（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式學(xué)案 文

第七章 不 等 式第一節(jié) 不等式的性質(zhì)及一元二次不等式本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.不等式的性質(zhì)；2.一元二次不等式.突破點(diǎn)(一)不等式的性質(zhì) 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱性abba傳遞性ab，bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符號(hào)acbc同向可加性acbd同向同正可乘性acbd0可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同為正數(shù)可開(kāi)方性ab0(nN，n2)3.不等式的一些常用性質(zhì)(1)倒數(shù)的性質(zhì)ab，ab0.a0b.ab0,0cd.0axb或axb0.(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若ab0，m0，則：；(bm0)；(bm0).考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小例1(1)已知a1，a2(0,1)，記Ma1a2，Na1a21，則M與N的大小關(guān)系是_(2)若a，b，則a_b(填“”或“”)解析(1)MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210.(a11)(a21)0，即MN0.M N.(2)易知a，b都是正數(shù)，log891，所以ba.答案(1)M N(2)方法技巧比較兩個(gè)數(shù)(式)大小的兩種方法不等式的性質(zhì)例2(1)(2018·泰州期初測(cè)試)已知函數(shù)f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，則f(2)的取值范圍是_(2)下列命題：若ab，cd，則acbd；若acbc，則ab；若，則ab；若ab，cd，則acbd.其中正確命題的序號(hào)是_(3)(2018·興化八校聯(lián)考)“x13且x23”是“x1x26且x1x29”的_條件解析(1)由題意知f(1)ab，f(1)ab，f(2)4a2b.設(shè)m(ab)n(ab)4a2b，則解得f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10，即f(2)的取值范圍為5,10(2)取a2，b1，c1，d2，可知錯(cuò)誤；當(dāng)c0時(shí)，acbcab，錯(cuò)誤；，c0，又c20，ab，正確；取ac2，bd1，可知錯(cuò)誤(3)x13，x23x1x26，x1x29；反之不成立，例如x1，x220，x1x26，x1x2109，但x13.故“x13且x23”是“x1x26且x1x29”的充分不必要條件答案(1)5,10(2)(3)充分不必要方法技巧不等式性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)不等式成立問(wèn)題熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件(2)與充分、必要條件相結(jié)合問(wèn)題用不等式的性質(zhì)分別判斷pq和qp是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用(3)與命題真假判斷相結(jié)合問(wèn)題解決此類問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.設(shè)a，b0，)，A，B，則A，B的大小關(guān)系是_解析：由題意得，B2A220，且A0，B0，可得AB.答案：AB2.若m0，n0且mn0，則下列不等式中成立的序號(hào)是_nmnm；nmmn；mnmn；mnnm.解析：法一：(特殊值法)令m3，n2分別代入各不等式中檢驗(yàn)即可法二：mn0mnnm，又由于m0n，故mnnm成立答案：3.若a0ba，cd0，則下列結(jié)論：adbc；0；acbd；a(dc)b(dc)中，成立的個(gè)數(shù)是_解析：a0b，cd0，ad0，bc0，adbc，故不成立a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，故成立cd，cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故成立ab，dc0，a(dc)b(dc)，故成立成立的個(gè)數(shù)為3.答案：34.設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“ab1”是“ab”的_條件解析：因?yàn)閍，若ab1，顯然a0，則充分性成立；當(dāng)a，b時(shí)，顯然不等式ab成立，但ab1不成立，所以必要性不成立答案：充分不必要突破點(diǎn)(二)一元二次不等式) 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1三個(gè)“二次”之間的關(guān)系判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2(x1x2)有兩個(gè)相等實(shí)根x1x2沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2R一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx22.不等式ax2bxc0(0)恒成立的條件(1)不等式ax2bxc0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立或(2)不等式ax2bxc0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立或考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法和步驟 例1解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24；(3)ax2(a1)x10(a0)解(1)原不等式可化為3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集為.(2)原不等式等價(jià)于借助于數(shù)軸，如圖所示，原不等式的解集為.(3)原不等式變?yōu)?ax1)(x1)0，因?yàn)閍0，所以a(x1)0.所以當(dāng)a1，即1時(shí)，解為x1；當(dāng)a1時(shí)，解集為；當(dāng)0a1，即1時(shí)，解為1x.綜上，當(dāng)0a1時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為.