AxByC0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.確定二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的步驟以上簡稱為“直線定界，特殊點定域”1判斷題(1)不等式AxByC>0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方()(2)不等式x2y2<0表示的平面區(qū)域是一、三象限角的平分線和二、四象限角的平分線圍成的含有y軸的兩塊區(qū)域()答案：(1)×(2)2填空題(1)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于_答案：(2)不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù)為_答案：4(3)若不等式組表示的平面區(qū)域為一個銳角三角形及其內(nèi)部，則實數(shù)k的取值范圍是_答案：(0,1)二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域典例(1)(2018·泰安模擬)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為()A1B C.D(2)(2018·沈陽質(zhì)監(jiān))已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積等于3，則a的值為_解析(1)作出不等式組對應的區(qū)域如圖中陰影部分所示，由題意知xB1，xC2.由得yD，所以SBCD×(xCxB)×|yD|.(2)依據(jù)不等式組畫出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知其表示的平面區(qū)域為ABC，所以S×2|AC|3，所以|AC|3，即C(2,3)，又點C在直線axy20上，得a.答案(1)D(2)方法技巧解決求平面區(qū)域面積問題的方法步驟(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域；(2)判斷平面區(qū)域的形狀，并求得直線的交點坐標、圖形的邊長、相關線段的長(三角形的高、四邊形的高)等，若為規(guī)則圖形則利用圖形的面積公式求解；若為不規(guī)則圖形則利用割補法求解提醒求面積時應考慮圓、平行四邊形等圖形的對稱性1已知約束條件表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則實數(shù)k的值為()A1B1 C0D2解析：選A先作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖要使陰影部分為直角三角形，當k0時，此時三角形的面積為×3×31，所以不成立當k1或2時，不能構成直角三角形區(qū)域當k1時，由圖可知，可構成直角三角區(qū)域且面積為1，故選A.2若滿足條件的整點(x，y)恰有9個，其中整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點，則整數(shù)a的值為()A3B2 C1D0解析：選C不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，當a0時，只有4個整點(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；當a1時，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)共5個整點3不等式組 表示的平面區(qū)域的面積為_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，可知SABC×2×(22)4.答案：4突破點(二)簡單的線性規(guī)劃問題 1線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標函數(shù)關于x，y的函數(shù)解析式，如z2x3y等線性目標函數(shù)關于x，y的一次函數(shù)解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題2簡單線性規(guī)劃問題的圖解法在確定線性約束條件和線性目標函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟概括為“畫、移、求、答”即1判斷題(1)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一()(2)目標函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()答案：(1)(2)×2填空題(1)已知實數(shù)x，y滿足則zx3y的最小值為_答案：8(2)(2018·南昌調(diào)研)設變量x，y滿足則目標函數(shù)z2x3y的最小值為_答案：7(3)某校今年計劃招聘女教師a名，男教師b名，若a，b滿足不等式組設這所學校今年計劃招聘教師最多x名，則x_.答案：13線性目標函數(shù)的最值例1(1)(2018·山西太原模擬)已知實數(shù)x，y滿足則z2x2y1的取值范圍是()A.B0,5C.D(2)(2017·黑龍江哈爾濱二模)已知整數(shù)x，y滿足則z4x·y的最小值為_解析(1)作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，可知2×2×1z<2×22×(1)1，即z的取值范圍是.