方法技巧解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的依據(jù)(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式與0的關(guān)系(3)確定無(wú)實(shí)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集，確定方程有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，要討論兩實(shí)根的大小關(guān)系，從而確定解集形式由一元二次不等式恒成立求參數(shù)范圍對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方另外，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)求最值考法(一)在實(shí)數(shù)集R上恒成立例2已知不等式mx22xm10，是否存在實(shí)數(shù)m使得對(duì)所有的實(shí)數(shù)x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解不等式mx22xm10恒成立，即函數(shù)f(x)mx22xm1的圖象全部在x軸下方當(dāng)m0時(shí)，12x0，則x，不滿足題意；當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)f(x)mx22xm1為二次函數(shù)，需滿足開(kāi)口向下且方程mx22xm10無(wú)解，即不等式組的解集為空集，即m無(wú)解綜上可知不存在這樣的實(shí)數(shù)m使不等式恒成立考法(二)在某區(qū)間上恒成立例3設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1(m0)，若對(duì)于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范圍解要使f(x)m5在1,3上恒成立，則mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立法一：令g(x)m2m6，x1,3當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，則0m.當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，則m0.綜上所述，m的取值范圍是.法二：因?yàn)閤2x120，又因?yàn)閙(x2x1)60，所以m.因?yàn)楹瘮?shù)y在1,3上的最小值為，所以只需m即可因?yàn)閙0，所以m的取值范圍是mm0或0m.考法(三)在參數(shù)的某區(qū)間上恒成立時(shí)求變量范圍例4對(duì)任意m1,1，函數(shù)f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范圍解由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一次函數(shù)問(wèn)題由題意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x1或x3.故當(dāng)x的取值范圍是(，1)(3，)時(shí)，對(duì)任意的m1,1，函數(shù)f(x)的值恒大于零易錯(cuò)提醒解決恒成立問(wèn)題一定要清楚選誰(shuí)為主元，誰(shuí)是參數(shù)一般地，知道誰(shuí)的范圍，就選誰(shuí)當(dāng)主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)即把變?cè)c參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.(2018·常州月考)已知函數(shù)f(x)則不等式f(x2)f(32x)的解集是_解析：當(dāng)x時(shí)，原不等式化為x232x，解得x3或1x；當(dāng)x時(shí)，原不等式化為x2(32x)2，解得x3. 綜上，x3或1x3.答案：(，3)(1,3)2.已知不等式x22x30的解集為A，不等式x2x60的解集為B，不等式x2axb0的解集為AB，則ab等于_解析：由題意得，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，a1，b2，則ab3.答案：33.(2018·無(wú)錫期初測(cè)試)定義在R上的運(yùn)算：x*yx(1y)，若不等式(xy)*(xy)1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)y的取值范圍是_解析：(xy)*(xy)(xy)(1xy)xx2yy21. yy2x2x1，要使該不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則需有yy2(x2x1)min，解得y.答案：4.若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，則a的取值范圍是_解析：原不等式為(xa)(x1)0，當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為a,1，此時(shí)只要a4即可，即4a1；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解為x1，此時(shí)符合要求；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為1，a，此時(shí)只要a3即可，即1a3.綜上可得4a3.答案：4,35.要使不等式x2(a6)x93a0，當(dāng)|a|1時(shí)恒成立，則x的取值范圍為_(kāi)解析：將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9.因?yàn)閒(a)0在|a|1時(shí)恒成立，所以若x3，則f(a)0，不符合題意，應(yīng)舍去若x3，則由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得即解得x2或x4.答案：(，2)(4，)課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè) 重點(diǎn)保分課時(shí)一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過(guò)高考 練基礎(chǔ)小題強(qiáng)化運(yùn)算能力1若ab0，則下列不等式成立的序號(hào)有_；|a|b|；ab2；ab.解析：ab0，且|a|b|，ab2，又f(x)x是減函數(shù)，ab.