(2)z4x·y22x·2y22xy.設m2xy，要使z最小，則只需m最小作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示由m2xy得y2xm，平移可知當直線y2xm經(jīng)過點B時，m最小，由解得即B(1,2)，此時m224，所以z4x·y的最小值為24.答案(1)D(2)方法技巧求解線性目標函數(shù)最值的常用方法線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標代入目標函數(shù)求出相應的數(shù)值，從而確定目標函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值非線性目標函數(shù)的最值例2(1)(2018·四川資陽期末)已知實數(shù)x，y滿足則的最大值是_(2)(2018·河北唐山模擬)設實數(shù)x，y滿足約束條件則zx2y2的最小值為_解析(1)由題意得，滿足條件的可行域如圖所示.的幾何意義是可行域內(nèi)的點與原點所在直線的斜率，觀察圖形易知，當直線過點C(4,1)時，有最大值，最大值為.(2)作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示因為zx2y2表示區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方，由圖知，當區(qū)域內(nèi)的點與原點的連線與直線3xy100垂直時，zx2y2取得最小值，所以zmin210，垂足為點(3,1)，在平面區(qū)域內(nèi)，所以zx2y2的最小值為10.答案(1)(2)10方法技巧非線性目標函數(shù)最值問題的常見類型及求法距離平方型目標函數(shù)為z(xa)2(yb)2時，可轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(x，y)與點(a，b)之間的距離的平方求解斜率型對形如z(ac0)型的目標函數(shù)，可利用斜率的幾何意義來求最值，即先變形為z·的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(x，y)與點連線的斜率的倍的取值范圍、最值等點到直線距離型對形如z|AxByC|型的目標函數(shù)，可先變形為z·的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(x，y)到直線AxByC0的距離的倍的最值線性規(guī)劃中的參數(shù)問題1.常見問題形式(1)由可行域求線性約束條件；(2)由最優(yōu)解或最值求參數(shù)的取值范圍2處理方法(1)對于形式(1)，由可行域的端點寫出邊界直線的方程，由區(qū)域特點確定不等號即可(2)對于形式(2)，解答問題時，必須明確線性目標函數(shù)的最值一般在可行域的頂點或邊界取得，運用數(shù)形結合的思想方法求解同時，要注意邊界直線的斜率與目標函數(shù)表示的直線的斜率之間的關系例3(2018·湖北八校聯(lián)考)若實數(shù)x，y滿足不等式組其中m>0，且xy的最大值為9，則實數(shù)m()A4B3 C1D2解析根據(jù)不等式組畫出可行域如圖中陰影部分所示設zxy，由得A.易知當zxy經(jīng)過點A時，z取得最大值，故9，解得m1.答案C方法技巧求解線性規(guī)劃中含參問題的兩種基本方法(1)把參數(shù)當成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標函數(shù)確定最值，通過構造方程或不等式求解參數(shù)的值或范圍；(2)先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)1.(2018·山東德州模擬)已知x，y滿足則z4xy的最小值為()A4B6 C12D16解析：選B作出不等式組表示的區(qū)域如圖，結合圖形可知當動直線z4xy經(jīng)過點A(2,2)時，動直線y4xz在y軸的截距最小，zmin4×226，故選B.2.設x，y滿足約束條件則的取值范圍是()A1,5B2,6C2,10D3,11解析：選D設z12·，設z，則z的幾何意義為動點P(x，y)到定點D(1，1)的斜率，畫出可行域如圖中陰影部分所示，易得zkDA，kDB，則z1,5，z12·z3,113.(2018·浙江寧波九校期末聯(lián)考)設實數(shù)x，y滿足則zy4x的取值范圍是_；zy4|x|的取值范圍是_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖當目標函數(shù)線zy4x經(jīng)過點A(2,2)時，z取得最小值24×26；經(jīng)過點B(4,8)時，z取得最大值84×(4)24，所以zy4x的取值范圍是6,24因為zy4|x|所以由圖知，當x<0時，z在點B(4,8)處取得最小值84×(4)8，在點C(0,4)處取得最大值4，所以當x<0時，z8,4)當x0時，z在點A(2,2)處取得最小值24×26，在點C(0,4)處取得最大值44×04，所以x0時，z6,4綜上，zy4|x|的取值范圍是8，4答案：6,248,44.(2018·北京朝陽模擬)若實數(shù)x，y滿足則x2y2的最小值是_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示x2y2表示可行域內(nèi)任意一點P(x，y)與原點(0,0)距離的平方，當P在線段AB上且OPAB時，x2y2取得最小值，(x2y2)min2.