答案：2(2018·啟東中學(xué)月考)若不等式2kx2kx0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為_(kāi)解析：當(dāng)k0時(shí)，顯然成立；當(dāng)k0時(shí)，即一元二次不等式2kx2kx0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則解得3k0.綜上，滿足不等式2kx2kx0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的k的取值范圍是(3,0答案：(3,03不等式組的解集是_解析：x24x30，1x3.又2x27x60，(x2)(2x3)0，x或x2，原不等式組的解集為(2,3)答案：(2,3)4已知關(guān)于x的不等式ax22xc0的解集為，則不等式cx22xa0的解集為_(kāi)解析：依題意知，解得a12，c2，不等式cx22xa0，即為2x22x120，即x2x60，解得2x3.所以不等式的解集為(2,3)答案：(2,3)練常考題點(diǎn)檢驗(yàn)高考能力一、填空題1設(shè)集合Ax|x2x60，集合B為函數(shù)y的定義域，則AB_.解析：Ax|x2x60x|3x2，由x10得x1，即Bx|x1，所以ABx|1x2答案：x|1x22已知a，b，cR，則下列命題正確的序號(hào)是_ac2bc2ab；ab；.解析：當(dāng)ac2bc2時(shí)，c20，所以ab，故正確；當(dāng)c0時(shí)，ab，故錯(cuò)誤；因?yàn)?或故錯(cuò)誤，正確答案：3已知a0，且a1，maa21，naa1，則m，n的大小關(guān)系是_解析：由題易知m0，n0，兩式作商，得a(a21)(a1)aa(a1)，當(dāng)a1時(shí)，a(a1)0，所以aa(a1)a01，即mn；當(dāng)0a1時(shí)，a(a1)0，所以aa(a1)a01，即mn.綜上，對(duì)任意的a0，a1，都有mn.答案：mn4若不等式組的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式x22x30的解集為1,3，假設(shè)的解集為空集，則不等式x24x(a1)0的解集為集合x(chóng)|x1或x3的子集，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x24x(a1)的圖象的對(duì)稱軸方程為x2，所以必有f(1)4a0，即a4，則使的解集不為空集的a的取值范圍是a4.答案：4，)5若不等式x2ax20在區(qū)間1,5上有解，則a的取值范圍是_解析：由a280，知方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程必有一正根、一負(fù)根于是不等式在區(qū)間1,5上有解的充要條件是f(5)0，解得a，故a的取值范圍為.答案：6(2018·無(wú)錫中學(xué)模擬)在R上定義運(yùn)算：adbc，若不等式1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為_(kāi)解析：由定義知，不等式1等價(jià)于x2x(a2a2)1，x2x1a2a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立x2x12，a2a，解得a，則實(shí)數(shù)a的最大值為.答案：7(2018·姜堰中學(xué)月考)若關(guān)于x的不等式(2x1)2kx2的解集中整數(shù)恰好有2個(gè)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：因?yàn)樵坏仁降葍r(jià)于(k4)x24x10，從而方程(k4)x24x10的判別式4k0，且有4k0，故0k4.又原不等式的解集為x，且，則1,2一定為所求的整數(shù)解，所以23，得k的取值范圍為.答案：8若0a1，則不等式(ax)0的解集是_解析：原不等式為(xa)0，由0a1得a，ax.答案：9已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則不等式f(x)4的解集為_(kāi)解析：若x0，則x0，則f(x)bx23x.因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，即bx23xx2ax，可得a3，b1，所以f(x)當(dāng)x0時(shí)，由x23x4解得0x4；當(dāng)x0時(shí)，由x23x4解得x0，所以不等式f(x)4的解集為(，4)答案：(，4)10(2018·鹽城中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x23x，則不等式f(x1)x4的解集是_解析：由題意得f(x)f(x1)即f(x1)所以不等式f(x1)x4可化為或解得x4.答案：(4，)二、解答題11已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解關(guān)于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集為(1,3)，求實(shí)數(shù)a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.不等式的解集為a|32a32(2)f(x)b的解集為(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的兩根為1,3，解得故a的值為3或3，b的值為3.12已知函數(shù)f(x)x22ax1a，aR.(1)若a2，試求函數(shù)y(x0)的最小值；(2)對(duì)于任意的x0,2，不等式f(x)a成立，試求a的取值范圍解：(1)依題意得yx4.因?yàn)閤0，所以x2.當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，即x1時(shí)，等號(hào)成立所以y2.所以當(dāng)x1時(shí)，y的最小值為2.(2)因?yàn)閒(x)ax22ax1，所以要使得“對(duì)任意的x0,2，不等式f(x)a成立”只要“x22ax10在0,2恒成立”不妨設(shè)g(x)x22ax1，則只要g(x)0在0,2上恒成立即可所以即解得a.則a的取值范圍為.第二節(jié)二元一次不等式(組) 與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域；2.簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題；3.線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用.突破點(diǎn)(一)二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域AxByC0直線AxByC0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AxByC0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法步驟以上簡(jiǎn)稱為“直線定界，特殊點(diǎn)定域”.考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”求平面區(qū)域的面積1.求平面區(qū)域的面積，要先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積2求平面區(qū)域的面積問(wèn)題，平面區(qū)域形狀為三角形的居多，尤其當(dāng)ABC為等腰直角三角形(A為直角)時(shí)，點(diǎn)B到直線AC的距離即ABC的腰長(zhǎng)|AB|.由點(diǎn)到直線的距離公式求得|AB|，面積便可求出例1不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_(kāi)解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，ABC的面積即所求求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，則ABC的面積為S×(21)×21.答案1方法技巧解決求平面區(qū)域面積問(wèn)題的方法步驟(1)畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域；(2)判斷平面區(qū)域的形狀，并求得直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、圖形的邊長(zhǎng)、相關(guān)線段的長(zhǎng)(三角形的高、四邊形的高)等，若為規(guī)則圖形則利用圖形的面積公式求解；若為不規(guī)則圖形則利用割補(bǔ)法求解提醒求面積時(shí)應(yīng)考慮圓、平行四邊形等圖形的對(duì)稱性根據(jù)平面區(qū)域滿足的條件求參數(shù)不等式組中的參數(shù)影響平面區(qū)域的形狀，如果不等式組中的不等式含有參數(shù)，這時(shí)它表示的區(qū)域的分界線是一條變動(dòng)的直線，此時(shí)要根據(jù)參數(shù)的取值范圍確定這條直線的變化趨勢(shì)、傾斜角度、上升還是下降、是否過(guò)定點(diǎn)等，確定區(qū)域的可能形狀，進(jìn)而根據(jù)題目要求求解；如果是一條曲線與平面區(qū)域具有一定的位置關(guān)系，可以考慮對(duì)應(yīng)的函數(shù)的變化趨勢(shì)，確定極限情況求解；如果目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，則要根據(jù)這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)考察參數(shù)變化時(shí)目標(biāo)函數(shù)與平面區(qū)域的關(guān)系，在運(yùn)動(dòng)變化中求解例2若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是_解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)由得A，；由得B(1,0)若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則直線xya中a的取值范圍是0a1或a.答案(0,1易錯(cuò)提醒此類問(wèn)題的難點(diǎn)在于參數(shù)取值范圍的不同導(dǎo)致平面區(qū)域或者曲線位置的改變，解答的思路可能會(huì)有變化，所以求解時(shí)要根據(jù)題意進(jìn)行必要的分類討論及對(duì)特殊點(diǎn)、特殊值的考慮能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在區(qū)域：上，過(guò)點(diǎn)P任作直線l，設(shè)直線l與區(qū)域的公共部分為線段AB，則以AB為直徑的圓的面積的最大值為_(kāi)解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，AB長(zhǎng)度的最大值為4，則以AB為直徑的圓的面積為最大值S×24.答案：42.若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于，則m的值為_(kāi)解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示，易求A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(2,0)，B(1m,1m)，C，D(2m,0)SABCSADBSADC|AD|·|yByC|(22m)(1m)，解得m1或m3(舍去)答案：13.不等式組 表示的平面區(qū)域的面積為_(kāi)解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，可知SABC×2×(22)4.答案：44.若滿足條件的整點(diǎn)(x，y)恰有9個(gè)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則整數(shù)a的值為_(kāi)解析：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，當(dāng)a0時(shí)，只有4個(gè)整點(diǎn)(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；當(dāng)a1時(shí)，增加了(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)共5個(gè)整點(diǎn)，此時(shí)，整點(diǎn)的個(gè)數(shù)共9個(gè)，故整數(shù)a1.答案：1突破點(diǎn)(二)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z2x3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次函數(shù)解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題2.簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟概括為“畫(huà)、移、求、答”即考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”線性目標(biāo)函數(shù)的最值例1(1)(2017·山東高考)已知x，y滿足約束條件則zx2y的最大值是_(2)(2017·全國(guó)卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是_解析(1)作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示，將直線y進(jìn)行平移，顯然當(dāng)該直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)z取得最大值，由解得即A(3,4)，所以zmax385.