答案：5.已知約束條件若目標函數(shù)zxay(a0)恰好在點(2,2)處取到最大值，則a的取值范圍為_解析：作出不等式對應的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，當a0時，zx，即xz，此時不成立故a0.由zxay得yx.由解得即A(2,2)要使目標函數(shù)zxay(a0)僅在點A(2,2)處取得最大值，則陰影部分區(qū)域在直線yx的下方，即目標函數(shù)的斜率k，滿足k>kAC，即>3.a>0，a>，即a的取值范圍為.答案：突破點(三)線性規(guī)劃的實際應用 線性規(guī)劃的實際應用解線性規(guī)劃應用題的一般步驟典例(2018·山西運城期中)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲產(chǎn)品1件需消耗A原料1千克，B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1件需消耗A原料2千克，B原料1千克；每件甲產(chǎn)品的利潤是300元，每件乙產(chǎn)品的利潤是400元，公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A，B原料都不超過12千克，通過合理安排計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是()A1 800元B2 400元C2 800元D3 100元解析設生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件，依題意有目標函數(shù)z300x400y，作出的可行域，其中A(0,6)，B(4,4)，C(6,0)，如圖所示由z300x400y得yx，由圖可知，目標函數(shù)在點B(4,4)取得最大值，最大值為2 800.所以公司共可獲得的最大利潤是2 800元故選C.答案C方法技巧求解線性規(guī)劃應用題的三個注意點(1)明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取到等號(2)注意結合實際問題的實際意義，判斷所設未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否為整數(shù)、是否為非負數(shù)等(3)正確地寫出目標函數(shù)，一般地，目標函數(shù)是等式的形式1(2018·云南昆明第三中學月考)某蔬菜收購點租用車輛，將100噸新鮮黃瓜運往某市銷售，可供租用的卡車和農(nóng)用車分別為10輛和20輛若每輛卡車載重8噸，運費960元，每輛農(nóng)用車載重2.5噸，運費360元，則蔬菜收購點運完全部黃瓜支出的最低運費為()A11 280元B12 480元C10 280元D11 480元解析：選B設租用的卡車和農(nóng)用車分別為x輛和y輛，運完全部黃瓜支出的運費為z元，則目標函數(shù)z960x360y.如圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域是ABC內(nèi)橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點，其中A(10,8)，B(10,20)，C(6.25,20)當直線l：z960x360y經(jīng)過點A(10,8)時，運費最低，且最低運費為zmin960×10360×812 480(元)，故選B.2(2018·南昌模擬)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為()甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128A.12萬元B16萬元C17萬元D18萬元解析：選D根據(jù)題意，設每天生產(chǎn)甲x噸，乙y噸，則目標函數(shù)為z3x4y，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線3x4y0并平移，易知當直線經(jīng)過點A(2,3)時，z取得最大值且zmax3×24×318，故該企業(yè)每天可獲得最大利潤為18萬元，選D.全國卷5年真題集中演練明規(guī)律1(2017·全國卷)設x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是()A15B9 C1D9解析：選A作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示易求得可行域的頂點A(0，1)，B(6，3)，C(6，3)，當直線z2xy過點B(6，3)時，z取得最小值，zmin2×(6)315.2(2013·全國卷)已知a0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a()A.B C1D2解析：選B由已知約束條件，作出可行域如圖中ABC內(nèi)部及邊界部分，由目標函數(shù)z2xy的幾何意義為直線l：y2xz在y軸上的截距，知當直線l過可行域內(nèi)的點B(1，2a)時，目標函數(shù)z2xy的最小值為1，則22a1，a，故選B. 3(2017·全國卷)設x，y滿足約束條件則z3x2y的最小值為_解析：畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由可行域知，當直線yx過點A時，在y軸上的截距最大，此時z最小，由解得zmin5.