(2)法一：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示易求得可行域的頂點(diǎn)A(0，1)，B(6，3)，C(6，3)，當(dāng)直線z2xy過(guò)點(diǎn)B(6，3)時(shí)，z取得最小值，zmin2×(6)315.法二：易求可行域頂點(diǎn)A(0,1)，B(6，3)，C(6，3)，分別代入目標(biāo)函數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的z的值依次為1，15,9，故最小值為15.答案(1)5(2)15方法技巧求解線性目標(biāo)函數(shù)最值的常用方法線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以對(duì)于一般的線性規(guī)劃問(wèn)題，若可行域是一個(gè)封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來(lái)求最值非線性目標(biāo)函數(shù)的最值例2(1)(2018·無(wú)錫期初測(cè)試)已知變量x，y滿足條件則的取值范圍是_(2)若變量x，y滿足則x2y2的最大值是_解析(1)畫(huà)出可行域如圖所示，等價(jià)于點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(2,0)連線的斜率，又kAB2，kBO0，從而2,0(2)作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示x2y2表示平面區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由得A(3，1)，由圖易得(x2y2)max|OA|232(1)210.答案(1)2,0(2)10方法技巧非線性目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及求法(1)距離平方型：目標(biāo)函數(shù)為z(xa)2(yb)2時(shí)，可轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)之間的距離的平方求解(2)斜率型：對(duì)形如z(ac0)型的目標(biāo)函數(shù)，可利用斜率的幾何意義來(lái)求最值，即先變形為z·的形式，將問(wèn)題化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)連線的斜率的倍的取值范圍、最值等(3)點(diǎn)到直線距離型：對(duì)形如z|AxByC|型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為z·的形式，將問(wèn)題化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到直線AxByC0的距離的倍的最值.線性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題例3已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a_.解析畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，若zaxy的最大值為4，則最優(yōu)解為x1，y1或x2，y0，經(jīng)檢驗(yàn)知x2，y0符合題意，2a04，此時(shí)a2.答案2方法技巧求解線性規(guī)劃中含參問(wèn)題的兩種基本方法(1)把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問(wèn)題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過(guò)構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或范圍；(2)先分離含有參數(shù)的式子，通過(guò)觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.(2017·全國(guó)卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z3x2y的最小值為_(kāi)解析：畫(huà)出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由可行域知，當(dāng)直線yx過(guò)點(diǎn)A時(shí)，在y軸上的截距最大，此時(shí)z最小，由解得zmin5.答案：52.已知(x，y)滿足則k的最大值為_(kāi)解析：如圖，不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)锳OB的邊界及其內(nèi)部區(qū)域，k表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)和點(diǎn)(1,0)連線的斜率由圖知，平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(1,0)連線的斜率最大，所以kmax1.答案：13.(2018·銀川模擬)設(shè)zxy，其中實(shí)數(shù)x，y滿足若z的最大值為6，則z的最小值為_(kāi)解析：作出實(shí)數(shù)x，y滿足的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zxy經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(k，k)時(shí)，取得最大值，且zmaxkk6，得k3.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zxy經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(6,3)時(shí)，取得最小值，且zmin633.答案：34.(2018·蘇州月考)設(shè)x，y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)zaxby(a0，b0)的最大值為2，則的最小值為_(kāi)解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當(dāng)直線axbyz(a0，b0)過(guò)直線xy20與直線3xy60的交點(diǎn)(4,6)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)zaxby(a0，b0)取得最大值2，即2a3b1，而(2a3b)13625.答案：255.設(shè)x，y滿足約束條件則z(x1)2y2的最大值為_(kāi)解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示(x1)2y2可看作點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)P(1，0)的距離的平方，由圖可知可行域內(nèi)的點(diǎn)A到點(diǎn)P(1，0)的距離最大解方程組得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,8)，代入z(x1)2y2，得zmax(31)28280.答案：80突破點(diǎn)(三)線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用典例某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900 元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為_(kāi)元解析設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，由已知可得約束條件為即目標(biāo)函數(shù)為z2 100x900y，由約束條件作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分作直線2 100x900y0，即7x3y0并上下平移，易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，z取得最大值，聯(lián)立解得B(60,100)則zmax2 100×60900×100216 000(元)答案216 000方法技巧求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)明確問(wèn)題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取到等號(hào)(2)注意結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否為整數(shù)、是否為非負(fù)數(shù)等(3)正確地寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)，一般地，目標(biāo)函數(shù)是等式的形式能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1某校今年計(jì)劃招聘女教師a名，男教師b名，若a，b滿足不等式組設(shè)這所學(xué)校今年計(jì)劃招聘教師最多x名，則x_.解析：如圖所示，畫(huà)出約束條件所表示的區(qū)域，即可行域，作直線ba0，并平移，結(jié)合a，bN，可知當(dāng)a6，b7時(shí)，ab取最大值，故x6713.答案：132A，B兩種規(guī)格的產(chǎn)品需要在甲、乙兩臺(tái)機(jī)器上各自加工一道工序才能成為成品已知A產(chǎn)品需要在甲機(jī)器上加工3小時(shí)，在乙機(jī)器上加工1小時(shí)；B產(chǎn)品需要在甲機(jī)器上加工1小時(shí)，在乙機(jī)器上加工3小時(shí)在一個(gè)工作日內(nèi)，甲機(jī)器至多只能使用11小時(shí)，乙機(jī)器至多只能使用9小時(shí)A產(chǎn)品每件利潤(rùn)300元，B產(chǎn)品每件利潤(rùn)400元，則這兩臺(tái)機(jī)器在一個(gè)工作日內(nèi)創(chuàng)造的最大利潤(rùn)是_元解析：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，則x，y滿足約束條件生產(chǎn)利潤(rùn)為z300x400y.畫(huà)出可行域，如圖中陰影部分(包含邊界)內(nèi)的整點(diǎn)，顯然z300x400y在點(diǎn)M或其附近的整數(shù)點(diǎn)處取得最大值，由方程組解得則zmax 300×3400×21 700.故最大利潤(rùn)是1 700元答案：1 7003某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為_(kāi)萬(wàn)元.甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128解析：設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x噸、y噸，每天所獲利潤(rùn)為z萬(wàn)元，則有z3x4y，作出可行域如圖陰影部分所示，由圖形可知，當(dāng)直線z3x4y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)時(shí)，z取最大值，最大值為3×24×318.答案：184制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且還要考慮可能出現(xiàn)的虧損，某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能出的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元，問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元才能使可能的盈利最大？解：設(shè)分別向甲、乙兩項(xiàng)目投資x萬(wàn)元，y萬(wàn)元，由題意知目標(biāo)函數(shù)zx0.5y，作出可行域如圖所示，作直線l0：x0.5y0，并作平行于直線l0的一組直線x0.5yz，zR，與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過(guò)可行域上的M點(diǎn)，且與直線x0.5y0的距離最大，這里M點(diǎn)是直線xy10和0.3x0.1y1.8的交點(diǎn)，解方程組解得x4，y6，此時(shí)z1×40.5×67(萬(wàn)元) 70，當(dāng)x4，y6時(shí)z取得最大值投資人用4萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目，6萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元的前提下，使可能的盈利最大課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè) 重點(diǎn)保分課時(shí)一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過(guò)高考 練基礎(chǔ)小題強(qiáng)化運(yùn)算能力1不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于_解析：平面區(qū)域如圖中陰影部分所示解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|4.SABC××1.