答案：54(2015·全國卷)若x，y滿足約束條件則的最大值為_解析：畫出可行域如圖陰影所示，表示過點(x，y)與原點(0,0)的直線的斜率，點(x，y)在點A處時最大由得A(1,3)的最大值為3.答案：35(2016·全國卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900 元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_元解析：設生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，由已知可得約束條件為即目標函數(shù)為z2 100x900y，由約束條件作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示作直線2 100x900y0，即7x3y0并上下平移，易知當直線經(jīng)過點M時，z取得最大值，聯(lián)立解得B(60,100)則zmax2 100×60900×100216 000(元)答案：216 000課時達標檢測 小題對點練點點落實對點練(一)二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域1(2018·青島月考)若實數(shù)x，y滿足不等式組則該約束條件所圍成的平面區(qū)域的面積是()A3BC2D2解析：選C因為直線xy1與xy1互相垂直，所以如圖所示的可行域為直角三角形，易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，故|AB|，|AC|2，所以其面積為×|AB|×|AC|2.2在平面直角坐標系中，若不等式組表示一個三角形區(qū)域，則實數(shù)k的取值范圍是()A(，1)B(1，)C(1,1)D(，1)(1，)解析：選A易知直線yk(x1)1過定點(1，1)，畫出不等式組表示的可行域示意圖，如圖所示當直線yk(x1)1位于yx和x1兩條虛線之間時，表示的是一個三角形區(qū)域所以直線yk(x1)1 的斜率的范圍為(，1)，即實數(shù)k的取值范圍是(，1)3(2018·山西臨汾一中月考)不等式y(tǒng)(xy2)0在平面直角坐標系中表示的區(qū)域(用陰影部分表示)是()解析：選C由y(xy2)0，得或所以不等式y(tǒng)(xy2)0在平面直角坐標系中表示的區(qū)域是C項4(2018·河北卓越聯(lián)盟聯(lián)考)已知點(3，1)和(4，6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，則實數(shù)a的取值范圍為()A(7,24)B(，7)(24，)C(24,7)D(，24)(7，)解析：選A由題意可知(92a)(1212a)<0，所以(a7)·(a24)<0，所以7<a<24.5(2018·山東濰坊月考)直線xmy10與不等式組表示的平面區(qū)域有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是()A.BC.D解析：選D由題意，知直線xmy10過定點D(1,0)，作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖陰影所示，當m0時，直線為x1，此時直線和平面區(qū)域沒有公共點，故m0.xmy10的斜截式方程為yx，斜率k.要使直線和平面區(qū)域有公共點，則直線xmy10的斜率k>0，即k>0，即m<0，且滿足kCDkkAD.由解得即C(2,1)，CD的斜率kCD.由解得即A(2,4)，AD的斜率kAD，即k，則，解得3m，故選D.對點練(二)簡單的線性規(guī)劃問題1(2018·河南八市重點高中聯(lián)考)已知ABC中，A(1,1)，B(1,3)，C(1，2)，若點(x，y)在三角形內(nèi)部(不包含邊界)，則z2xy的取值范圍是()A(，1)B(1,1)C(2，1)D(1，)解析：選C如圖，畫出三角形ABC，其內(nèi)部即為可行域當直線y2xz經(jīng)過點B時，zmax231，經(jīng)過點C時，zmin2×(1)22.故選C.2(2017·河南鄭州二模)若實數(shù)x，y滿足且z2xy的最小值為4，則實數(shù)b的值為()A1B2 C.D3解析：選D作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影所示，由圖可知z2xy在點A處取得最小值，且由解得A(1,2)又由題意可知A在直線yxb上，21b，解得b3，故選D.3(2018·山東泰安檢測)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，已知點A(1,2)，則直線AM斜率的最小值為()AB2 C0D解析：選B作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖四邊形OBCD及其內(nèi)部，其中B(2,0)，C(4,6)，D(0,2)點A(1,2)，當M位于O時，AM的斜率最小此時AM的斜率k2，故選B.4(2018·四川南充高中模擬)若實數(shù)x，y滿足約束條件則z的最大值為_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示z的幾何意義是可行域內(nèi)的點與點D(1,0)連線的斜率，由圖象知直線AD的斜率最大由得所以A(1,3)，此時z，即為要求的最大值答案：5(2018·湖北黃石模擬)已知變量x，y滿足約束條件則zx2y的最大值為_解析：作出不等式組表示的可行域如圖所示，因為目標函數(shù)y的斜率小