答案：2若x，y滿足則zx2y的最大值為_(kāi)解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示作直線x2y0并上下平移，易知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A(0,1)時(shí)，zx2y取最大值，即zmax02×12.答案：23若x，y滿足約束條件則(x2)2(y3)2的最小值為_(kāi)解析：不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示，由題意可知點(diǎn)P(2，3)到直線xy20的距離為，所以(x2)2(y3)2的最小值為2.答案：4設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3xy的最大值為_(kāi)解析：根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示，z3xy，y3xz，當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,2)時(shí)，z取得最大值，即zmax 3×224.答案：45(2018·常州月考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件則yx的最大值為_(kāi)解析：令zyx，作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，作出指數(shù)函數(shù)yx，平移函數(shù)yx的圖象，可知當(dāng)函數(shù)yxz的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)z取最大值由得A(1,1)，所以xy1時(shí)，yx取最大值.答案：練常考題點(diǎn)檢驗(yàn)高考能力一、填空題1(2018·東臺(tái)中學(xué)月考)在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a_.解析：不等式組所圍成的區(qū)域如圖所示則A(1,0)，B(0,1)，C(1,1a)，且a1， SABC2， (1a)×12，解得a3.答案：32(2018·江蘇八市高三質(zhì)檢)已知x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z6x2y的最小值是10，則z的最大值是_解析：由z6x2y，得y3x，作出不等式組所表示可行域的大致圖形如圖中陰影部分所示，由圖可知當(dāng)直線y3x經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線的縱截距最小，即z6x2y取得最小值10，由解得即C(2，1)，將其代入直線方程2xyc0，得c5，即直線方程為2xy50，平移直線3xy0，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，直線的縱截距最大，此時(shí)z取最大值，由得即D(3,1)，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)z6x2y，得zmax6×3220.答案：203(2017·浙江高考)若x，y滿足約束條件則zx2y的取值范圍是_解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由zx2y，得yx，是直線yx在y軸上的截距，根據(jù)圖形知，當(dāng)直線yx過(guò)A點(diǎn)時(shí)，取得最小值由得x2，y1，即A(2,1)，此時(shí)，z4，zx2y的取值范圍是4，)答案：4，)4(2018·安徽江南十校聯(lián)考)若x，y滿足約束條件則zyx的取值范圍為_(kāi)解析：作出可行域如圖所示，設(shè)直線l：yxz，平移直線l，易知當(dāng)l過(guò)直線3xy0與xy40的交點(diǎn)(1,3)時(shí)，z取得最大值2；當(dāng)l與拋物線yx2相切時(shí)，z取得最小值，由消去y得x22x2z0，由48z0，得z，故z2.答案：5在平面上，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影由區(qū)域中的點(diǎn)在直線xy20上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則|AB|_.解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，過(guò)點(diǎn)C，D分別作直線xy20的垂線，垂足分別為A，B，則四邊形ABDC為矩形，由得C(2，2)由得D(1,1)所以|AB|CD|3.答案：36若x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)zax2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當(dāng)a0時(shí)，顯然成立當(dāng)a0時(shí)，直線ax2yz0的斜率kkAC1，a2.當(dāng)a0時(shí)，kkAB2， a4.綜上可得4a2.答案：(4,2)7若直線y2x上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)解析：約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示當(dāng)直線xm從如圖所示的實(shí)線位置運(yùn)動(dòng)到過(guò)A點(diǎn)的虛線位置時(shí)，m取最大值解方程組得A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，m的最大值是1.答案：18(2018·如東中學(xué)月考)當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足時(shí)，1axy4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：作出不等式組所表示的區(qū)域如圖所示，由1axy4得，a0，且在(1,0)點(diǎn)取得最小值，在(2,1)取得最大值，故a1,2a14，故a取值范圍為.答案：9已知x，y滿足則的取值范圍是_解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，因?yàn)?，而表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)A(4,2)連線的斜率，由圖知斜率的最小值為0，最大值為kAB，所以1的取值范圍是，即的取值范圍是.答案：10實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則z|x2y4|的最大值為_(kāi)解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示z|x2y4|·，即其幾何含義為陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到直線x2y40的距離的倍由得B點(diǎn)坐標(biāo)為(7,9)，顯然點(diǎn)B到直線x2y40的距離最大，此時(shí)zmax21.答案：21二、解答題11若x，y滿足約束條件(1)求目標(biāo)函數(shù)zxy的最值；(2)若目標(biāo)函數(shù)zax2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍解：(1)作出可行域如圖，可求得A(3，4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直線xy0，可知zxy過(guò)A(3,4)時(shí)取最小值2，過(guò)C(1,0)時(shí)取最大值1.所以z的最大值為1，最小值為2.(2)直線ax2yz僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，由圖象可知12，解得4a2.故所求a的取值范圍為(4,2)12(2017·天津高考)電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘)廣告播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘)收視人次(萬(wàn))甲70560乙60525已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍分別用x，y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問(wèn)電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？解：(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為即該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分中的整數(shù)點(diǎn)(2)設(shè)總收視人次為z萬(wàn)，則目標(biāo)函數(shù)為z60x25y.考慮z60x25y，將它變形為yx，這是斜率為，隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最大值時(shí)，z的值最大又因?yàn)閤，y滿足約束條件，所以由圖可知，當(dāng)直線z60x25y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即z最大解方程組得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3)所以電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)才能使總收視人次最多第三節(jié)基本不等式本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.利用基本不等式求最值；2.基本不等式的綜合問(wèn)題.突破點(diǎn)(一)利用基本不等式求最值基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)2幾個(gè)重要的不等式不等式成立條件等號(hào)成立條件a2b22aba，bRab2a，b同號(hào)abab2a，bRab2a，bRab3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x0，y0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2.(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是.(簡(jiǎn)記：和定積最大)考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值例1(1)已知0x1，則x(33x)取得最大值時(shí)x的值為_(kāi)(2)已知x，則f(x)4x2的最大值為_(kāi)解析(1)0x1，x(33x)3x(1x)32.當(dāng)且僅當(dāng)x1x，即x時(shí)，等號(hào)成立(2)因?yàn)閤，所以54x0，則f(x)4x23231.當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，等號(hào)成立故f(x)4x2的最大值為1.答案(1)(2)1方法技巧通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提通過(guò)常數(shù)代換法利用基本不等式求最值例2已知a0，b0，ab1，則的最小值為_(kāi)解析a0，b0，ab1，2224，即的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立答案4方法技巧常數(shù)代換法求最值的方法步驟常數(shù)代換法適用于求解條件最值問(wèn)題應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值通過(guò)消元法利用基本不等式求最值例3已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy2xy4，則xy的最小值為_(kāi)解析因?yàn)閤y2xy4，所以x.由x0，得2y4，又y0，則0y4，所以xyy(y2)323，當(dāng)且僅當(dāng)y2(0y4)，即y2時(shí)取等號(hào)答案23方法技巧通過(guò)消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問(wèn)題，解決方法是消元后利用基本不等式求解能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.(2018·?？谡{(diào)研)已知a，b(0，)，且ab1，則ab的最大值為_(kāi)解析：a，b(0，)，1ab2，ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立答案：2.已知函數(shù)yx4(x1)，當(dāng)xa時(shí)，y取得最小值b，則ab_.解析：yx4x15，因?yàn)閤1，所以x10，0.所以由基本不等式，得yx152 51，當(dāng)且僅當(dāng)x1，即(x1)29，即x2時(shí)取等號(hào)，所以a2，b1，ab3.答案：33.已知x0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_(kāi)解析：由已知得xy9(x3y)，即3xy273(x3y)2，當(dāng)且僅當(dāng)x3y，即x3，y1時(shí)取等號(hào)，令x3yt，則t0，且t212t1080，得t6.即x3y6.答案：64.已知a0，b0，ab1，則的最小值為_(kāi)解析：